2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)列教案

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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)列教案 本章是數(shù)列，特別是等差數(shù)列與等比數(shù)列，有著較為廣泛的實(shí)際應(yīng)用如各種產(chǎn)品尺寸常要分成若干等級(jí)，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時(shí)，常按等差數(shù)列進(jìn)行分級(jí)，比如鞋的尺碼；當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差較大時(shí)(這種情況是多數(shù))，常按等比數(shù)列進(jìn)行分級(jí)，比如汽車的載重量、包裝箱的重量等特別值得一提的是，數(shù)列在產(chǎn)品尺寸標(biāo)準(zhǔn)化方面有著重要作用?數(shù)列在整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，處于一個(gè)知識(shí)匯合點(diǎn)的地位，很多知識(shí)都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，過去學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡(jiǎn)易邏輯等知識(shí)在這一章均得到了較為充分的應(yīng)用，而學(xué)習(xí)數(shù)列又為后面學(xué)習(xí)數(shù)列與函數(shù)的極限等內(nèi)容作了鋪墊課本采取將代數(shù)

2、、幾何打通的混編體系的主要目的是強(qiáng)化數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，而數(shù)列正是在將各知識(shí)溝通方面發(fā)揮了重要作用由于不少關(guān)于恒等變形、解方程(組)以及一些帶有綜合性的數(shù)學(xué)問題都與等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)，學(xué)習(xí)這一章便于對(duì)學(xué)生進(jìn)行綜合訓(xùn)練，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問題的能力 ????本章教學(xué)約需17課時(shí)，具體分配如下： 3.1 數(shù)列 約2課時(shí) 3.2 等差數(shù)列 約2課時(shí) 3.3 等差數(shù)列前n項(xiàng)和 約2課時(shí) 3.4 等比數(shù)列 約2課時(shí) 3.5 等比數(shù)列前n項(xiàng)和 約2課時(shí) 研究性課題：分期付款中的有關(guān)計(jì)算 約3課時(shí) 小結(jié)與復(fù)習(xí) 約4課時(shí) ?

3、一、內(nèi)容與要求 ????本章從內(nèi)容上看，可以分為數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列三個(gè)部分 ????在數(shù)列這一部分，主要介紹數(shù)列的概念、分類，以及給出數(shù)列的兩種方法關(guān)于數(shù)列的概念，先給出了一個(gè)描述性定義，爾后又在此基礎(chǔ)上，給出了一個(gè)在映射、函數(shù)觀點(diǎn)下的定義，指出：“從映射、函數(shù)的觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作是一個(gè)定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的有限子集)的函數(shù)當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值”這樣就可以將數(shù)列與函數(shù)聯(lián)系起來，不僅可以加深對(duì)數(shù)列概念的理解，而且有助于運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)去研究數(shù)列關(guān)于給出數(shù)列的兩種方法，其中數(shù)列的通項(xiàng)公式，教材已明確指出它就是相應(yīng)函數(shù)的解析式點(diǎn)破了這一點(diǎn)，數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系揭示

4、得就更加清楚此外，正如并非每一函數(shù)均有解析表達(dá)式一樣，也并非每一數(shù)列均有通項(xiàng)公式(有通項(xiàng)公式的數(shù)列只是少數(shù))，因而研究遞推公式給出數(shù)列的方法可使我們研究數(shù)列的范圍大大擴(kuò)展遞推是數(shù)學(xué)里的一個(gè)非常重要的概念和方法，數(shù)學(xué)歸納法證明問題的基本思想實(shí)際上也是“遞推”在數(shù)列的研究中，不僅很多重要的數(shù)列是用遞推公式給出的，而且它也是獲得一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式的途徑：先得出較為容易寫出的數(shù)列的遞推公式，然后再根據(jù)它推得通項(xiàng)公式但是，這項(xiàng)內(nèi)容也是極易膨脹的，例如研究用遞推公式給出的數(shù)列的性質(zhì)，從數(shù)列的遞推公式推導(dǎo)通項(xiàng)公式等，這樣就會(huì)加重學(xué)生負(fù)擔(dān)考慮到學(xué)生是在高一學(xué)習(xí)，我們必須牢牢把握教學(xué)要求，只要能初步體會(huì)一下用遞

5、推方法給出數(shù)列的思想，能根據(jù)遞推公式寫出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)就行了 ????在等差數(shù)列這一部分，在講等差數(shù)列的概念時(shí)，突出了它與一次函數(shù)的聯(lián)系，這樣就便于利用所學(xué)過的一次函數(shù)的知識(shí)來認(rèn)識(shí)等差數(shù)列的性質(zhì)：從圖象上看，為什么表示等差數(shù)列的各點(diǎn)都均勻地分布在一條直線上，為什么兩項(xiàng)可以決定一個(gè)等差數(shù)列(從幾何上看兩點(diǎn)可以決定一條直線)在推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，突出了數(shù)列的一個(gè)重要的對(duì)稱性質(zhì)：與任一項(xiàng)前后等距離的兩項(xiàng)的平均數(shù)都與該項(xiàng)相等，認(rèn)識(shí)這一點(diǎn)對(duì)解決問題會(huì)帶來一些方便 ????在等比數(shù)列這一部分，在講等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式時(shí)也突出了它與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系這不僅可加深對(duì)等比數(shù)列的認(rèn)識(shí)，而且可以對(duì)處

6、理某類問題的指數(shù)函數(shù)方法和等比數(shù)列方法進(jìn)行比較，從而有利于對(duì)這些方法的掌握 二、本章的特點(diǎn) ????(一)在啟發(fā)學(xué)生思維上下功夫 ????本章內(nèi)容，是培養(yǎng)學(xué)生觀察問題、啟發(fā)學(xué)生思考問題的好素材，使學(xué)生在獲得知識(shí)的基礎(chǔ)上，觀察和思維能力得到提高 ????在問題的提出和概念的引入方面，為了引起學(xué)生的興趣，在本章的“前言”里用了一個(gè)有關(guān)國(guó)際象棋棋盤的古代傳說作為引入的例子它用一個(gè)涉及求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的麥粒數(shù)的計(jì)算問題給學(xué)生造成了一個(gè)不學(xué)本章知識(shí)、難獲問題答案的懸念，又在學(xué)了等比數(shù)列后回過頭來解開這個(gè)懸念；在講等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念時(shí)，都是先寫出幾個(gè)數(shù)列，讓學(xué)生先觀察它們的共同特點(diǎn)，然

7、后在歸納共同特點(diǎn)的基礎(chǔ)上給出相應(yīng)的定義 ????在推導(dǎo)結(jié)論時(shí)，注意發(fā)揮它們?cè)趩l(fā)學(xué)生思維方面的作用例如在講等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，沒有平鋪直敘地推導(dǎo)公式，而是先提出問題： 1+2+3+...+100 = ?，并指出著名數(shù)學(xué)家高斯10歲時(shí)便很快算出它的結(jié)果，以激發(fā)學(xué)生的求解熱情，然后讓學(xué)生在觀察高斯算法的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)上述數(shù)列的一個(gè)對(duì)稱性質(zhì)：任意第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和均等于首末兩項(xiàng)的和，從而為順利地推導(dǎo)求和公式鋪平了道路 ????在例題、習(xí)題的表述方面，適當(dāng)配備了一些采用疑問形式的題，以增加問題的啟發(fā)成分如3.3 例4：“已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為=pn十q，其中p、q是常數(shù)，那么這種數(shù)列是否一

8、定是等差數(shù)列? 如果是，其首項(xiàng)與公差是什么?” 又如:“如果一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列，那么這個(gè)數(shù)列有什么特點(diǎn)？”這樣就增加了題目的研究性在講有些例題時(shí)，加了一小段“分析”，通過不多的幾句話點(diǎn)明解題的思路如對(duì)于上面提到的“3.3 例 4”，加的一段“分析”是：“由等差數(shù)列定義，要判定 {}是不是等差數(shù)列，只要看? 是不是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)就行了”話雖不多，但突出了 “從定義出發(fā)”這種最基本的證明方法 ????(二)加強(qiáng)了知識(shí)的應(yīng)用 ????除了上面提到的“研究性課題”多具有應(yīng)用性的特點(diǎn)以外還在教材中適當(dāng)增加了一些應(yīng)用問題如在“閱讀材料”里介紹了有關(guān)儲(chǔ)蓄的一些計(jì)算；在所增加的應(yīng)用問題

9、里還涉及房屋拆建規(guī)劃、繞在圓盤上的線的長(zhǎng)度等 ????(三)呼應(yīng)前面的邏輯知識(shí)，加強(qiáng)了推理論證的訓(xùn)練 ????考慮到《新大綱》更加重視對(duì)學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)，且在前面第一章已介紹了“簡(jiǎn)易邏輯”，為進(jìn)行推理論證作了準(zhǔn)備，緊接著又在第二章“函數(shù)”里進(jìn)行了一定的推理論證訓(xùn)練，因此本草在推理論證方面有所加強(qiáng)???? (四)注意滲透一些重要的數(shù)學(xué)思想方法 ????由于本章處在知識(shí)交匯點(diǎn)的地位，所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法較為豐富，教材在這方面也力求充分挖掘教材注意從函數(shù)的觀點(diǎn)去看數(shù)列，在這種整體的、動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)之下使數(shù)列的一些性質(zhì)顯現(xiàn)得更加清楚，某些問題也能得到更好的解決，例如“復(fù)習(xí)參考題B組第2題”便

10、是一個(gè)典型例子方程或方程組的思想也是體現(xiàn)得較為充分的，不少的例、習(xí)題均屬這種模式：已知數(shù)列滿足某某條件，求這個(gè)數(shù)列這類問題一般都要通過列出方程或方程組．然后求解關(guān)于遞推的思想方法，不僅在數(shù)列的遞推公式里有所體現(xiàn)觀察、歸納、猜想、證明等思想方法的組合運(yùn)用在本章里得到了充分展示．為學(xué)生了解它們各自的作用、相互間的關(guān)系并進(jìn)行初步運(yùn)用提供了條件 三、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問題 ????(一)把握好本章的教學(xué)要求 ????由于本章聯(lián)系的知識(shí)面廣，具有知識(shí)交匯點(diǎn)的特點(diǎn)，在應(yīng)試教育的“一步到位”的教育思想的影響下，本章的教學(xué)要求很容易拔高，過早地進(jìn)行針對(duì)“高考” 的綜合性訓(xùn)練，從而影響了基本內(nèi)容的學(xué)習(xí)和

11、加重了學(xué)生負(fù)擔(dān)事實(shí)上，學(xué)習(xí)是一個(gè)不斷深化的過程作為在高一(上)學(xué)習(xí)的這一章，應(yīng)致力于打好基礎(chǔ)并進(jìn)行初步的綜合訓(xùn)練，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中通過對(duì)本章內(nèi)容的不斷應(yīng)用來獲得鞏固和提高最后在高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)時(shí)，通過知識(shí)的系統(tǒng)梳理和進(jìn)一步的綜合訓(xùn)練使對(duì)本章內(nèi)容的掌握上升到一個(gè)新的檔次為此，本章教學(xué)中應(yīng)特別注意一些容易膨脹的地方例如在學(xué)習(xí)數(shù)列的遞推公式時(shí)，不要去搞涉及遞推公式變形的論證、計(jì)算問題，只要會(huì)根據(jù)遞推公式求出數(shù)列的前幾項(xiàng)就行了；在研究數(shù)列求和問題時(shí)，不要涉及過多的技巧. ????(二)有意識(shí)地復(fù)習(xí)和深化初中所學(xué)內(nèi)容 ????對(duì)于初中學(xué)過的多數(shù)知識(shí)．在高中沒有系統(tǒng)深入學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)而初中內(nèi)容是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的

12、必要基礎(chǔ)，因而在學(xué)習(xí)高中內(nèi)容時(shí)有意識(shí)地復(fù)習(xí)、深化初中內(nèi)容顯得特別重要本章是高中數(shù)學(xué)的第三章，距離初中數(shù)學(xué)較近，與初中數(shù)學(xué)的聯(lián)系最廣，因而教學(xué)中應(yīng)在溝通初、高中數(shù)學(xué)方面盡可能多地作一些努力???? (三)適當(dāng)加強(qiáng)本章內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系 ????適當(dāng)加強(qiáng)這種聯(lián)系，不僅有利于知識(shí)的融匯貫通，加深對(duì)數(shù)列的理解，運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決有關(guān)數(shù)列的問題，而且反過來可使學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)深化一步比如，學(xué)生在此之前接觸的函數(shù)一般是自變量連續(xù)變化的函數(shù)，而到本章接觸到數(shù)列這種自變量離散變化的函數(shù)之后，就能進(jìn)一步理解函數(shù)的一般定義，防止了前面內(nèi)容安排可能產(chǎn)生的學(xué)生認(rèn)識(shí)上的負(fù)遷移； ????本章內(nèi)容與函數(shù)的聯(lián)系涉

13、及以下幾個(gè)方面 ????1．?dāng)?shù)列概念與函數(shù)概念的聯(lián)系 ????相應(yīng)于數(shù)列的函數(shù)是一種定義域?yàn)檎麛?shù)集(或它的前n個(gè)數(shù)組成的有限子集)的函數(shù)，它是一種自變量“等距離”地離散取值的函數(shù)從這個(gè)意義上看，它豐富了學(xué)生所接觸的函數(shù)概念的范圍但數(shù)列與函數(shù)并不能劃等號(hào)，數(shù)列是相應(yīng)函數(shù)的一系列函數(shù)值基于以上聯(lián)系，數(shù)列也可用圖象表示，從而可利用圖象的直觀性來研究數(shù)列的性質(zhì)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是相應(yīng)因數(shù)的解析表達(dá)式而數(shù)列的遞推公式也是表示相應(yīng)函數(shù)的一種方式，因?yàn)橹灰o定一個(gè)自變量的值n，就可以通過遞推公式確定相應(yīng)的f(n)這也反過來說明作為一個(gè)函數(shù)并不一定存在直接表示因變量與自變量關(guān)系的解析式 ???? 2

14、．等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的聯(lián)系 ????從等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道，公差不為零的等差數(shù)列的每一項(xiàng)a是關(guān)于項(xiàng)數(shù)n的一次函數(shù)式于是可以利用一次函數(shù)的性質(zhì)來認(rèn)識(shí)等差數(shù)列例如，根據(jù)一次函數(shù)的圖象是一條直線和直線由兩個(gè)點(diǎn)唯一確定的性質(zhì)，就容易理解為什么兩項(xiàng)可以確定一個(gè)等差數(shù)列 ???此外，首項(xiàng)為、公差為d的等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式可以寫為： ????即當(dāng)時(shí)，是n的二次函數(shù)式，于是可以運(yùn)用二次函數(shù)的觀點(diǎn)和方法來認(rèn)識(shí)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的問題如可以根據(jù)二次函數(shù)的圖象了解的增減變化、極值等情況 ????3．等比數(shù)列與指數(shù)型函數(shù)的聯(lián)系 ????由于首項(xiàng)為、公比為q的等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以寫成

15、 它與指數(shù)函數(shù)y=有著密切聯(lián)系，從而可利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來研究等比數(shù)列 ????(四)注意等差數(shù)列與等比數(shù)列的對(duì)比，突出兩類數(shù)列的基本特征 ????等差數(shù)列與等比數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括：定義、性質(zhì)(等差還是等比)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式、兩個(gè)數(shù)的等差(等比)中項(xiàng)具體問題里成等差(等比)數(shù)列的三個(gè)數(shù)的設(shè)法等因此在教學(xué)與復(fù)習(xí)時(shí)可采用對(duì)比方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別順便指出，一個(gè)數(shù)列既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的充要條件是它是非零的常數(shù)列 ????教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)，等差數(shù)列的基本性質(zhì)是“等差”，等比數(shù)列的基本性質(zhì)是“等比”，這是我們研究有關(guān)兩類數(shù)列的主要出發(fā)點(diǎn)，是判斷、證明

16、一個(gè)數(shù)列是否為等差 (等比)數(shù)列和解決其他問題的一種基本方法要讓學(xué)生注意，這里的“等差”(“等比”)，是對(duì)任意相鄰兩項(xiàng)來說的 ????上述基本性質(zhì)，引申出兩類數(shù)列的一種對(duì)稱性：即與數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和(之積)等于該項(xiàng)的2倍(平方). ????利用上述性質(zhì)，常使一些問題變得簡(jiǎn)便對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，還可指出等差數(shù)列與等比數(shù)列描述了兩種最簡(jiǎn)單、最重要的變化：等差數(shù)列描述的是一種絕對(duì)均勻變化，等比數(shù)列描述的是一種相對(duì)均勻變化非均勻變化通常要轉(zhuǎn)化或近似成均勻變化來進(jìn)行研究，這就成為教材之所以重點(diǎn)研究等差數(shù)列與等比數(shù)列的主要原因所在 ????(五)注意培養(yǎng)學(xué)生初步綜合運(yùn)用觀察、歸納、

17、猜想、證明等方法的能力 ????綜合運(yùn)用觀察、歸納、猜想、證明等方法研究數(shù)學(xué)，是一種非常重要的學(xué)習(xí)能力事實(shí)上，在問題探索求解中，常常是先從觀察入手，發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn)，形成解決問題的初步思路；然后用歸納方法進(jìn)行試探，提出猜想；最后采用證明方法(或舉反例)來檢驗(yàn)所提出的猜想應(yīng)該指出，能夠充分進(jìn)行上述研究方法訓(xùn)練的素材在高中數(shù)學(xué)里并非很多，而在本章里卻多次提供了這種訓(xùn)練機(jī)會(huì)，因而在教學(xué)中應(yīng)該充分利用，不要輕易放過 ????(六)在符號(hào)使用上與國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)一致 ????為便于與國(guó)際交流，關(guān)于量和單位的新國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定自然數(shù)集N＝{0， l，2．3，……}，即自然數(shù)從O開始這與長(zhǎng)期以來的習(xí)慣用法不同，會(huì)使我們感到別扭但為了不與上述規(guī)定抵觸，教學(xué)中還是要將過去的習(xí)慣用法改變過來，稱數(shù)集{1，2，3，…}為正整數(shù)集.