福建省漳浦縣道周中學2020年高考數(shù)學專題復習 數(shù)列教案 文

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1、福建省漳浦縣道周中學2020年高考數(shù)學專題復習 數(shù)列教案 文 一、高考地位與考查要求 一般考察兩種常見題型：1、等差等比數(shù)列求項求和等問題，主要涉及基本量思想；2、數(shù)列的探索性問題，如周期數(shù)列、分形等.如果數(shù)列出現(xiàn)在解答題的前幾題中，往往考察等差等比數(shù)列的求項求和，運用累加、累乘法的簡單遞推數(shù)列的求項求和問題，主要考察學生的運算能力.如果數(shù)列問題出現(xiàn)在最后一兩題，則是綜合性很強的問題，大多以數(shù)列為考查平臺，綜合運用函數(shù)、方程、不等式、簡單數(shù)論等知識，通過運用遞推、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價轉化、分類整合等各種數(shù)學思想方法，考查學生靈活運用數(shù)學知識分析問題、解決問題的能力和數(shù)學探索創(chuàng)新

2、的能力. 二、基本題型與基本策略 基本題型一：運用基本量思想解決等差、等比數(shù)列的求項求和問題 例1.（1）在等差數(shù)列{ an }中，a1＋a2＝30，a3＋a4＝120，則a5＋a6＝ . 說明：這是一道典型的運用基本量思想求數(shù)列和的問題，根據(jù)a1＋a2＝30，a3＋a4＝120，可以列出關于的方程兩個二元一次方程方程，通過加減消元或帶入消元接出的值；同時注意到個方程數(shù)列項下標特征，根據(jù)等差數(shù)列的性質，得到a5＋a6＝=210. 變式：（2020全國卷Ⅰ理科數(shù)學4）已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，=5，=10，則 說明：表面看這是一道可以用基本量思想解決的問題，但在實際操作

3、過程中發(fā)現(xiàn)，使用基本量列出方程組計算量較大，要得到結果還需借助指數(shù)冪的運算性質，易出錯.如果仔細觀察已知條件與所求結論的關系，不難發(fā)現(xiàn)，，，運用等比數(shù)列的性質可以很快得到選擇恰當?shù)姆椒ㄓ袝r可以大大簡化我們的計算，為考試贏得寶貴的時間，而恰當方法的選擇，借助于我們認真審題和知識的融會貫通. （2）等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列，求數(shù)列前20項的和． 說明：這也是一道典型的運用基本量思想求數(shù)列和的問題，同時也是一道簡單地將等差數(shù)列和等比數(shù)列組合在一起的問題，通過和成等比數(shù)列可以直接列出兩個關于基本量的方程組：，此方程組是由一個二元一次與一個二元二次方程組合而成，宜采先化簡再帶入消元法的方法求解，第二

4、個方程可化簡為，學生特別容易將d直接消去，導致漏解的錯誤.最終結果=200或330.此種題型方法常規(guī)，思路明確，計算量適中，常常出現(xiàn)在填空題的前六題或解答題的前兩題，屬容易題. 例2. 已知數(shù)列{an}的通項公式an=9-2n，則| a1|+| a2|+…+| a20|= ． 說明：這是一道利用等差數(shù)列基本量求分段數(shù)列和的問題.關鍵是引導學生正確寫出分段數(shù)列的通項公式，分段的依據(jù)是|9-2n|=0，利用分段通項公式分段求和得|a1|+|a2|+…+|a20|=.此題不僅考察學生的基本運算能力，也考察了學生分段函數(shù)、含絕對值表達式的處理方法. 例3.（2020浙江理

5、科數(shù)學卷15）設為實數(shù)，首項為，公差為d的等差數(shù)列{}的前n項和為，滿足+15=0，則d的取值范圍是__________. 說明：直接運用基本量列出關于方程，在列式時注意等差數(shù)列求和公式的選擇，由于此題中涉及的兩個基本量是，所以可以選擇用表示的求和公式，從而化簡得，結合二次函數(shù)方程有解判別式大于等于零的性質，得這是一道將數(shù)列基本量思想與二次方程知識有機結合的問題，不僅考查學生的計算能力，同時還考查了知識的遷移與轉化能力. 基本策略：等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，它們的通項公式、前n項和的公式中均含有兩個基本量，因此數(shù)通過基本量思想求解等差等比的通項和前n項和是高考考查的重點也是熱點.在

6、運用基本量思想解決問題時，要注意以下兩個方面：1、基本兩思想在解決問題時比較程序化，認真審題選擇恰當?shù)姆椒ㄊ顷P鍵，有兩個性質有時可以簡化我們的計算（在等差數(shù)列中，若則在等比數(shù)列中若則）；2、在計算過程中注意觀察表達式的特征，靈活地運用計算方法．在等差數(shù)列求和的問題中，首先是確定通項，選擇恰當?shù)那蠛凸?，在等比?shù)列求和中要注意q =1的情況單獨討論. 基本題型二：遞推數(shù)列的求項求和問題 例4. 設數(shù)列{a n}的前n項和為S n，已知an=5S n－3 (n∈N)，求a 1+a 3+…+a 2 n－1的值． 說明：在表達式中同時出現(xiàn)an和S n時，我們通常采用的方法是運用公式，將表達式

7、轉化為都關于an或S n的式子，然后再進行求解.因此，此題表達式可變形為，即，所以為等比數(shù)列，求和問題迎刃而解. 例5.（2020新課標全國理科卷17）設數(shù)列滿足，. （1）求數(shù)列的通項公式； （2）令，求數(shù)列的前n項和. 說明：此題為解答題的第一題，是一道典型的運用遞推數(shù)列性質求項求和的問題，第一問用到我們熟知的累加法求通項，即 ；第二問中，則采用分組求和的方法求和，在分組求和中的第一個分組則采用錯位相減法求和，此題主要考察學生對基本方法的熟悉程度.使用累加法求通項的遞推形式為，使用累乘法求通項的遞推形式為，使用錯位相減法求和的通項公式為. 例6. 設數(shù)列{an}滿足a1＝1，a

8、n＋1＝2an＋1（n∈N＋），則數(shù)列的通項為_______________. 說明：這個遞推通項滿足的遞推形式，通常可以采用待定系數(shù)法構造新數(shù)列，如等式兩邊同時加上1得到an＋1+1＝2（an＋1），新數(shù)列{an＋1}為首相為2，公比為2的等比數(shù)列，從而得到數(shù)列{an＋1}的通項公式，自然得到數(shù)列{an}的通項.這種遞推形式是較為常見的遞推形式.但作為一道數(shù)列填空題，我們有時也可采用特殊值法進行簡單的推導得到通項，如此題通過遞推公式很快可以得到a2＝3，a3＝7，a4＝31，因此，我們可以猜想an＝，再代入驗證.這種由特殊到一般的推理方法對于數(shù)列的填空題有時也很奏效. *例7.（2020

9、全國數(shù)學Ⅰ文科19）在數(shù)列中，，． （Ⅰ）設．證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和． 說明：這也是一道典型的運用遞推數(shù)列性質求項求和的問題，遞推公式往往形式多樣，而通過適當?shù)刈冃无D會為等差等比數(shù)列是常用的一個手段，直接轉化難度較大，而第一問中的給了我們一些暗示，是否兩邊同時除以就可以構造成一個新的等差數(shù)列呢？通過猜想、探索很快驗證了我們的想法是正確的.通常我們遇到的運用構造新數(shù)列方法求遞推數(shù)列的通項還有其它形式，如 （可采用兩邊同除以構造為等差數(shù)列），（可使用待定系數(shù)法變形為的形式，構造為等比數(shù)列），（兩邊同除以后再使用待定系數(shù)法構造為等比數(shù)列）．在第二問中，則出現(xiàn)了使用錯位相減法求

10、和的常見模型. 基本策略：一般數(shù)列的求項求和問題大多以遞推通項為背景，通過常見的公式、累加、累乘、構造等方法對遞推公式進行變形，最終轉化為我們熟知的等差、等比數(shù)列的定義式進行求解，有時候在構造過程中我們會用到多種構造方法，但最值的目的還是將未知的數(shù)列轉化為我們已知的數(shù)列進行求解.對于理科的學生可以通過列舉前幾項，猜想通項公式，運用數(shù)學歸納法證明的方式求解通項.求遞推數(shù)列通項是數(shù)學中化歸思想的重要體現(xiàn)，對學生的能力要求較高，是歷年高考中的熱點與難點.復習時建議不同層次的學校根據(jù)學生特點進行復習，幾種基本的遞推模型人人掌握，對于變形巧妙，難度較大的問題，講解時可預設臺階或視學生情況選講. 基本

11、題型三：數(shù)列與不等式、函數(shù)與方程等知識的綜合問題 例8. 數(shù)列是等比數(shù)列，＝8，設（），如果數(shù)列的前7項和是它的前n項和組成的數(shù)列的最大值，且，求的公比q的取值范圍． 說明：這是一道較為簡單的數(shù)列與函數(shù)、不等式結合的問題，解題步驟如下： 因為{}為等比數(shù)列，設公比為q,由 則， ∴{}為首項是3，公差為的等差數(shù)列；由最大，且 ∴ ∴ ∴且 ∴ ∴ ∴ 即 從解題的過程可以看出此題運用到對數(shù)運算性質、簡單對數(shù)不等式的解法，數(shù)列在題中作為問題的載體，僅用到基本的等差等比通項知識. 例9.已知數(shù)列{an}滿足，an+1＋an＝4n－3(n∈N*)． (1

12、)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值； (2)當a1＝2時，求數(shù)列{an}的前n項和Sn； (3)若對任意n∈N*，都有≥4成立，求a1的取值范圍． 說明：這是南京市2020屆高三學情分析考試中的壓軸題，題目涵蓋了數(shù)列中的常見思想方法，如第一問運用基本量思想，第二問題分奇偶化歸為等差數(shù)列求和，第三問是與不等式、函數(shù)相結合的恒成立問題.較為全面地考察了學生分析解決問題的能力. 在第二問中，分奇偶討論通項是求和的前提，而為什么要分奇偶討論通項是學生理解的一個難點，由已知an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，得an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*)，兩式相減，得an＋2－an＝4，這個表

13、達式是數(shù)列的隔項遞推公式，也就說明此數(shù)列隔一項具備等差數(shù)列的形式，那數(shù)列中隔項項的下標特點即是奇偶分類，因此，想到分奇偶討論通項就理所當然.而有些學生可能避開分奇偶討論通項而直接求和也是很好的，因為已知an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，這個表達式傳遞給我們連續(xù)兩項的和組成一個新的數(shù)列，而這個數(shù)列是我們熟知的等差數(shù)列這一信息，求和非常方便，但在計算的過程中很容易發(fā)現(xiàn)求和時項數(shù)還是要分奇偶討論. 當n為奇數(shù)時， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－2＋an－1)＋an ＝1＋9＋…＋(4n－11)＋2n ＝＋2n ＝．（在組合過程中將單獨提

14、出可能更為簡單，不需要求解通項） 當n為偶數(shù)時， Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an) ＝1＋9＋…＋(4n－7) ＝． 第三問是不等式的恒成立問題，由第二問的提示，處理第三問的前提是找到數(shù)列的通項，即 an＝ ①當n為奇數(shù)時， ≥4即為2a12－2a1＋5≥－8n2＋28n－12， 令f (n)＝－8n2＋28n－12＝－8(n－)2＋， 當n＝1時，f (n)max＝8，所以2a12－2a1＋5≥8，解得a1≥或a1≤. ②當n為偶數(shù)時，an＝2n－a1－3，an＋1＝2n＋a1， ≥4即為2a12＋6a1＋9≥－

15、8n2＋28n－12， 令f (n)＝－8n2＋28n－12＝－8(n－)2＋， 當n＝2時，f (n)max＝12，所以2a12＋6a1＋9≥12，解得a1≥或a1≤－3． 綜上，a1的取值范圍是a1≥或a1≤－3． *例10．（2020陜西卷理科數(shù)學22）已知數(shù)列的首項，，． （Ⅰ）求的通項公式； （Ⅱ）證明：對任意的，，； （Ⅲ）證明：． 說明：這是一道高考壓軸題，雖然難度大，但第一問還是常規(guī)遞推數(shù)列求通項問題，尋找正確的數(shù)列通項公式是解決此類問題的前提，這個表達式可以兩邊直接取倒數(shù)，變形為的形式，而這種形式正是我們前面提及的形式，可使用待定系數(shù)法變形為的形式，構造為等

16、比數(shù)列的形式，從而求得.此種構造法屬二次變形構造，第一次先變形為我們熟知的可以使用構造法解決通項的數(shù)列遞推形式，第二次則變形為我們熟知的等差等比數(shù)列模型求解通項，屬于難度較大的遞推數(shù)列求通項問題. 后兩問是數(shù)列與函數(shù)、不等式的證明融合一體的綜合問題.從第二問的提法中我們可以感知這是個函數(shù)與數(shù)列結合的恒成立問題，對于不等式的右邊進行變形，分離變量求最值是我們通常的手段，但在變形過程中我們發(fā)現(xiàn)無法將n與x分離，而不等式右邊含有n的表達式與又有著密切的關系，自然想到如下變形方式：, 由于則原命題成立. 在此問中，既然涉及到函數(shù)求最值的問題，我們也可以直接將不等式右邊看做關于x的一

17、個函數(shù)，對其進行求導求最值. 第三問是數(shù)列求和與不等式證明相結合的問題，通常處理方法有以下兩種：（1）能直接求和的先直接求和，將所求和的表達式與要證明的式子進行做差或對比證明；（2）將求和的數(shù)列通項進行有效放縮，使之變?yōu)槟軌蚯蠛偷耐椷M行求和. 本題顯然不適用（1），因為的通項不宜直接求和，因此放縮通項使我們的首選，而放縮的形式非常豐富，如，很好的一個放縮形式，求和也十分方便，但是整理后得，這比我們所要求的結果略小，說明放過了.此時我們有兩個思路，一是對放縮的式子進行微調，使之符合我們的要求，如果行不通我們可以再次審題，發(fā)現(xiàn)第二問的結論為我們放縮提供了條件，即 . 若關于x的方程

18、有解，，則符合對任意的，這種放縮形式，此時結論成立. 在解決數(shù)列中的不等式問題時，有時直接使用不等式的知識求解，有時則需用到裂項法、放縮法進行數(shù)列求和，有時還會運用函數(shù)的單調性、函數(shù)的最值等知識進行判斷求解，教師在講解此類問題是盡量避免技巧性過強的放縮類問題，可根據(jù)學生情況對原題進行改編，降低難度. 基本策略：數(shù)列與函數(shù)、不等式都是高中數(shù)學重要內容，一些常見的解題技巧和思想方法在數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問題中都得到了比較充分的體現(xiàn)．以其知識交匯處為主干，構筑成知識網(wǎng)絡型代數(shù)推理題，在高考中出現(xiàn)的頻率高、難度大．學生遇到此類問題一般具有為難情緒，因此，建議復習時從入口低的問題入手，讓學生找

19、到解決此類問題的基本途徑，建議能力稍弱的學生遇到此類問題不必強求. 基本題型四：數(shù)列的探索型、開放型問題 例11.（2020上海理科10）在行列矩陣中，記位于第行第列的數(shù)為。當時， . 說明：這是一道新定義數(shù)陣問題，學生應該不陌生，一般的處理方法是從特殊到一般尋找規(guī)律.由于此題所涉及數(shù)據(jù)情況較少，所以完全可以采用枚舉法，逐行寫出各項1,3,5,7,9,2,4,6,8，直接求和得45，屬中檔題.如果學生情況較好還可以在此基礎上進行改編，如求. *例12.（08江蘇卷19）（Ⅰ）設是各項均不為零的等差數(shù)列（），且公差， (1)若將此數(shù)列刪去某一項得到的數(shù)列（按原來的順序）是

20、等比數(shù)列：①當n = 4時，求的數(shù)值；②求的所有可能值； （2）求證：對于一個給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個各項及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列． 說明：課程改革突出強調培養(yǎng)學生的探究、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造能力，近幾年江蘇卷中的數(shù)列題較好地體現(xiàn)了這種思想． 此題第一問屬于簡單探索型問題，在項數(shù)比較少時，逐個檢驗是一種可行的方法，當然，加以理論分析，可以提高我們的運算速度.如當n=4時, 中不可能刪去首項或末項，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項成等比數(shù)列，則推出d=0. 若刪去，則，即化簡得，得 若刪去，則，即化簡得，得 綜上，得或. 接著求的所有

21、可能值，這時我們依然可以嘗試n取幾個特殊值，但不能無限制嘗試下去，在剛剛n=4的探索過程中我們已經(jīng)找到規(guī)律，即新構成的等比數(shù)列中不能出現(xiàn)原等差數(shù)列中的連續(xù)三項.因此 當n=5時, 中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項. 若刪去，則，即化簡得，因為，所以不能刪去； 當n≥6時，不存在這樣的等差數(shù)列.事實上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項或末項，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個，則必有，這與矛盾.(或者說：當n≥6時，無論刪去哪一項，剩余的項中必有連續(xù)的三項) 綜上所述，. 第二問是個存在性命題的證明，一般的處理方法是假設存在，進行推理.這種方法大部分學生都

22、能掌握，而難點在于假設存在后列出等式如何推出矛盾，這道題用到了數(shù)論中的一些知識. 假設對于某個正整數(shù)n，存在一個公差為d的n項等差數(shù)列，其中（）為任意三項成等比數(shù)列，則，即，化簡得 （*） 由知，與同時為0或同時不為0 當與同時為0時，有與題設矛盾. 故與同時不為0，所以由（*）得 因為，且x、y、z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù). 于是，對于任意的正整數(shù)，只要為無理數(shù)，相應的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列. 例如n項數(shù)列1，，，……，滿足要求. 基本策略：探索型開放型的問題是新課改后高考中的一個熱點，此類數(shù)列題型在高考中具備以下兩個特點：1、解答題常常以探索存在性

23、的提法出現(xiàn)，往往結合數(shù)論中整數(shù)方程、奇偶性的基本性質進行求解；2、填空題中的探索型開放型問題往往和數(shù)陣、新定義、分形、周期性等相結合，需要學生在理解題意的基礎上不斷地嘗試探索，往往是從特殊到一般尋找規(guī)律，會使用到列舉法，特殊值法，代入驗證等方法.總之我們必須仔細審題，合情推理，恰當轉化，透過現(xiàn)象看本質.此類問題充分考察了學生閱讀與理解、探索與化歸的能力，試題有易有難. 三、本單元二輪專題和課時建議 專題 內容說明 注意事項 第一課時 等差等比數(shù)列求項求和 重點側重于基本量思想的運用，結合等差等比數(shù)列的基本性質 注重培養(yǎng)學生的運算能力，以填空題訓練為主 第二課時 遞推

24、數(shù)列的求通項與求和 重點側重于幾個常見的遞推模型及幾個常用的求和方法，如分組求和法，裂項法，錯位相減法 培養(yǎng)學生表達式的變形與轉化和字母運算的能力，以解答題訓練為主 第三課時 數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的綜合運用（一） 簡單的運用函數(shù)、不等式等知識求解數(shù)列的表達式、單調性、比較大小等問題 知識的遷移與綜合運用能力，以綜合性解答題訓練為主 第四課時 數(shù)列與函數(shù)、方程、不等式的綜合運用（二） 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合運用，適當加大難度（根據(jù)學生情況選講） 第五課時 探索型、開放型問題 多種題型呈現(xiàn)：數(shù)陣、周期數(shù)列、分形、存在性問題等 知識與方法的靈活運用，填空題與解答題均可出現(xiàn)