2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 質(zhì)量檢測2 北師大版必修2

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1、質(zhì)量檢測(二) 本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分． 滿分150分．考試時間120分鐘． 第Ⅰ卷(選擇題　共60分) 一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中只有一個是符合題目要求的) 1．在空間直角坐標(biāo)系中，點P(3,4,5)關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標(biāo)為(　　) A．(－3,4,5) B．(－3，－4,5) C．(3，－4，－5) D．(－3,4，－5) [解析]　y、z坐標(biāo)相同．故點P(3,4,5)關(guān)于yOz平面對稱的點的坐標(biāo)為(－3,4,5)． [答案]　A 2．直線l過點M(1，－2)，傾斜角為30

2、°.則直線l的方程為 (　　) A．x＋y－2－1＝0 B．x＋y＋2－1＝0 C．x－y－2－1＝0 D．x－y＋2－1＝0 [解析]　∵直線l的傾斜角為30°， ∴直線l的斜率k＝tan30°＝， 由點斜式方程，得直線l的方程為 y＋2＝(x－1)， 即x－y－2－1＝0. [答案]　C 3．過兩點(－1,1)和(3,9)的直線在x軸上的截距是 (　　) A．－ B．－ C. D．2 [解析]　由題意，得過兩點(－1,1)和(3,9)的直線方程為y＝2x＋3.令y＝0，則x＝－， ∴直線在x軸上的截距為－，故選A. [答案]　A 4

3、．以點(2，－1)為圓心且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝3 B．(x＋2)2＋(y－1)2＝3 C．(x－2)2＋(y＋1)2＝9 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝9 [解析]　因為r＝d＝＝3， 所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝9，故選C. [答案]　C 5．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一個圓，則m的取值范圍是(　　) A．m< B．m<2 C．m≤ D．m≤2 [解析]　由(－1)2＋12－4m>0得m<. [答案]　A 6．已知點A(3,2)、B(－2，a)、C(8,12

4、)在同一條直線上，則a的值是 (　　) A．0 B．－4 C．－8 D．4 [解析]　根據(jù)題意可知kAC＝kAB，即＝，解得a＝－8. [答案]　C 7．已知圓C：x2＋y2－4x－5＝0，則過點P(1,2)的最短弦所在直線l的方程是(　　) A．3x＋2y－7＝0 B．2x＋y－4＝0 C．x－2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0 [解析]　將圓C的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝9，所以C(2,0)． 由題意知，過點P(1,2)的最短弦所在的直線l應(yīng)與PC垂直，故有kl·kPC＝－1. 由kPC＝＝－2，得kl＝. 所以直線l的

5、方程為y－2＝(x－1)， 即x－2y＋3＝0. [答案]　D 8．已知直線l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0與l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，則k的值是 (　　) A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2 [解析]　當(dāng)k＝3時，兩直線顯然平行；當(dāng)k≠3時，由兩直線平行，斜率相等，得－＝.解得k＝5，故選C. [答案]　C 9．過點(2,0)作圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的切線，所得切線方程為(　　) A．y＝0 B．x＝1和y＝0 C．x＝2和y＝0 D．不存在 [解析]　借助數(shù)形結(jié)合可知，切線方程為x＝2和y＝0

6、. [答案]　C 10．兩圓x2＋y2＋4x－4y＝0與x2＋y2＋2x－12＝0的公共弦長等于(　　) A．4 B．2 C．3 D．4 [解析]　公共弦方程為x－2y＋6＝0，圓x2＋y2＋2x－12＝0的圓心為(－1,0)，半徑r＝，圓心到公共弦的距離d＝. 所以弦長為2×＝4. [答案]　D 11．如圖，已知點A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線經(jīng)直線AB反射后再射到直線OB上，最后經(jīng)直線OB反射后又回到點P，則光線所經(jīng)過的路程為(　　) A．2 B. C．2 D．3 [解析]　設(shè)點P關(guān)于直線AB的對稱點為P1，點P關(guān)

7、于y軸的對稱點為P2，則|P1P2|即為所求路程．又直線AB的方程為x＋y－4＝0，所以P1(4,2)，P2(－2,0)，故|P1P2|＝2. [答案]　A 12．直線y＝kx＋3與圓(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N兩點，若|MN|≥2，則k的取值范圍是(　　) A. B. C．[－，] D. [解析]　解法一：可聯(lián)立方程組利用弦長公式求|MN|，再結(jié)合|MN|≥2可得答案． 解法二：利用圓的性質(zhì)知，圓心到直線的距離的平方加上弦長一半的平方等于半徑的平方，求出|MN|，再結(jié)合|MN|≥2可得答案，故選B. [答案]　B 第Ⅱ卷(非選擇題　共90分) 二、填

8、空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分，把正確答案填在題中橫線上) 13．已知點A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，則△ABC中，BC邊上的中線長為________. [解析]　BC中點為(－1,2)，所以BC邊上中線長為＝. [答案]　 14．已知三點A(1,0)，B(0，)，C(2，)，則△ABC外接圓的圓心到原點的距離為________． [解析]　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 則 解得D＝－2，E＝－，F(xiàn)＝1. 圓心為，所求距離為 ＝. [答案]　 15．已知定點A(0,1)，點B在直線x＋y＝0上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的坐標(biāo)是

9、________． [解析]　如圖所示，當(dāng)AB垂直直線x＋y＝0時，線段AB最短，此時點B的坐標(biāo)為. [答案]　 16．已知正△ABC的邊長為2，在平面ABC中，動點P，M滿足AP＝1，M是PC的中點，則線段BM的最小值為________． [解析]　以BC的中點O為坐標(biāo)原點，以BC為x軸，OA為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示． ∵BC＝2，∴OA＝3，∴A(0,3)． ∵AP＝1，∴P點的軌跡方程為x2＋(y－3)2＝1.設(shè)M(x，y)，P(x′，y′)，C(，0)， ∴　∴ ∴(2x－)2＋(2y－3)2＝1，即2＋2＝，∴M點的軌跡是以N為圓心，為半徑的圓，∵B

10、(－，0)， ∴|BN|＝＝3， ∴|BM|min＝|BN|－＝3－＝. [答案]　 三、解答題(本大題共6個大題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟) 17．(本小題滿分10分)已知直線l經(jīng)過點P(－2,5)且斜率為－， (1)求直線l的方程； (2)若直線m平行于直線l，且點P到直線m的距離為3，求直線m的方程． [解]　(1)直線l的方程為：y－5＝－(x＋2)，整理得 3x＋4y－14＝0. (2)設(shè)直線m的方程為3x＋4y＋n＝0， d＝＝3，解得n＝1或－29. ∴直線m的方程為3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 18．(本小題滿分1

11、2分)已知直線l1：kx－y＋1＋k＝0(k∈R)，l2：x－y＋5＝0. (1)證明：直線l1過定點； (2)已知直線l1∥l2，O為坐標(biāo)原點，A，B為直線l1上的兩個動點，|AB|＝，若△OAB的面積為S，求S. [解]　(1)證明：l1的方程可化為y－1＝k(x＋1)，當(dāng)x＝－1時，y＝1，∴直線l1過定點(－1,1)． (2)∵l1∥l2，∴k＝1，∴l(xiāng)1的方程為x－y＋2＝0.原點O到l1的距離為d＝＝，∴S＝|AB|d＝××＝1. 19．(本小題滿分12分)已知圓C：x2＋(y－1)2＝5，直線l：mx－y＋1－m＝0(m∈R)． (1)判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；

12、(2)設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點，若直線l的傾斜角為120°，求弦AB的長． [解]　(1)直線l可變形為y－1＝m(x－1)， 因此直線l過定點D(1,1)， 又＝1<， 所以點D在圓C內(nèi)，則直線l與圓C必相交． (2)由題意知m≠0，所以直線l的斜率k＝m， 又k＝tan120°＝－，即m＝－. 此時，圓心C(0,1)到直線l：x＋y－－1＝0的距離d＝＝，又圓C的半徑r＝， 所以|AB|＝2＝2＝. 20．(本小題滿分12分)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程； (2)從圓C外一點P(x1，y1)

13、向該圓引一條切線，切點為M，O為坐標(biāo)原點，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值時點P的坐標(biāo)． [解]　(1)將圓C整理，得(x＋1)2＋(y－2)2＝2. ①當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上的截距為0時，設(shè)切線方程為y＝kx， 所以圓心到切線的距離為＝， 即k2－4k－2＝0，解得k＝2±. 所以切線方程為y＝(2±)x. ②當(dāng)切線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0時，設(shè)切線方程為x＋y－a＝0， 所以圓心到切線的距離為＝，即|a－1|＝2，解得a＝3或－1. 所以切線方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. 綜上所述，所求切線方程為y＝(2±)x或x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0. (2

14、)因為|PO|＝|PM|， 所以x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2， 即2x1－4y1＋3＝0，即點P在直線l：2x－4y＋3＝0上． 當(dāng)|PM|取最小值時，|OP|取得最小值，此時直線OP⊥l，所以直線OP的方程為2x＋y＝0. 聯(lián)立方程組解得 所以點P的坐標(biāo)為. 21．(本小題滿分12分)已知圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0與圓C2：x2＋y2－2x＋10y－24＝0相交于A、B兩點． 求圓心在直線y＝－x上，且經(jīng)過A、B兩點的圓的方程． [解]　將兩圓的方程相減并整理，得公共弦AB所在的直線方程為x－2y＋4＝0，即x＝2y－4，代入x2＋y2＋2x＋2y－

15、8＝0中，得y2－2y＝0.所以y＝0或y＝2， 所以或 即A(－4,0)，B(0,2)， 又圓心在直線y＝－x上，設(shè)圓心為M(x，－x)， 則|MA|＝|MB|， 即＝， 解得x＝－3，所以M(－3,3)，所以r＝|MA|＝， 所以所求圓的方程為(x＋3)2＋(y－3)2＝10. 22．(本小題滿分12分)某縣相鄰兩鎮(zhèn)在一平面直角坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為A(1,2)、B(4,0)，一條河所在直線方程為l：x＋2y－10＝0，若在河邊l上建一座供水站P使之到A、B兩鎮(zhèn)的管道最省，問供水站P應(yīng)建在什么地方？此時|PA|＋|PB|為多少？ [解]　如圖所示，過A作直線l的對稱點A′，連接A′B交l于P，因為若P′(異于P)在直線l上，則|AP′|＋|BP′|＝|A′P′|＋|BP′|>|A′B|. 因此，供水站只能在點P處，才能取得最小值． 設(shè)A′(a，b)，則AA′的中點在l上，且AA′⊥l， 即解得即A′(3,6)． 所以直線A′B的方程為6x＋y－24＝0. 解方程組得 所以P點的坐標(biāo)為. 故供水站應(yīng)建在點P處， 此時|PA|＋|PB|＝|A′B|＝＝. 8