2022年高二上學期期末數(shù)學試卷（理科） 含解析(II)

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1、2022年高二上學期期末數(shù)學試卷（理科） 含解析(II) 　 一．選擇題（本題共12個小題，每小題5分，共60分） 1．復數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是（　?。? A． B． C． D． 2．定積分（（2x+sinx）dx等于（　?。? A．0 B． C． D． 3．已知命題p：?x∈R，ex+x3+2x2+4≠0，則?p為（　?。? A．?x0∈R，使得lnx0+x03+2x02+4=0 B．?x0∈R，使得ex0+x03+2x02+4≠0 C．?x∈R，使得ex+x3+2x2+4=0 D．?x0∈R，使得ex0+x03+2x02+4=0 4．用反證法證明結論：“曲線y=f（x

2、）與曲線y=g（x）至少有兩個不同的交點”時，要做的假設是（　?。? A．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至多有兩個不同的交點 B．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至多有一個交點 C．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）恰有兩個不同的交點 D．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至少有一個交點 5．已知直線x+ay=a+2（a∈R）與圓x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0交于M，N兩點，則線段MN的長的最小值為（　?。? A． B． C．2 D． 6．（x+8）（3﹣x）＜0的一個充分不必要條件是（　　） A．﹣8＜x＜3 B．x＞8 C．x＜﹣3 D．x＜﹣8或x＞3 7．給出以下五

3、個結論： ①經(jīng)過A（x1，y1），B（x2，y2）兩點的直線的方程為； ②以A（x1，y1），B（x2，y2）為直徑的兩個端點的圓的方程為（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0； ③平面上到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)2a的點的軌跡是橢圓； ④平面上到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差為常數(shù)2a（2a＜|F1F2|）的點的軌跡是雙曲線； ⑤平面上到定點F和到定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線． 其中正確結論有（　?。? A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 8．i是虛數(shù)單位，若復數(shù)（1﹣2i）（a+i）是純虛數(shù)，且a+（b﹣1）i＜0（a，b∈R），復數(shù)z滿足

4、|z|=3，則|z+a﹣bi|的最大值為（　?。? A． B． C． D． 9．在平行四邊形ABCD中，已知C（﹣3，0），D（3，0），點E，F(xiàn)滿足，，且，則點A的軌跡方程是（　　） A． B． =1（x≥2） C． D． =1（x≥3） 10．棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在平面ABCD上，滿足PC1=3PA，則點P的軌跡為（　?。? A．直線 B．一段圓弧 C．橢圓 D．圓 11．點P（1，t）（t＞0）是橢圓上一點，A，B是該橢圓上異于點P的兩個點，且直線PA，PB的傾斜角分別為72°和108°，則直線AB的斜率為（　?。? A．﹣或 B．tan18° C

5、． D．tan36° 12．觀察下列不等式： ， ， ， ， …． 照此規(guī)律，第五個不等式為（　?。? A． B． C． D． 　 二．填空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分） 13．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S8=3，則a2+a3+a6+a7=______． 14．已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax在（3，+∞）單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是______． 15．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，己知AA1=8，點E，F(xiàn)分別的棱BB1，CC1上，且滿足AB=BE=3，F(xiàn)C1=2，則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值等于______． 16．

6、設F是橢圓C： =1（a＞b＞0）的左焦點，過F的直線與橢圓C交于A，B兩點，分別過A，B作橢圓C的切線并相交于點P，線段OP（O為坐標原點）交橢圓C于點Q，滿足，且，則橢圓C的離心率為______． 　 三．解答題（本題共6個小題，共70分．要求每道題都必須寫出必要的過程） 17．已知函數(shù)f（x）=ex（x2﹣3）． （1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程； （2）求函數(shù)y=f（x）的極值． 18．在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知a=4，c=3，cosA=﹣． （1）求角C的大??； （2）求△ABC的面積． 19．數(shù)列{an}滿足

7、，且a1=2． （1）寫出a2，a3，a4的值； （2）歸納猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明； （3）設，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn． 20．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是邊長為4的正三角形，M為PD的中點，底面ABCD是矩形，CD=3． （1）求異面直線PB與CM所成的角α的余弦值； （2）求直線AC與平面PCM所成的角β的正切值． 21．已知A（0，﹣1）是焦點在x軸上的橢圓C的一個頂點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，直線AF與橢圓C的另一個交點為B，滿足|AF|=5|FB|．以D（﹣1，1）為圓心的⊙D與橢圓C交于M，N兩點，滿

8、足|AM|=|AN|． （1）求橢圓C的標準方程； （2）求圓心D到直線MN的距離d的值． 22．已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣3x+8． （1）求函數(shù)y=f（x）在[e，e3]（e是自然對數(shù)的底數(shù)）的值域； （2）設0＜a＜b，求證：． 　 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（本題共12個小題，每小題5分，共60分） 1．復數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是（　?。? A． B． C． D． 【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】直接利用復數(shù)的除法運算法則化簡求解即可． 【解答】解：復數(shù)==． 復數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是：． 故選：B． 　 2．定積分（（2

9、x+sinx）dx等于（　　） A．0 B． C． D． 【考點】定積分． 【分析】根據(jù)定積分的計算法則計算即可． 【解答】解：（2x+sinx）dx=（x2﹣cosx）|=0， 故選：A． 　 3．已知命題p：?x∈R，ex+x3+2x2+4≠0，則?p為（　?。? A．?x0∈R，使得lnx0+x03+2x02+4=0 B．?x0∈R，使得ex0+x03+2x02+4≠0 C．?x∈R，使得ex+x3+2x2+4=0 D．?x0∈R，使得ex0+x03+2x02+4=0 【考點】命題的否定． 【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結果即可． 【解答】解：因為全稱

10、命題的否定是特稱命題，所以，命題p：?x∈R，ex+x3+2x2+4≠0，則?p為：?x∈R，使得ex+x3+2x2+4=0． 故選：C． 　 4．用反證法證明結論：“曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至少有兩個不同的交點”時，要做的假設是（　?。? A．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至多有兩個不同的交點 B．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至多有一個交點 C．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）恰有兩個不同的交點 D．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至少有一個交點 【考點】反證法的應用． 【分析】“至少有兩個”的反面為“最多有一個”，據(jù)此直接寫出結論即可． 【解答】解

11、：∵至少有兩個”的反面為“最多有一個”， ∴應假設：曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至多有一個交點． 故選：B． 　 5．已知直線x+ay=a+2（a∈R）與圓x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0交于M，N兩點，則線段MN的長的最小值為（　　） A． B． C．2 D． 【考點】直線與圓的位置關系． 【分析】把圓的方程化為標準方程，求得圓心和半徑，求得弦心距d的最大值，可得|MN|的最小值． 【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=9， 表示以C（1，）為圓心、半徑等于3的圓， 要使弦長最小，只有弦心距最大． ∵直線x+ay=a+2（a∈R

12、）恒過定點（2，1）， ∴弦心距d的最大值為1， ∴|MN|的最小值為2=4， 故選：A． 　 6．（x+8）（3﹣x）＜0的一個充分不必要條件是（　　） A．﹣8＜x＜3 B．x＞8 C．x＜﹣3 D．x＜﹣8或x＞3 【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】由（x+8）（3﹣x）＜0解得x＞3或x＜﹣8．即可判斷出結論． 【解答】解：由（x+8）（3﹣x）＜0解得x＞3或x＜﹣8． ∴（x+8）（3﹣x）＜0的一個充分不必要條件是x＞8． 故選：B． 　 7．給出以下五個結論： ①經(jīng)過A（x1，y1），B（x2，y2）兩點的直線的方程為； ②以A

13、（x1，y1），B（x2，y2）為直徑的兩個端點的圓的方程為（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0； ③平面上到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)2a的點的軌跡是橢圓； ④平面上到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差為常數(shù)2a（2a＜|F1F2|）的點的軌跡是雙曲線； ⑤平面上到定點F和到定直線l的距離相等的點的軌跡是拋物線． 其中正確結論有（　?。? A．4個 B．3個 C．2個 D．1個 【考點】命題的真假判斷與應用． 【分析】利用直線、圓的方程，橢圓，雙曲線、拋物線的定義，即可得出結論． 【解答】解：①經(jīng)過A（x1，y1），B（x2，y2）兩點的直線的方程為（x1≠

14、x2，y1≠y2），不正確； ②以A（x1，y1），B（x2，y2）為直徑的兩個端點的圓的方程為（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，正確； ③平面上到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的點的軌跡是橢圓，不正確； ④平面上到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值為常數(shù)2a（2a＜|F1F2|）的點的軌跡是雙曲線，不正確； ⑤當定點位于定直線時，此時的點到軌跡為垂直于直線且以定點為垂足的直線，只有當點不在直線時，軌跡才是拋物線，所以不正確． 故選：D． 　 8．i是虛數(shù)單位，若復數(shù)（1﹣2i）（a+i）是純虛數(shù)，且a+（b﹣1）i＜0（a，

15、b∈R），復數(shù)z滿足|z|=3，則|z+a﹣bi|的最大值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】由題意求出a，b的值，然后數(shù)形結合求得答案． 【解答】解：∵（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i為純虛數(shù)， ∴a=﹣2， 又a+（b﹣1）i＜0（a，b∈R）， ∴b=1， 則﹣a+bi=2+i， |z+a﹣bi|=|z﹣（2+i）|， 又|z|=3， 如圖： ∴|z+a﹣bi|的最大值為3+． 故選：C． 　 9．在平行四邊形ABCD中，已知C（﹣3，0），D（3，0），點E，F(xiàn)滿足，，且，則點A的軌跡方程是（

16、　?。? A． B． =1（x≥2） C． D． =1（x≥3） 【考點】軌跡方程． 【分析】設A（（x，y），則E（， y），F(xiàn)（， y），利用，建立方程，化簡即可點A的軌跡方程． 【解答】解：設A（（x，y），則E（， y），F(xiàn)（， y）， ∵， ∴﹣=4， 化簡得=1（x≥3）， 故選：D． 　 10．棱長為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P在平面ABCD上，滿足PC1=3PA，則點P的軌跡為（　　） A．直線 B．一段圓弧 C．橢圓 D．圓 【考點】軌跡方程． 【分析】在底面上建立平面直角坐標系，設出P的坐標，寫出點的坐標，根據(jù)正方體的性質，利用PC

17、1=3PA，兩點之間的距離公式，整理出關于x，y的方程，結果是一個圓． 【解答】解：建立如圖所示設P（x，y，0），A（0，0，0），C1（1，1，1） ∵PC1=3PA， ∴（x﹣1）2+（y﹣1）2+1=9x2+9y2， 化簡得（x﹣）2+（y﹣）2= 故P點軌跡是圓． 故選：D． 　 11．點P（1，t）（t＞0）是橢圓上一點，A，B是該橢圓上異于點P的兩個點，且直線PA，PB的傾斜角分別為72°和108°，則直線AB的斜率為（　?。? A．﹣或 B．tan18° C． D．tan36° 【考點】直線與圓錐曲線的關系． 【分析】將P（1，t）代入橢圓方程，求得t值

18、，設PB的直線方程為y﹣=k（x﹣1），與橢圓C聯(lián)立方程組，求出B點坐標；再設PA的直線方程為y﹣=﹣k（x﹣1），與橢圓C聯(lián)立方程組，求出A點坐標，由此能求出直線AB的斜率． 【解答】解：將P（1，t）（t＞0）代入橢圓方程， 解得：t=，則P（1，）， 設PB的直線方程為y﹣=k（x﹣1），將直線方程代入橢圓方程， （3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）2﹣12=0， 設A（xA，yA），則xA+1=， xA=， yA=k（xA﹣1）+=kxA﹣k+， 又直線PB與PA的傾斜角互補，在上式中以﹣k代k， 設B（xB，yB）， 可得xB=， yB=﹣k（xA

19、﹣1）+=kxB+k+， ∴直線AB的斜率為kAB==， ==， ∴直線AB的斜率為． 故選：C． 　 12．觀察下列不等式： ， ， ， ， …． 照此規(guī)律，第五個不等式為（　?。? A． B． C． D． 【考點】歸納推理． 【分析】根據(jù)已知式子尋找右端分母與左側最后一個分母的關系，分子與分母的關系，得出規(guī)律． 【解答】解： =， =， ==， ==， 由上述式子可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律： （1）各式右端分母為左端最后一個分母底數(shù)與其相鄰整數(shù)的乘積的2倍． （2）相鄰兩項分子的差為以5為公差的等差數(shù)列， 照此規(guī)律可以得到： =． 故選A． 　 二．填

20、空題（本題共4個小題，每小題5分，共20分） 13．設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S8=3，則a2+a3+a6+a7=　?。? 【考點】等差數(shù)列的前n項和． 【分析】等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S8=3，可得a1+a8，再利用a2+a3+a6+a7=2（a1+a8）即可得出． 【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，S8=3， ∴=3， 解得a1+a8= 則a2+a3+a6+a7=2（a1+a8）=2×=． 故答案為：． 　 14．已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax在（3，+∞）單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是?。ī仭?，e3]　． 【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單

21、調性． 【分析】函數(shù)f（x）=ex﹣ax在區(qū)間（1，+∞）上單調遞增?函數(shù)f′（x）=ex﹣a≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立， ?a≤[ex]min在區(qū)間（1，+∞）上成立． 【解答】解：f′（x）=ex﹣a， ∵函數(shù)f（x）=ex﹣ax在區(qū)間（3，+∞）上單調遞增， ∴函數(shù)f′（x）=ex﹣a≥0在區(qū)間（3，+∞）上恒成立， ∴a≤[ex]min在區(qū)間（3，+∞）上成立． 而ex＞e3， ∴a≤e3． 故答案為：（﹣∞，e3]． 　 15．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，己知AA1=8，點E，F(xiàn)分別的棱BB1，CC1上，且滿足AB=BE=3，F(xiàn)C1=2，則平面AE

22、F與平面ABC所成的銳二面角的正切值等于　?。? 【考點】二面角的平面角及求法． 【分析】建立以A為坐標原點，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸的空間直角坐標系，求出平面AEF與平面ABC的法向量，利用向量法進行求解即可． 【解答】解：建立以A為坐標原點，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖： ∵AA1=8，AB=BE=3，F(xiàn)C1=2， ∴A（0，0，0），B（3，0，0），E（3，0，3），F(xiàn)（3，3，6）， 則平面ABC的一個法向量=（0，0，1）， 設平面AEF的法向量為為=（x，y，z）， 則=（3，0，3），=（3，3，6）， 由得，即， 令x

23、=1，則z=﹣1，y=1， 則=（1，1，﹣1）， cos＜，＞===﹣， ∴面AEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值cosθ=， 則sinθ==， 則tanθ===， 故答案為：． 　 16．設F是橢圓C： =1（a＞b＞0）的左焦點，過F的直線與橢圓C交于A，B兩點，分別過A，B作橢圓C的切線并相交于點P，線段OP（O為坐標原點）交橢圓C于點Q，滿足，且，則橢圓C的離心率為　　． 【考點】橢圓的簡單性質． 【分析】由，可取Q，由于，可得P．設A（x1，y1），B（x2，y2），可得過點A，B的切線方程分別為： =1， +=1．聯(lián)立解得P．設直線AB的方程為：y=k

24、（x+c），可得xP=﹣=﹣，于是=﹣，即可得出． 【解答】解：∵，∴可取Q， ∵滿足，∴=， ∴P． 設A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得過點A，B的切線方程分別為： =1， +=1． 聯(lián)立解得P． 設直線AB的方程為：y=k（x+c）， ∴xP=﹣=﹣， ∴=﹣， 解得e==． 故答案為：． 　 三．解答題（本題共6個小題，共70分．要求每道題都必須寫出必要的過程） 17．已知函數(shù)f（x）=ex（x2﹣3）． （1）求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程； （2）求函數(shù)y=f（x）的極值． 【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導數(shù)研究曲

25、線上某點切線方程． 【分析】（1）求導，f′（0）=﹣3，直線斜率為﹣3，且過點（0，﹣3），利用點斜式方程，求得切線方程； （2）先求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值． 【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=ex（x2﹣3）， 則f′（x）=ex（x2+2x﹣3）=ex（x+3）（x﹣1）， 故f′（0）=﹣3，又f（0）=﹣3， 故曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為：y+3=﹣3x，即3x+y+3=0； （2）由（1）知f′（x）=0可得：x=1或x=﹣3， 如下表：令f′（x）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1；此時函數(shù)單調遞增； 令f′（x）＜0，解得﹣3＜x

26、＜1，此時函數(shù)單調遞遞減． x （﹣∞，﹣3） ﹣3 （﹣3，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 當x=﹣3時取極大值，極大值為：f（﹣3）=6e﹣3， 當x=1取極小值為f（1）=﹣2e． 　 18．在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知a=4，c=3，cosA=﹣． （1）求角C的大??； （2）求△ABC的面積． 【考點】余弦定理． 【分析】（1）利用正弦定理即可得出； （2）利用和差公式與三角形的面積計算公式即可得出． 【解答】解：（1）在△AB

27、C中，由題可知角A為鈍角，故角C為銳角． ∵sinA==， 故，即，得C=45°； （2）由 （1）得， 故△ABC的面積為． 　 19．數(shù)列{an}滿足，且a1=2． （1）寫出a2，a3，a4的值； （2）歸納猜想數(shù)列{an}的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明； （3）設，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn． 【考點】數(shù)學歸納法；數(shù)列遞推式． 【分析】（1）由a1=2，，分別令n=1，2，3，即可得出； （2）由（1）猜想：an=3﹣，利用數(shù)學歸納法證明即可， （3）先求出bn=﹣，裂項求和即可． 【解答】解：（1）{an}滿足，且a1=2， ∴a2===，a3==，a

28、3==， （2）可以猜想an=3﹣， 證明如下：①當n=1時，猜想當然顯然成立； ②假設當n=k（k∈N+）時猜想成立， 即ak=3﹣，則ak+1====3﹣， 故當然n=k+1時猜想成立， 由①②可知，猜想成立； （3）由（2）知bn==﹣， 故Tn=（﹣）=1﹣=． 　 20．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是邊長為4的正三角形，M為PD的中點，底面ABCD是矩形，CD=3． （1）求異面直線PB與CM所成的角α的余弦值； （2）求直線AC與平面PCM所成的角β的正切值． 【考點】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角． 【

29、分析】（1）可取AD中點O，BC中點N，并連接OP，ON，根據(jù)條件可以說明ON，OD，OP三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，可求出圖形上各點的坐標，從而可求出向量的坐標，這樣根據(jù)cosα=即可求出異面直線PB與CM所成的角α的余弦值； （2）根據(jù)條件可以說明AM⊥平面PCM，從而得出為平面PCM的一條法向量，可求出向量的坐標，這樣根據(jù)求出sinβ，從而求出cosβ，從而得出tanβ的值． 【解答】解：如圖， 取AD中點O，BC中點N，連接OP，ON，由題知OP⊥AD，ON⊥AD； ∵平面PAD⊥平面ABCD； ∴OP⊥平面ABCD，∴ON，OD，O

30、P兩兩垂直； 因此可以O為原點，以ON，OD，OP三直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則： A（0，﹣2，0），B（3，﹣2，0），C（3，2，0），，D（0，2，0），； ∴（1）； ∴=； 即異面直線PB與CM所成的角α的余弦值為； （2）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD； ∴CD⊥平面PAD，AM?平面PAD； ∴AM⊥CD，△PAD為正三角形，M為PD的中點； ∴AM⊥PD，PD∩CD=D； ∴AM⊥平面PCD，即AM⊥平面PCM； ∴為平面PCM的一條法向量； 又； ∴=，∴； ∴； 即直線AC與平面PCM所

31、成的角β的正切值為． 　 21．已知A（0，﹣1）是焦點在x軸上的橢圓C的一個頂點，F(xiàn)是橢圓C的右焦點，直線AF與橢圓C的另一個交點為B，滿足|AF|=5|FB|．以D（﹣1，1）為圓心的⊙D與橢圓C交于M，N兩點，滿足|AM|=|AN|． （1）求橢圓C的標準方程； （2）求圓心D到直線MN的距離d的值． 【考點】橢圓的標準方程；點到直線的距離公式． 【分析】（1）由題意設橢圓C：，且F（c，0），由此利用橢圓性質能求出橢圓C的標準方程． （2）設M（x1，y1），N（x2，y2），且E（x0，y0）為MN的中點，利用點差法求出，．由此能求出圓心D到直線MN的距離． 【解答】

32、解：（1）由題意設橢圓C：，且F（c，0）， 則由|AF|=5|FB|，知B（），代入橢圓C的方程并化簡得2a2=3c2=3（a2﹣1），即a2=3， 故橢圓C的標準方程： =1． （2）設M（x1，y1），N（x2，y2），且E（x0，y0）為MN的中點， 則=1， =1． 兩式相減得，故2x0+6y0?kMN=0． ∵|AM|=|AN|，故點A在線段MN的中垂線上．又點D在線段MN的中垂線上， ∴A，E，D三點共線，且AD⊥MN．kAD=﹣2，∴，從而． ∵，解得，． ∴圓心D到直線MN的距離d=|DE|=． 　 22．已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣3x+8． （1）

33、求函數(shù)y=f（x）在[e，e3]（e是自然對數(shù)的底數(shù)）的值域； （2）設0＜a＜b，求證：． 【考點】利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用． 【分析】（1）法一：求出f（x）的導數(shù)，計算f（e），f（e2），f（e3）的值，從而求出函數(shù)的值域；法二：求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域即可； （2）令g（b）=2f（a）+f（b）﹣3f（），通過討論函數(shù)的單調性，證明即可． 【解答】解：（1）法一：由題易知f′（x）=lnx﹣2，由f′（x）=0可得x=e2． 因為f（e）=8﹣2e，f（e2）=8﹣e2，f（e3）=8， 故函數(shù)y=f

34、（x）在[e，e3]的值域為[8﹣e2，8]； 法二：由題易知f′（x）=lnx﹣2，由f′（x）＞0可得x＞e2， 由f′（x）＜0可得0＜x＜e2， 故函數(shù)y=f（x）在（0，e2）遞減，在（e2，+∞）遞增， 從而y=f（x）在[e，e2）遞減，在[e2，e3]遞增， 因為f（e）=8﹣2e，f（e2）=8﹣e2，f（e3）=8， 故函數(shù)y=f（x）在[e，e3]的值域為[8﹣e2，8]； （2）令， 則， 故g（b）在（a，+∞）遞增，得g（b）＞g（a）=0， 令h（b）=g（b）﹣（b﹣a）ln3， 則h'（b）=g'（b）﹣ln3=， 故函數(shù)h（b）在（a，+∞）遞減， 得h（b）＜h（a）=0， 故g（b）＜（b﹣a）ln3， 綜上可知0＜g（b）＜（b﹣a）ln3， 即． 　 xx9月19日