（新高考）2020版高考數(shù)學二輪復習 第一部分 思想方法 數(shù)學思想方法 第5講 選填題常用解法教學案 理

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1、第5講　選填題常用解法 方法一　直接法 方法詮釋 直接從題設條件出發(fā)，運用有關概念、性質、定理、法則和公式等知識，通過嚴密地推理和準確地運算，從而得出正確的結論，然后對照題目所給出的選項“對號入座”，作出相應的選擇 適用范圍 涉及概念、性質的辨析或運算較簡單的題目常用直接法 【例1】　(1)[2019·全國卷Ⅱ]設集合A＝{x|x2－5x＋6＞0}，B＝{x|x－1＜0}，則A∩B＝(　　) A．(－∞，1)　　　 B．(－2,1) C．(－3，－1) D．(3，＋∞) 解析：因為A＝{x|x2－5x＋6＞0}＝{x|x＞3或x＜2}，B＝{x|x－1＜0}＝{x|x＜1}，

2、所以A∩B＝{x|x＜1}，故選A. 答案：A (2)[2019·全國卷Ⅰ]已知非零向量a，b滿足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D. 解析：設a與b的夾角為α，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0， ∴a·b＝b2，∴|a|·|b|cosα＝|b|2，又|a|＝2|b|，∴cosα＝，∵α∈[0，π]，∴α＝.故選B. 答案：B (3)[2019·全國卷Ⅲ]記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a1≠0，a2＝3a1，則＝__________. 解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2

3、a1，所以＝＝＝＝4. 答案：4 (4)[2019·全國卷Ⅱ]△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，則△ABC的面積為________． 解析：解法一：因為a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以△ABC的面積S＝acsinB＝×4×2×sin＝6. 解法二：因為a＝2c，b＝6，B＝，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccos，得c＝2，所以a＝4，所以a2＝b2＋c2，所以A＝，所以△ABC的面

4、積S＝×2×6＝6. 答案：6 方法點睛 直接法的使用技巧 直接法是解決計算型客觀題最常用的方法，在計算過程中，我們要根據(jù)題目的要求靈活處理，多角度思考問題，注意一些解題規(guī)律和解題技巧的靈活應用，將計算過程簡化，從而得到結果，這是快速準確求解客觀題的關鍵． 方法二　排除法 方法詮釋 排除法也叫篩選法或淘汰法，使用排除法的前提條件是答案唯一，具體的做法是采用簡捷有效的手段對各個備選答案進行“篩選”，將其中與題干相矛盾的干擾支逐一排除，從而獲得正確結論 適用范圍 這種方法適用于直接法解決問題很困難或者計算較繁雜的情況 【例2】　(1)[2019·福建五校聯(lián)考]函數(shù)f(x)＝x

5、2＋ln(e－x)ln(e＋x)的圖象大致為(　) 解析：因為f(－x)＝(－x)2＋ln(e＋x)ln(e－x)＝x2＋ln(e－x)·ln(e＋x)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，據(jù)此可排除選項C(也可由f(0)＝1排除選項C)．當x→e時，f(x)→－∞，據(jù)此可排除選項B、D.故選A. 答案：A (2)[2018·河北七校聯(lián)考]已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一個焦點為F(0，－2)，一條漸近線的斜率為，則該雙曲線的方程為(　　) A.－y2＝1　 B．x2－＝1 C.－x2＝1 D．y2－＝1 解析：∵焦點F(0，－2)，∴焦點在y軸上，排除A，B；又選項D中

6、漸近線方程為y＝±x，排除D，故選C. 答案：C (3)[2018·開封調(diào)研]已知向量a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是(　　) A.∪(2，＋∞) B．(2，＋∞) C. D. 解析：因為當λ＝0時，a與b的夾角為鈍角，排除B，D；當λ＝2時，夾角為π，排除C，故選A. 答案：A 方法點睛 排除法的使用技巧 排除法適用于不易直接求解的選擇題．當題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件找出明顯與之矛盾的選項予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步排除，直接得到正確的選項． 方法三　特值法 方法詮釋 1.從題干

7、(或選項)出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構造滿足題設條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進行判斷．特值法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊數(shù)列等 2.當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值時，可以從題中變化的不定量中選取符合條件的恰當特殊值(特殊函數(shù)、特殊角、特殊數(shù)列、特殊位置、特殊點、特殊方程、特殊模型等)進行處理，從而得出探求的結論．為保證答案的正確性，在利用此方法時，一般應多取幾個特例 適用范圍 1.適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題 2.求值

8、或比較大小等問題的求解均可利用特殊值法，但要注意此種方法僅限于求解結論只有一種的填空題，對于開放性問題或者有多種答案的填空題，則不能使用這種方法 【例3】　(1)已知橢圓C1：＋y2＝1(m>1)與雙曲線C2：－y2＝1(n>0)的焦點重合，若e1，e2分別為C1，C2的離心率，則(　　) A．m>n且e1e2>1　　 B．m>n且e1e2<1 C．m1 D．mn，e1e2＝>1，故選A. 答案

9、：A (2)已知E為△ABC的重心，AD為BC邊上的中線，令＝a，＝b，若過點E的直線分別交AB，AC于P，Q兩點，且＝ma，＝nb，則＋＝(　　) A．3 B．4 C．5 D. 解析：由于題中直線PQ的條件是過點E，所以該直線是一條“動”直線，所以最后的結果必然是一個定值．故可利用特殊直線確定所求值． 方法一：如圖1，PQ∥BC，則＝，＝， 圖1 此時m＝n＝，故＋＝3，故選A. 方法二：如圖2，取直線BE作為直線PQ，顯然，此時＝，＝，故m＝1，n＝，所以＋＝3，故選A. 圖2 答案：A (3)若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函數(shù)，則a＝_______

10、_. 解析：由題意知，函數(shù)f(x)的定義域為R， 又因為函數(shù)為偶函數(shù)， 所以f－f＝0， 即ln(e－1＋1)－－ln(e＋1)－＝0，lne－1－a＝0，解得a＝－，將a＝－代入原函數(shù)， 檢驗知f(x)是偶函數(shù)，故a＝－. 答案：－ 方法點睛 特值法的使用技巧 特值法具有簡化運算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題，但用特值法解選擇題時，要注意以下兩點： 第一，取特值盡可能簡單，有利于計算和推理； 第二，若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結論相符，則應選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解． 方法四　構造法 方法詮釋 構造法是一種

11、創(chuàng)造性思維，是綜合運用各種知識和方法，依據(jù)問題給出的條件和結論給出的信息，把問題作適當?shù)募庸ぬ幚?，構造與問題相關的數(shù)學模式，揭示問題的本質，從而找到解題的方法 適用范圍 適用于求解問題中常規(guī)方法不能解決的問題 【例4】　(1)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的可導函數(shù)，若對于?x∈R，均有f(x)>f′(x)，則有(　　) A．e2 018f(－2 018)e2 018f(0) B．e2 018f(－2 018)f(0)，f(2 018)>e2 018f(0) D．e

12、2 018f(－2 018)>f(0)，f(2 018)f′(x)，并且ex>0， 所以g′(x)<0，故函數(shù)g(x)＝在R上單調(diào)遞減， 所以g(－2 018)>g(0)，g(2 018)f(0)，f(0)，f(2 018)

13、，以DA，AB，BC為棱長構造正方體， 設正方體的外接球球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以|CD|＝＝2R， 所以R＝，故球O的體積V＝＝π. 答案：π 方法點睛 構造法實質上是轉化與化歸思想在解題中的應用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構造的方向，通過構造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉化為自己熟悉的問題．(2)題巧妙地構造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對角線，問題很容易得到解決． 方法五　估算法 方法詮釋 由于選擇題提供了唯一正確的選項，解答又無需過程．因此，有些題目，不必進行準確的計算，只需對其數(shù)值特點和取值界限作出適當?shù)墓?/p>

14、計，便能作出正確的判斷，這就是估算法．估算法往往可以減少運算量 適用范圍 難度稍大的函數(shù)的最值或取值范圍、函數(shù)圖象的變化等問題，常用估值法確定選項 【例5】　(1)已知a＝21.1，b＝30.6，c＝log3，則a，b，c的大小關系為(　　) A．b>c>a　　　 B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．a(chǎn)>b>c 解析：a＝21.1>0，b＝30.6>0，c＝log3<0，a＝21.1>2，b＝30.6＝<＝2.所以a>b>c.故選D. 答案：D (2)若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：因為雙曲線的一條漸

15、近線經(jīng)過點(3，－4)，所以＝，因為e＝>＝.∴e>，故選D. 答案：D (3)[2017·全國卷Ⅱ，文]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何體的體積為(　　) A．90π B．63π C．42π D．36π 解析：由題意，知V圓柱

16、的選項時，常采用估算法． 方法六　圖解法(數(shù)形結合法) 方法詮釋 對于一些含有幾何背景的填空題，若能根據(jù)題目中的條件，作出符合題意的圖形，并通過對圖形的直觀分析、判斷，即可快速得出正確結果．這類問題的幾何意義一般較為明顯，如一次函數(shù)的斜率和截距、向量的夾角、解析幾何中兩點間距離等 適用范圍 圖解法是研究求解問題中含有幾何意義命題的主要方法，解題時既要考慮圖形的直觀，還要考慮數(shù)的運算 【例6】　(1)已知平面向量a，b的夾角為，且|a|＝1，|b|＝2，則2a＋b與b的夾角是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：設2a＋b與b的夾角是θ，由題意有 |2a＋b

17、|＝＝2，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|·|b|cos＋b2＝6，所以cosθ＝＝＝，所以θ＝. 答案：D (2)平面α過正方體ABCD－A1B1C1D1的頂點A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　) A. B. C. D. 解析：如圖所示，設平面CB1D1∩平面ABCD＝m1， ∵α∥平面CB1D1，則m1∥m， 又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1， 平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1， ∴B1D1∥m1，∴B1D1∥m， 同理可得CD1∥n. 故m、n所成角的大小與B1D1

18、、CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。? 而B1C＝B1D1＝CD1(均為面對角線)，因此∠CD1B1＝，得sin∠CD1B1＝. 答案：A (3)已知當x∈[0,1]時，函數(shù)y＝(mx－1)2的圖象與y＝＋m的圖象有且只有一個交點，則正實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：函數(shù)y＝(mx－1)2的圖象的對稱軸為x＝，當≥1，即01時，作出函數(shù)y＝(mx－1)2與y＝＋m的圖象，如圖所示， 要使二者只有一個交點，則需y＝＋m在x＝1時的值小于等于y＝(mx－1)2

19、的值，即m＋1≤(m－1)2，解得m≥3，綜上正實數(shù)m的取值范圍是(0,1]∪[3，＋∞)． 答案：(0,1]∪[3，＋∞) (4)已知直線l：mx＋y＋3m－＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點，過A，B作l的垂線交x軸于C，D兩點，若|AB|＝2，則|CD|＝________. 解析：根據(jù)直線與圓的位置關系先求出m的值，再求|CD|. 由直線l：mx＋y＋3m－＝0知其過定點(－3，)，圓心O到直線l的距離為d＝. 由|AB|＝2得2＋()2＝12， 解得m＝－. 又直線l的斜率為－m＝，所以直線l的傾斜角α＝， 畫出符合題意的圖形如圖所示． 過點C作CE⊥BD，則∠DCE＝. 在Rt△CDE中，可得|CD|＝2×＝4. 答案：4 方法點睛 圖解法實質上就是數(shù)形結合的思想方法，在解決填空題中的應用時，利用圖形的直觀性并結合所學知識便可直接得到相應的結論，這也是高考命題的熱點．準確運用此類方法的關鍵是正確把握各種式子與幾何圖形中的變量之間的對應關系，利用幾何圖形中的相關結論求出結果． 11