2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)第二編專題整合突破專題六解析幾何第一講直線與圓適考素能特訓(xùn)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí)第二編專題整合突破專題六解析幾何第一講直線與圓適考素能特訓(xùn) 一、選擇題 1．[xx·湖南岳陽一模]已知圓C：x2＋(y－3)2＝4，過A(－1,0)的直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝2，則直線l的方程為(　　) A．x＝－1或4x＋3y－4＝0 B．x＝－1或4x－3y＋4＝0 C．x＝1或4x－3y＋4＝0 D．x＝1或4x＋3y－4＝0 答案　B 解析　當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－1符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，由|PQ|＝2，則圓心C到直線l的距離d＝＝1，解得k＝，此時(shí)直線l的方程為y＝(x

2、＋1)．故所求直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0. 2．[xx·重慶測試]已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2與y軸在第二象限所圍區(qū)域的面積為S，直線y＝2x＋b分圓C的內(nèi)部為兩部分，其中一部分的面積也為S，則b＝(　　) A．－ B．± C．－ D．± 答案　D 解析　本題考查圓的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式與數(shù)形結(jié)合思想．依題意圓心C的坐標(biāo)為(1,2)，則圓心C到y(tǒng)軸的距離為1，由圓的對(duì)稱性可知，若直線2x－y＋b＝0分得圓C內(nèi)部的一部分面積也為S，則圓心C(1,2)到直線2x－y＋b＝0的距離等于1，于是有＝1，解得b＝±，故選D. 3．[xx·南昌一模]已知

3、點(diǎn)P在直線x＋3y－2＝0上，點(diǎn)Q在直線x＋3y＋6＝0上，線段PQ的中點(diǎn)為M(x0，y0)，且y00，當(dāng)點(diǎn)位于射線BN(不包括端點(diǎn)B)上時(shí)，kOM<－，所以的取值范圍是∪(0，＋∞)，故選D. 4．[xx·金版原創(chuàng)四]傾斜角互補(bǔ)的直線l1：m1x－y＋1－m1＝0，l2：m2x－y＋1－m2＝0分別被圓O：x2＋y2＝4所截得的弦長

4、之比為，則m1m2＝(　　) A．－9或－ B．9或 C．－9 D．－ 答案　A 解析　本題考查直線與圓的位置關(guān)系．由題可知兩條直線斜率分別為m1，m2，又兩直線的傾斜角互補(bǔ)，所以斜率互為相反數(shù)，即m1＋m2＝0，被圓O：x2＋y2＝4所截得的弦長之比為＝，化簡得3m－10m1＋3＝0，解得m1＝或3，所以m1m2＝－m＝－或－9，故選A. 5．[xx·廣東綜合測試]已知直線x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)A，B，O是原點(diǎn)，且有|＋|≥||，則k的取值范圍是(　　) A．(，＋∞) B．[，＋∞) C．[，2) D．[，2] 答案　C

5、解析　本題考查直線與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算．設(shè)AB的中點(diǎn)為D，則OD⊥AB，因?yàn)閨＋|≥||，所以|2|≥||，||≤2||，又因?yàn)閨|2＋||2＝4，所以||≥1.因?yàn)橹本€x＋y－k＝0(k>0)與圓x2＋y2＝4交于不同的兩點(diǎn)，所以||<2，所以1≤<2，解得≤k<2，故選C. 6．已知點(diǎn)A(－2,0)，B(0,2)，若點(diǎn)C是圓x2－2ax＋y2＋a2－1＝0上的動(dòng)點(diǎn)，△ABC面積的最小值為3－，則a的值為(　　) A．1 B．－5 C．1或－5 D．5 答案　C 解析　解法一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝1，圓心M(a,0)到直線AB：x－y＋2＝0的距離為

6、d＝， 可知圓上的點(diǎn)到直線AB的最短距離為d－1＝－1，(S△ABC)min＝×2×＝3－， 解得a＝1或－5. 解法二：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋y2＝1，設(shè)C的坐標(biāo)為(a＋cosθ，sinθ)，C點(diǎn)到直線AB：x－y＋2＝0的距離為 d＝＝， △ABC的面積為 S△ABC＝×2× ＝， 當(dāng)a≥0時(shí)，a＋2－＝3－，解得a＝1； 當(dāng)－2≤a<0時(shí)，|a＋2－|＝3－，無解； 當(dāng)a<－2時(shí)，|a＋2＋|＝3－，解得a＝－5. 故a＝1或－5. 解法三：設(shè)與AB平行且與圓相切的直線l′的方程為x－y＋m＝0(m≠2)，圓心M(a,0)到直線l′的距離d＝1，即＝1，解得

7、m＝±－a， 兩平行線l，l′之間的距離就是圓上的點(diǎn)到直線AB的最短距離， 即＝， (S△ABC)min＝×2×＝|±－a－2|. 當(dāng)a≥0時(shí)，|±－a－2|＝3－，解得a＝1. 當(dāng)a<0時(shí)，|±－a－2|＝3－，解得a＝－5. 故a＝1或－5. 二、填空題 7．[xx·福建廈門一模]已知a>0，b>0，若直線l1：x＋a2y＋2＝0與直線l2：(a2＋1)x－by＋3＝0互相垂直，則ab的最小值是________． 答案　2 解析　依題意可得，1×(a2＋1)＋a2·(－b)＝0，a2－a2b＋1＝0，∴b＝，∴ab＝＝a＋≥2. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝，即a＝1，b＝2時(shí)，ab

8、取到最小值2. 8．[xx·云南統(tǒng)考]已知f(x)＝x3＋ax－2b，如果f(x)的圖象在切點(diǎn)P(1，－2)處的切線與圓(x－2)2＋(y＋4)2＝5相切，那么3a＋2b＝________. 答案　－7 解析　由題意得f(1)＝－2?a－2b＝－3， 又∵f′(x)＝3x2＋a， ∴f(x)的圖象在點(diǎn)P(1，－2)處的切線方程為 y＋2＝(3＋a)(x－1)， 即(3＋a)x－y－a－5＝0， ∴＝?a＝－， ∴b＝，∴3a＋2b＝－7. 9．[xx·山東青島質(zhì)檢]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(3,0)在圓C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0內(nèi)，動(dòng)直線AB過點(diǎn)

9、P且交圓C于A，B兩點(diǎn)．若△ABC的面積的最大值為16，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________． 答案　(3－2，3－2]∪[3＋2，3＋2) 解析　由題意得圓心C(m,2)，半徑r＝4.因?yàn)辄c(diǎn)P(3,0)在圓C：x2＋y2－2mx－4y＋m2－28＝0內(nèi)，所以32＋0－6m－0＋m2－28<0，解得3－2

10、解答題 10．[xx·河北唐山調(diào)研]已知定點(diǎn)M(0,2)，N(－2,0)，直線l：kx－y－2k＋2＝0(k為常數(shù))． (1)若點(diǎn)M，N到直線l的距離相等，求實(shí)數(shù)k的值； (2)對(duì)于l上任意一點(diǎn)P，∠MPN恒為銳角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍． 解　(1)∵點(diǎn)M，N到直線l的距離相等， ∴l(xiāng)∥MN或l過MN的中點(diǎn)． ∵M(jìn)(0,2)，N(－2,0)， ∴直線MN的斜率kMN＝1， MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為C(－1,1)． 又∵直線l：kx－y－2k＋2＝0過定點(diǎn)D(2,2)， ∴當(dāng)l∥MN時(shí)，k＝kMN＝1； 當(dāng)l過MN的中點(diǎn)時(shí)，k＝kCD＝. 綜上可知，k的值為1或. (2)∵對(duì)于l

11、上任意一點(diǎn)P，∠MPN恒為銳角， ∴l(xiāng)與以MN為直徑的圓相離，即圓心到直線l的距離大于半徑， ∴d＝>， 解得k<－或k>1. 11．[xx·江西九江三模]已知點(diǎn)P是圓F1：(x＋)2＋y2＝16上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F2與點(diǎn)F1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，線段PF2的中垂線與PF1交于M點(diǎn)． (1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程； (2)設(shè)軌跡C與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)K是軌跡C上異于A，B的任意一點(diǎn)，KH⊥x軸，H為垂足，延長HK到點(diǎn)Q使得|HK|＝|KQ|，連接AQ并延長交過B且垂直于x軸的直線l于點(diǎn)D，N為DB的中點(diǎn)．試判斷直線QN與以AB為直徑的圓O的位置關(guān)系． 解　(1)由題意得，F(xiàn)1

12、(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 圓F1的半徑為4，且|MF2|＝|MP|， 從而|MF1|＋|MF2|＝|MF1|＋|MP|＝4>|F1F2|＝2， ∴點(diǎn)M的軌跡是以F1，F(xiàn)2為左、右焦點(diǎn)的橢圓，其中長軸長2a＝4，焦距2c＝2， 則短半軸長b＝＝＝1， ∴點(diǎn)M的軌跡C的方程為＋y2＝1. (2)如圖，設(shè)K(x0，y0)，則＋y＝1. ∵|HK|＝|KQ|， ∴Q(x0,2y0)． ∴|OQ|＝＝2， ∴Q點(diǎn)在以O(shè)為圓心，2為半徑的圓上，即Q點(diǎn)在以AB為直徑的圓O上． 又A(－2,0)， ∴直線AQ的方程為y＝(x＋2)． 令x＝2，得D. 又B(2,0)，N為DB

13、的中點(diǎn)， ∴N. ∴＝(x0,2y0)，＝. ∴·＝x0(x0－2)＋2y0· ＝x0(x0－2)＋ ＝x0(x0－2)＋ ＝x0(x0－2)＋x0(2－x0)＝0. ∴⊥. ∴直線QN與以AB為直徑的圓O相切． 12．[xx·福建高考]已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)過點(diǎn)(0，)，且離心率e＝. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)直線l：x＝my－1(m∈R)交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，判斷點(diǎn)G與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由． 解　(1)由已知得， 解得 所以橢圓E的方程為＋＝1. (2)設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點(diǎn)為H(x0，y0)． 由 得(m2＋2)y2－2my－3＝0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝－， 從而y0＝. 所以|GH|2＝2＋y＝(my0＋)2＋y＝(m2＋1)y＋my0＋. ＝＝＝＝(1＋m2)(y－y1y2)， 故|GH|2－＝my0＋(1＋m2)y1y2＋＝－＋＝>0， 所以|GH|>. 故點(diǎn)G在以AB為直徑的圓外．