高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 1 從位移、速度、力到向量 北師大版必修4

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1、1 1 從位移、速度、力到向量第二章平面向量學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認(rèn)識(shí)向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會(huì)用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會(huì)用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會(huì)辨識(shí)圖形中這些相關(guān)的概念.題型探究問題導(dǎo)學(xué)內(nèi)容索引當(dāng)堂訓(xùn)練問題導(dǎo)學(xué)思考1知識(shí)點(diǎn)一向量的概念在日常生活中有很多量，如面積、質(zhì)量、速度、位移等，這些量有什么區(qū)別？答案答案答案面積、質(zhì)量只有大小，沒有方向；而速度和位移既有大小又有方向.思考2兩個(gè)數(shù)量可以比較大小，那么兩個(gè)向量能比較大小嗎？答案答案答案數(shù)量之間可以比較大小

2、，而兩個(gè)向量不能比較大小.向量與數(shù)量(1)向量：既有 ，又有 的量統(tǒng)稱為向量.(2)數(shù)量：只有 ，沒有 的量稱為數(shù)量.梳理梳理大小方向大小方向思考1知識(shí)點(diǎn)二向量的表示方法向量既有大小又有方向，那么如何形象、直觀地表示出來？答案答案答案可以用一條有向線段表示.思考20的模長(zhǎng)是多少？0有方向嗎？答案答案答案 0的模長(zhǎng)為0，方向任意.思考3單位向量的模長(zhǎng)是多少？答案答案答案單位向量的模長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度.梳理梳理(1)向量的表示具有 和長(zhǎng)度的線段叫作有向線段，以A為起點(diǎn)，以B為終點(diǎn)的有向線段記作 ，線段AB的長(zhǎng)度也叫作有向線段 的長(zhǎng)度，記作 .向量可以用 來表示.有向線段的長(zhǎng)度表示 ，即長(zhǎng)度(也稱模)

3、.箭頭所指的方向表示 . 向 量 也 可 以 用 黑 體 小 寫 字 母 如 a ， b ， c ， 來 表 示 ， 書 寫用 來表示.(2) 的向量叫作零向量，記作 ；_ 的向量，叫作a方向上的單位向量，記作a0.有向線段向量的大小向量的方向長(zhǎng)度為0與向量a同方向，且長(zhǎng)度為單位1方向思考1知識(shí)點(diǎn)三相等向量與共線向量已知A，B為平面上不同兩點(diǎn)，那么向量 和向量 相等嗎？它們共線嗎？答案答案答案因?yàn)橄蛄?和向量 方向不同，所以二者不相等.又表示它們的有向線段在同一直線上，所以兩向量共線.思考2向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎？答案答案答案不相同，由相等向量定義可知，向量可以

4、任意移動(dòng).由于任意一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，所以平行向量也叫作共線向量.因此共線向量所在的直線可以平行，也可以重合.思考3若ab，bc，那么一定有ac嗎？答案答案答案不一定.因?yàn)楫?dāng)b0時(shí)，a，c可以是任意向量.梳理梳理(1)相等向量： 且 的向量叫作相等向量.(2)平行向量：如果表示兩個(gè)向量的有向線段所在的直線 ，則稱這兩個(gè)向量平行或共線.記法：a與b平行或共線，記作 .規(guī)定：零向量與 平行.長(zhǎng)度相等方向相同平行或重合ab任一向量題型探究 例例1下列說法正確的是A.向量 與向量 的長(zhǎng)度相等B.兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同C.零向量沒有方向D.任意兩個(gè)單位向量都相等

5、類型一向量的概念解解析析兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同；零向量的方向不確定，并不是沒有方向；任意兩個(gè)單位向量只有長(zhǎng)度相等，方向不一定相同，故B，C，D都錯(cuò)誤，A正確.故選A.答案解析解決向量概念問題一定要緊扣定義，對(duì)單位向量與零向量要特別注意方向問題.反思與感悟解解析析錯(cuò)誤.|a|b|僅說明a與b的模相等，不能說明它們方向的關(guān)系.錯(cuò)誤.共線向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求兩個(gè)向量 、 必須在同一直線上，因此點(diǎn)A、B、C、D不一定在同一條直線上.正確.向量 和 是長(zhǎng)度相等，方向相反的兩個(gè)向量.跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練1下列說法正確的有_.若|a|b|

6、，則ab或ab；向量 與 是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在同一條直線上；向量 與 是平行向量.答案解析例例2如圖所示，ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC、AB、BC的中點(diǎn).類型二共線向量與相等向量(1)寫出與 共線的向量；解答解解因?yàn)镋、F分別是AC、AB的中點(diǎn)，又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，(2)寫出與 的模大小相等的向量；解答(3)寫出與 相等的向量.解答(1)非零向量共線是指向量的方向相同或相反.(2)共線的向量不一定相等，但相等的向量一定共線.反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心.解解與 的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如OB)，而每一條線段可以有

7、兩個(gè)向量，所以這樣的向量共有23個(gè).(2)是否存在與 長(zhǎng)度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個(gè)？解解存在.(1)與 的模相等的向量有多少個(gè)？由正六邊形的性質(zhì)可知，BCAOEF，解答解解由(2)知，BCOAEF，線段OD，AD與OA在同一條直線上，(3)與 共線的向量有哪些？解答例例3一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向，向西偏北50的方向走了200 km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100 km到達(dá)D點(diǎn).類型三向量的表示及應(yīng)用解答(2)求| |.解答在四邊形ABCD中，AB綊CD，四邊形ABCD為平行四邊形，準(zhǔn)確畫出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)，再確定向量的方

8、向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點(diǎn).反思與感悟跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練3在如圖的方格紙上，已知向量a，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.解答解解根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長(zhǎng)度相等(作圖略).(1)試以B為終點(diǎn)畫一個(gè)向量b，使ba；解解由平面幾何知識(shí)可知，所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以A為圓心， 為半徑的圓(作圖略).(2)在圖中畫一個(gè)以A為起點(diǎn)的向量c，使|c| ，并說出向量c的終點(diǎn)的軌跡是什么？當(dāng)堂訓(xùn)練1.下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)；向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；若|a|b|，則ab.A.0 B.1 C.2 D.32341答案

9、解析2341解析解析溫度沒有方向，所以不是向量，故錯(cuò)；向量的模也可以為0，故錯(cuò)；向量不可以比較大小，故錯(cuò)；若a，b中有一個(gè)為零向量，則a與b必共線，故a與b不共線，則應(yīng)均為非零向量，故對(duì).2.下列說法錯(cuò)誤的是A.若a0，則|a|0B.零向量是沒有方向的C.零向量與任一向量平行D.零向量的方向是任意的答案2341解析解析零向量的長(zhǎng)度為0，方向是任意的，它與任一向量都平行，所以B是錯(cuò)誤的.解析3.如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量 與 的關(guān)系是2341答案解析解析| |與| |表示等腰梯形兩腰的長(zhǎng)度，故相等.解析4.如圖所示，在以12方格紙中的格點(diǎn)(各線段的交點(diǎn))為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中.2341解答(1)寫出與 、 相等的向量；2341解答(2)寫出與 的模相等的向量.規(guī)律與方法1.向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量，我們可以將某些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，又將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，故向量能起到數(shù)形結(jié)合的橋梁作用.2.共線向量與平行向量是一組等價(jià)的概念.兩個(gè)共線向量不一定要在一條直線上.當(dāng)然，同一直線上的向量也是平行向量.3.注意兩個(gè)特殊向量零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無窮多個(gè)，起點(diǎn)相同的所有單位向量的終點(diǎn)在平面內(nèi)形成一個(gè)單位圓.本課結(jié)束