2020年高考數(shù)學(xué)（藝術(shù)生百日沖刺）專題05 平面向量測試題

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1、專題5平面向量測試題 命題報告： 高頻考點(diǎn)：平面向量的基本概念，平面向量的運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算，平面向量是數(shù)量積運(yùn)算，平面向量與三角函數(shù)、解析幾何的綜合，平面向量與平面幾何的綜合等。 考情分析：本單元在高考中主要以客觀題形式出現(xiàn)，難度較低，再解答題中，主要課程向量的工具性 的作用，一般在解答題中不單獨(dú)命題。 重點(diǎn)推薦：第12題，考查向量和不等式的交匯，有一定難度?？疾閷W(xué)生解決問題的能力。 一． 選擇題 1. （2020?洛陽三模）已知平面向量，，，若，則實(shí)數(shù)k的值為（　　） A． B． C．2 D． 【答案】：B 【解析】∵平面向量，，， ∴=（2+k，﹣1+k），

2、∵， ∴，解得k=．∴實(shí)數(shù)k的值為．故選：B． 2. 已知A，B，C為圓O上的三點(diǎn)，若=，圓O的半徑為2，則=（　?。? A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 【答案】：D 【解析】如圖所示， =， ∴平行四邊形OABC是菱形，且∠AOC=120°，又圓O的半徑為2， ∴=2×2×cos60°=2．故選：D． 3. （2020?寶雞三模）已知不共線向量，，，則=（　?。? A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】∵，∴﹣=﹣4=1，∴=5， ∴==4﹣2×5+9=3，∴=，故選：A． 4.（2020?安寧區(qū)校級模擬）已知向量=（1，1），=（2，﹣3），若k﹣2與垂

3、直，則實(shí)數(shù)k的值為（　?。? A．﹣1 B．1 C．2 D．﹣2 【答案】：A 5. 設(shè)是非零向量，則是成立的（ ） A. 充要條件 B. 充分不必要條件 C. 必要不充分條件 D. 既不充分又不必要條件 【答案】B 【解析】由可知： 方向相同， 表示 方向上的單位向量 所以成立;反之不成立.故選B 6. （2020?西寧一模）如圖在邊長為1的正方形組成的網(wǎng)格中，平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D被陰影遮住，請找出D點(diǎn)的位置，計算的值為（　?。? A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】：B 【解析】：以A為原點(diǎn)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則A（0，0

4、），B（4，1），C（6，4）， 平行四邊形ABCD，則=，設(shè)D（x，y），∴（4，1）=（6﹣x，4﹣y）， ∴4=6﹣x，1=4﹣y，解得x=2，y=3，∴D（2，3），∴?=2×4+3×1=11，故選：B． 格中的位置如圖所示，則?（）=　?。? 【答案】：3 【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系， 則=（1，3），=（3，﹣1）﹣（1，1）=（2，﹣2），=（（3，2）﹣（5，﹣1）=（﹣2，3）， ∴=（0，1），∴=（1，3）?（0，1）=3．故答案為：3． 16. （2020?紅橋區(qū)一模）在△ABC中，點(diǎn)D滿足=，當(dāng)點(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上移動時，若=λ+μ，

5、則λ+的最小值為　?。? 【思路分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用、表示出，再利用表示出，求出λ與μ，利用基本不等式求出的最小值． 【答案】 【解析】：如圖所示，△ABC中，， ∴=+=+=+（﹣）=+，又點(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上移動，設(shè)=k，k＞0，∴=+， 又， ∴，∴=+≥2=，當(dāng)且僅當(dāng)k=時取“=”； ∴λ+的最小值為．故答案為：． 三．解答題 17. 如圖，在△ABC中，AO是BC邊上的中線；已知AO=1，BC=3．設(shè)=，=． （Ⅰ）試用，表示，； （Ⅱ）求AB2+AC2的值． 【解析】：（Ⅰ）在△ABC中，AO是BC邊上的中線， 設(shè)=，=． 所以

6、：， 則：=． =．…………4分 18. 如圖，已知向量． （1）若∥，求x與y之間的關(guān)系； （2）在（1）的條件下，若有，求x，y的值以及四邊形ABCD的面積． 【思路分析】（1）由∥，結(jié)合向量平行的坐標(biāo)表示可得（x+4）y﹣（y﹣2）x=0，可求x，y的關(guān)系， （2）由有，結(jié)合（1）的關(guān)系式可求x，y的值，代入四邊形的面積公式可求 【解析】：（1）∵， 又，∴x（y﹣2）﹣y（x+4）=0?x+2y=0①…………4分 （2）∵， 又⊥，∴（x+6）（x﹣2）+（y+1）（y﹣3）=0?x2+y2+4x﹣2y﹣15=0②； 由①，②得或， 當(dāng)時，，，則；

7、當(dāng)時，，， 則； 綜上知．…………12分 19. 如圖，直角梯形ABCD中，||=2，∠CDA=，=2，角B為直角，E為AB的中點(diǎn)，=λ（0≤λ≤1）． （1）當(dāng)λ=時，用向量，表示向量； （2）求||的最小值，并指出相應(yīng)的實(shí)數(shù)λ的值． 【思路分析】（1）利用三角形法則即可得出結(jié)論； （2）表示出的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出其模的最小值即可． 【解析】：（1）當(dāng)λ=時，直角梯形ABCD中， ||=2，∠CDA=，=2， 角B為直角，E為AB中點(diǎn)，=， ∵=[（﹣）+（+）] =（﹣++） =+；…………5分 （2）∵直角梯形ABCD，||=2，∠CDA=，=

8、2， 角B為直角，E為AB中點(diǎn)，=λ，（0≤λ≤1）， ∵=（+）=[（﹣）+（+）] =[﹣λ+（1﹣λ）+] =[+（1﹣2λ）] =+， ∴=++（1﹣2λ）? =4λ2﹣7λ+=4+,∵0≤λ≤1， ∴當(dāng)λ=時，有最小值， ∴||有最小值．…………12分 20. （2020秋?新羅區(qū)校級月考）在如圖所示的直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A，B是單位圓上的點(diǎn)，且A（1，0），．現(xiàn)有一動點(diǎn)C在單位圓的劣弧上運(yùn)動，設(shè)∠AOC=α． （Ⅰ）若tanα=2，求的值； （Ⅱ）若，其中x，y∈R，求x+y的取值范圍． 【思路分析】（Ⅰ）利用三角函數(shù)的定義及向量數(shù)量積可求得； （

9、Ⅱ）利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可將x和y用α表示，從而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求值域可求得． 【解析】：（Ⅰ）∵且tanα=2，∴sinα=，cosα= ∴?=|||cos∠BOC=cos（） =coscosα+sinsinα=﹣×+=；…………5分 （Ⅱ）∵，∴B（﹣，）， 又∵∠AOC=α，∴C（cosα，sinα） 由=x+y，得（cosα，sinα）=（x，0）+（﹣y，）=（x﹣y，y） 得x﹣=cosα，=sinα，得x=+cosα，y= ∴x+y=sinα+cosα=2sin（） ∵，∴α+， ∴ ∴x+y∈[1，2]．…………12分 21. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已

10、知向量=（λcosα﹣sinβ，λsinα+cosβ），向量=（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ），λ＞0． （1）若向量與的夾角為，＜β＜α＜2π，求α﹣β的值； （2）若對任意實(shí)數(shù)α，β都使得|﹣|≥||成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍． 【思路分析】（1）直接利用向量的數(shù)量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換求出夾角． （2）利用向量的夾角公式和恒成立問題求出參數(shù)的取值范圍． 【解析】：（1）已知向量=（λcosα﹣sinβ，λsinα+cosβ）①， 向量=（﹣λcosα﹣sinβ，﹣λsinα+cosβ），則：==（﹣λcosα﹣sinβ，﹣

11、λsinα+cosβ）②， 由①②得：，，所以：，．設(shè)向量與的夾角為θ， 所以： =sin（α﹣β）， 由于，所以：．由于：＜β＜α＜2π，所以：，則：．…………6分 （2）由于對任意實(shí)數(shù)α，β都使得|﹣|≥||成立， 而：，由于，所以對任意的實(shí)數(shù)α，β都成立． 由于1﹣2λsin（α﹣β）≥0對任意的實(shí)數(shù)α，β都成立， 所以：，所以：，解得：，所以：．…………12分 22（2020春?江陰市校級期中）在△ABC中，，M是BC的中點(diǎn)． （1）若點(diǎn)O是線段AM上任意一點(diǎn)，且||=||=，求+的最小值； （2）若點(diǎn)P是∠BAC內(nèi)一點(diǎn)，且=2=2，||=2，求|++|的最

12、小值． 【思路分析】（1）由題意可得△ABC為等腰直角三角形，以A為原點(diǎn)，AB，AC為x軸和y軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，M是BC的中點(diǎn)，O是線段AM上任意一點(diǎn)，可設(shè)O（x，x），0≤x≤，根據(jù)向量的數(shù)量積和坐標(biāo)運(yùn)算可得關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可； （2）設(shè)∠CAP=α，∠BAP=﹣α，0＜α＜，運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，向量的平方即為模的平方，結(jié)合坐標(biāo)法和三角函數(shù)的同角關(guān)系、以及基本不等式可得最小值． =4x2﹣2x=4（x﹣）2﹣， 故當(dāng)x=時，+的最小值為﹣；…………6分 （2）設(shè)∠CAP=α，∠BAP=﹣α，0＜α＜， 由=2=2，||=2， 可得2||cosα=2，2||cos（﹣α）=1， 即有||=，||=， |++|2=2+2+2+2?+2?+2? =++4+0+4+2 =++10 =+tan2α+≥2+=， 當(dāng)且僅當(dāng)=tan2α，即tanα=時，|++|的最小值為．……12分