2022年高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 含解析(II)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 含解析(II) 　 一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分） 1．已知復(fù)數(shù)z滿足z=（i為虛數(shù)單位），則z=（　　） A． B． C．1﹣i D．1+i 2．已知直線l：y=kx+b，曲線C：x2+（y﹣1）2=1，則“b=1”是“直線l與曲線C有公共點”的（　?。? A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，則（　?。? A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞a＞b 4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為8，則判斷條

2、件是（　?。? A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤3 5．點P為△ABC邊AB上任一點，則使S△PBC≤S△ABC的概率是（　?。? A． B． C． D． 6．函數(shù)f（x）=sin（2x+）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位后關(guān)于原點對稱，則φ的最小值為（　?。? A． B． C． D． 7．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F1的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，則雙曲線的離心率為（　?。? A． B． C．2 D． 8．在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=1

3、20°，平面ABCD內(nèi)有一點P，滿足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），則2λ+μ的最大值為（　?。? A． B． C． D． 　 二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卷中相應(yīng)的橫線上. 9．某學(xué)校小學(xué)部有270人，初中部有360人，高中部有300人，為了調(diào)查學(xué)生身體發(fā)育狀況的某項指標，若從初中部抽取了12人，則從該校應(yīng)一共抽取________人進行該項調(diào)查． 10．甲幾何體（上）與乙?guī)缀误w（下）的組合體的三視圖如圖所示，甲、乙?guī)缀误w的體積分別為V1、V2，則V1：V2等于________． 11．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB

4、交AC于點E，交⊙O于點D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，則EC=________． 12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________． 13．已知數(shù)列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1﹣an，則axx=________． 14．若函數(shù)f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的圖象與x軸有三個不同的交點，函數(shù)g（x）=f（x）﹣b有4個零點，則實數(shù)b的取值范圍是________． 　 三.解答題：本大題6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 15．已知函數(shù)f（x）=cosx（cosx+sinx）． （Ⅰ）求f（x）的最小值； （

5、Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC． 16．某研究所計劃利用“神七”宇宙飛船進行新產(chǎn)品搭載實驗，計劃搭載新產(chǎn)品A、B若干件，該所要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實驗費用和預(yù)計產(chǎn)生收益來決定具體安排，通過調(diào)查，有關(guān)數(shù)據(jù)如表： 每件產(chǎn)品A 每件產(chǎn)品B 研制成本、搭載費用之和（百萬元） 2 1.5 計劃最大資金額15（百萬元） 產(chǎn)品重量（千克） 1 1.5 最大搭載重量12（千克） 預(yù)計收益（百元） 1000 1200 ________ 并且B產(chǎn)品的數(shù)量不超過A產(chǎn)品數(shù)量的2倍．如何安排這兩

6、種產(chǎn)品的件數(shù)進行搭載，才能使總預(yù)計收益達到最大，最大收益是多少？ 17．如圖，邊長為的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，CD=BC=AB=1，AE∩DF=O，M為EC的中點． （Ⅰ）證明：OM∥平面ABCD； （Ⅱ）求二面角D﹣AB﹣E的正切值； （Ⅲ）求BF與平面ADEF所成角的余弦值． 18．已知橢圓E： +=1（a＞b＞0）的長軸長為短軸長的倍． （1）求橢圓E的離心率； （2）設(shè)橢圓E的焦距為2，直線l與橢圓E交于P，Q兩點，且OP⊥OQ，求證：直線l恒與圓x2+y2=相切． 19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn=2

7、an﹣2． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設(shè)bn=，Tn為{bn}的前n項和，求T2n． 20．已知函數(shù)f（x）=ax﹣1﹣lnx．（a∈R） （Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性； （Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線斜率為，不等式f（x）≥bx﹣2對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)b的取值范圍； （Ⅲ）證明對于任意n∈N，n≥2有： +++…+＜． 　 xx天津市十二區(qū)縣重點高中高考數(shù)學(xué)二模試卷（文科） 參考答案與試題解析 　 一、選擇題（本題共8個小題，每小題5分，共40分） 1．已知復(fù)數(shù)z滿足z=（i為虛數(shù)單位），則z=（　?。? A． B． C．1﹣

8、i D．1+i 【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】直接利用分子分母同時乘以分母的共軛復(fù)數(shù)得答案． 【解答】解：z==， 故選：A． 　 2．已知直線l：y=kx+b，曲線C：x2+（y﹣1）2=1，則“b=1”是“直線l與曲線C有公共點”的（　?。? A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】直線l與曲線C有公共點?≤1，化為|b﹣1|≤，即可判斷出結(jié)論． 可知：b=1時，滿足上式；反之不成立，取b=也可以． ∴“b=1”是“直線l與曲線C有公共點”的充分不必要條件． 故

9、選：A． 　 3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，則（　?。? A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a(chǎn)＞b＞c D．c＞a＞b 【考點】對數(shù)值大小的比較． 【分析】分別利用指數(shù)式與對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)比較三個數(shù)與0和1的大小得答案． 【解答】解：∵a=50.2＞50=1， 0＜b=logπ3＜logππ=1， c=log5sinπ≤0， ∴a＞b＞c． 故選：C． 　 4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為8，則判斷條件是（　?。? A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤3 【考點】程序框圖． 【分析】模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出每次循環(huán)

10、得到的s，k的值，由題意當s=8，k=3時，由題意應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出s的值為8，即可得解． 【解答】解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 k=0，s=1 應(yīng)滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，s=1，k=1 應(yīng)滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，s=2，k=2 應(yīng)滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體，s=8，k=3 此時，由題意，應(yīng)該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出s的值為8． 則判斷框內(nèi)應(yīng)為：k＜3？ 故選：C． 　 5．點P為△ABC邊AB上任一點，則使S△PBC≤S△ABC的概率是（　?。? A． B． C． D． 【考點】幾何概型． 【分析】首先分析題目求在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，使S△PBC

11、≤S△ABC得到三角形高的關(guān)系，利用幾何概型求概率． 【解答】解：設(shè)P到BC的距離為h， ∵三角形ABC的面積為S，設(shè)BC邊上的高為d， 因為兩個三角形有共同的邊BC，所以滿足S△PBC≤S△ABC 時，h≤d，所以使S△PBC≤S△ABC的概率為=； 故選：A． 　 6．函數(shù)f（x）=sin（2x+）的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位后關(guān)于原點對稱，則φ的最小值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換． 【分析】利用三角函數(shù)的圖象平移得到平移后圖象的函數(shù)解析式，由圖象關(guān)于原點對稱列式求得φ的最小值． 【解答】解：∵f（x）=sin（

12、2x+）， ∴圖象向左平移φ（φ＞0）個單位長度得到y(tǒng)=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+）， ∵所得的圖象關(guān)于原點對稱， ∴2φ+=kπ（k∈Z），φ＞0， 則φ的最小正值為． 故選：B． 　 7．已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，過F1的直線l與雙曲線C的左右兩支分別交于A，B兩點，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，則雙曲線的離心率為（　?。? A． B． C．2 D． 【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)． 【分析】設(shè)|AF1|=t，|AB|=4x，根據(jù)雙曲線的定義算出t=2x，x=a，Rt△ABF2中算出cos∠BAF2=

13、=，可得cos∠F2AF1=﹣，在△F2AF1中，利用余弦定理與雙曲線的離心率公式加以計算，可得答案． 【解答】解：設(shè)|AF1|=t，|AB|=4x，則|BF2|=3x，|AF2|=5x， 根據(jù)雙曲線的定義，得|AF2|﹣|AF1|=|BF1|﹣|BF2|=2a， 即5x﹣t=（4x+t）﹣3x=2a，解得t=2x，x=a， 即|AF1|=a，|AF2|=a， ∵|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，得△ABF2是以B為直角的Rt△， ∴cos∠BAF2==， 可得cos∠F2AF1=﹣， △F2AF1中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|?|AF

14、2|cos∠F2AF1 =a2+a2﹣2×a×a×（﹣）=20a2， 可得|F1F2|=2a，即c=a， 因此，該雙曲線的離心率e==． 故選：D． 　 8．在平行四邊形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD內(nèi)有一點P，滿足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），則2λ+μ的最大值為（　　） A． B． C． D． 【考點】平面向量的基本定理及其意義． 【分析】可作出圖形，根據(jù)題意可知λ，μ＞0，根據(jù)條件對兩邊平方，進行數(shù)量積的運算便可得到5=4λ2+2λμ+μ2=（2λ+μ）2﹣2λμ，由基本不等式即可得出2λ+μ的范圍，從而便可得出2λ+μ的最大值

15、． 【解答】解：如圖，依題意知，λ＞0，μ＞0； 根據(jù)條件， 5= =4λ2+2λμ+μ2 ==； ∴； ∴； ∴2λ+μ的最大值為． 故選B． 　 二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在答題卷中相應(yīng)的橫線上. 9．某學(xué)校小學(xué)部有270人，初中部有360人，高中部有300人，為了調(diào)查學(xué)生身體發(fā)育狀況的某項指標，若從初中部抽取了12人，則從該校應(yīng)一共抽取31人進行該項調(diào)查． 【考點】分層抽樣方法． 【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論． 【解答】解：解：由分層抽樣的定義得該校共抽取： =31， 故答案為：31； 　 10．甲

16、幾何體（上）與乙?guī)缀误w（下）的組合體的三視圖如圖所示，甲、乙?guī)缀误w的體積分別為V1、V2，則V1：V2等于1：3． 【考點】由三視圖求面積、體積． 【分析】由三視圖可知：該幾何體是由上下兩部分組成的，上面是一個球，下面是一個圓錐．利用體積計算公式即可得出． 【解答】解：由三視圖可知：該幾何體是由上下兩部分組成的，上面是一個球，下面是一個圓錐． ∴V1==，V2==4π． ∴V1：V2=1：3． 故答案為：1：3． 　 11．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，PA是⊙O的切線，PB交AC于點E，交⊙O于點D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，則EC=4．

17、 【考點】與圓有關(guān)的比例線段． 【分析】利用切割線定理結(jié)合題中所給數(shù)據(jù)，得PA=3，由弦切角定理結(jié)合有一個角為60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE?DE=AE?CE，從而求出EC的長． 【解答】解：∵PA是圓O的切線，∴PA2=PD?PB=9，可得PA=3． ∵∠PAC是弦切角，夾弧ADC，∴∠PAC=∠ABC=60°， ∵△APE中，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3． ∴BE=PB﹣PE=6，DE=PE﹣PD=2 ∵圓O中，弦AC、BD相交于E， ∴BE?DE=AE?CE，可得6×2=3EC，∴EC=4， 故答

18、案為：4． 　 12．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（2，3）． 【考點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】由函數(shù)，知﹣x2+4x﹣3＞0，由t=﹣x2+4x﹣3是開口向下，對稱軸為x=2的拋物線，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)能求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間． 【解答】解：∵函數(shù)， ∴﹣x2+4x﹣3＞0，解得1＜x＜3， ∵t=﹣x2+4x﹣3是開口向下，對稱軸為x=2的拋物線， ∴由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（2，3）． 故答案為：（2，3）． 　 13．已知數(shù)列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1﹣an，則axx=﹣2． 【考點】數(shù)列遞推式． 【分析】由于數(shù)

19、列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1﹣an，可得an+6=an．即可得出． 【解答】解：∵數(shù)列{an}，a1=1，a2=3，an+2=an+1﹣an， ∴a3=a2﹣a1=2，同理可得：a4=﹣1，a5=﹣3，a6=﹣2，a7=1，a8=3，…， ∴an+6=an． 則axx=a335×6+6=a6=﹣2， 故答案為：﹣2． 　 14．若函數(shù)f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的圖象與x軸有三個不同的交點，函數(shù)g（x）=f（x）﹣b有4個零點，則實數(shù)b的取值范圍是（﹣6，0）． 【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷． 【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，結(jié)合函數(shù)與x軸

20、交點個數(shù)得到f（0）=0，根據(jù)函數(shù)與方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題進行求解即可． 【解答】解：∵函數(shù)f（x）是偶函數(shù)， ∴f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的圖象與x軸有三個不同的交點， 則必有f（0）=0， 即a2﹣6=0，即a2=6， 即a=±， 當a=時，f（x）=x2+2|x|，此時函數(shù)f（x）只有1個零點，不滿足條件． 當a=﹣時，f（x）=x2﹣2|x|，此時函數(shù)f（x）有3個零點，滿足條件， 此時f（x）=x2﹣2|x|=（|x|﹣）2﹣6， ∴f（x）≥﹣6， 由g（x）=f（x）﹣b=0得b=f（x）， 作出函數(shù)f（x）的圖象如圖： 要使函數(shù)

21、g（x）=f（x）﹣b有4個零點， 則﹣6＜b＜0， 故答案為：（﹣6，0） 　 三.解答題：本大題6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 15．已知函數(shù)f（x）=cosx（cosx+sinx）． （Ⅰ）求f（x）的最小值； （Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC． 【考點】余弦定理；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦定理． 【分析】（I）利用倍角公式、和差公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性值域即可得出． （II）利用三角函數(shù)求值、余弦定理、三角形面積計算公式即可得出． 【解答】解：（Ⅰ） ==．

22、當時，f（x）取最小值為． （Ⅱ），∴． 在△ABC中，∵C∈（0，π），，∴， 又c2=a2+b2﹣2abcosC， （a+b）2﹣3ab=7． ∴ab=3． ∴． 　 16．某研究所計劃利用“神七”宇宙飛船進行新產(chǎn)品搭載實驗，計劃搭載新產(chǎn)品A、B若干件，該所要根據(jù)該產(chǎn)品的研制成本、產(chǎn)品重量、搭載實驗費用和預(yù)計產(chǎn)生收益來決定具體安排，通過調(diào)查，有關(guān)數(shù)據(jù)如表： 每件產(chǎn)品A 每件產(chǎn)品B 研制成本、搭載費用之和（百萬元） 2 1.5 計劃最大資金額15（百萬元） 產(chǎn)品重量（千克） 1 1.5 最大搭載重量12（千克） 預(yù)計收益（百元） 1000 1

23、200 10200（百元） 并且B產(chǎn)品的數(shù)量不超過A產(chǎn)品數(shù)量的2倍．如何安排這兩種產(chǎn)品的件數(shù)進行搭載，才能使總預(yù)計收益達到最大，最大收益是多少？ 【考點】簡單線性規(guī)劃． 【分析】設(shè)搭載A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則預(yù)計收益z=1000x+1200y．由圖表列出關(guān)于x，y的不等式組，畫出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案． 【解答】解：設(shè)搭載A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，則預(yù)計收益z=1000x+1200y． 則有． 作出可行域如圖： 作直線l：1000x+1200y=0，即直線x+1.2y=0． 把直線l向右上方

24、平移到l1的位置，直線l1經(jīng)過可行域上的點B， 此時z=1000x+1200y取得最大值． 由，解得點M的坐標為（3，6）． ∴當x=3，y=6時，zmax=3×1000+6×1200=10200（百元）． 答：搭載A產(chǎn)品3件，B產(chǎn)品6件，才能使總預(yù)計收益達到最大，最大預(yù)計收益為10200百元． 故答案為：10200百元． 　 17．如圖，邊長為的正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，CD=BC=AB=1，AE∩DF=O，M為EC的中點． （Ⅰ）證明：OM∥平面ABCD； （Ⅱ）求二面角D﹣AB﹣E的正切值； （Ⅲ）求BF與平面ADEF

25、所成角的余弦值． 【考點】二面角的平面角及求法；直線與平面平行的判定． 【分析】（Ⅰ）推導(dǎo)出OM∥AC，由此能證明OM||平面ABCD． （Ⅱ）取AB中點H，連接DH，則∠EHD為二面角D﹣AB﹣E的平面角，由此能求出二面角D﹣AB﹣E的正切值． （Ⅲ）推導(dǎo)出BD⊥DA，從而BD⊥平面ADEF，由此得到∠BFD的余弦值即為所求． 【解答】證明：（Ⅰ）∵O，M分別為EA，EC的中點， ∴OM∥AC…． ∵OM?平面ABCD，AC?平面ABCD…． ∴OM||平面ABCD …． 解：（Ⅱ）取AB中點H，連接DH，EH∵DA=DB∴DH⊥AB，…． 又EA=EB∴EH⊥A

26、B…． ∴∠EHD為二面角D﹣AB﹣E的平面角 …． 又DH=1，∴， ∴二面角D﹣AB﹣E的正切值為．…． （Ⅲ）∵DC=BC=1，∠BCD=90°， ∴∵． ∴BD⊥DA…． ∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD， ∴BD⊥平面ADEF…． ∴∠BFD的余弦值即為所求… 在， ∴…． ∴…． 　 18．已知橢圓E： +=1（a＞b＞0）的長軸長為短軸長的倍． （1）求橢圓E的離心率； （2）設(shè)橢圓E的焦距為2，直線l與橢圓E交于P，Q兩點，且OP⊥OQ，求證：直線l恒與圓x2+y2=相切． 【考點】橢圓的

27、簡單性質(zhì)． 【分析】（1）由題意可得a=b，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值； （2）求得橢圓的a，b，可得橢圓方程，討論直線的斜率不存在，設(shè)出方程x=m，代入橢圓方程求得P，Q的坐標，由仇恨值的條件，可得m，求得圓心到直線的距離可得結(jié)論；再設(shè)直線y=kx+n，代入橢圓方程，運用韋達定理，由兩直線垂直的條件，可得x1x2+y1y2=0，化簡整理，可得4t2=3+3k2，再求圓心到直線的距離，即可得到直線恒與圓相切． 【解答】解：（1）由題意可得2a=2b，即a=b， c===a， 可得e==； （2）證明：由題意可得c=， 由（1）可得a=，b=1， 橢圓的方

28、程為+y2=1， 當直線l的斜率不存在時，設(shè)直線l的方程為x=m， 代入橢圓方程，可得y=±， 由OP⊥OQ，可得m2﹣（1﹣）=0， 解得m=±， 由圓心（0，0）到直線x=m的距離為， 即有直線l與圓x2+y2=相切； 當直線的斜率存在時，設(shè)l：y=kx+t， 代入橢圓方程x2+3y2=3，可得 （1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣3=0， 設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）， 可得x1+x2=﹣，x1x2=， y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=k2x1x2+kt（x1+x2）+t2， 由題意OP⊥OQ，可得x1x2+y1y2=0， 即為（1+k2）x

29、1x2+kt（x1+x2）+t2=0， 即（1+k2）?+kt（﹣）+t2=0， 化簡可得4t2=3+3k2， 由圓心（0，0）到直線y=kx+t的距離為 d===，即為半徑． 則直線l恒與圓x2+y2=相切． 　 19．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，Sn=2an﹣2． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）設(shè)bn=，Tn為{bn}的前n項和，求T2n． 【考點】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式． 【分析】（1）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項公式即可得出； （2）當n為奇數(shù)時，bn==；當n為偶數(shù)時，bn==．分別利用“裂項求和”、“錯位相減法”即可得出． 【解答】解：（1

30、）∵Sn=2an﹣2，∴n=1時，a1=2a1﹣2，解得a1=2． 當n≥2時，an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2﹣（2an﹣1﹣2），化為an=2an﹣1． ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列，公比為2． ∴an=2n，bn= （2）當n為奇數(shù)時，bn==；當n為偶數(shù)時，bn==． 設(shè)數(shù)列{}的前k項和為Ak，則Ak=+…+ ==． 設(shè)數(shù)列{}的前k項和為Bk， 則Bk=， =， ∴=2=2， ∴Bk=（﹣）=﹣． ∴T2n=+﹣． 　 20．已知函數(shù)f（x）=ax﹣1﹣lnx．（a∈R） （Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性； （Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=2處的切線斜率為，不等

31、式f（x）≥bx﹣2對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數(shù)b的取值范圍； （Ⅲ）證明對于任意n∈N，n≥2有： +++…+＜． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到a=1，分離參數(shù)得到，令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最小值，從而求出b的范圍即可； （Ⅲ）當n≥2時，得到lnn2＜n2﹣1，根據(jù)放縮法證明即可． 【解答】解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）， … 當a≤0時，ax﹣1＜0，從而f'（x）＜0， 故函數(shù)f（x）在（0，+∞）

32、上單調(diào)遞減 … 當a＞0時，若，則ax﹣1＜0，從而f'（x）＜0，… 若，則ax﹣1＞0，從而f'（x）＞0，… 故函數(shù)f（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； … （Ⅱ）求導(dǎo)數(shù)：， ∴，解得a=1． … 所以f（x）≥bx﹣2，即x﹣1﹣lnx≥bx﹣2， 由于x＞0，即．… 令，則， 當0＜x＜e2時，g'（x）＜0；當x＞e2時，g'（x）＞0 ∴g（x）在（0，e2）上單調(diào)遞減，在（e2，+∞）上單調(diào)遞增； … 故， 所以實數(shù)b的取值范圍為… （3）證明：由當a=1，x＞1時，，f（x）為增函數(shù)， ∵f（1）=0∴f（x）=x﹣1﹣lnx＞0即lnx＜x﹣1… ∴當n≥2時，lnn2＜n2﹣1，… ∴ … = ∴（n∈N*，n≥2）． … 　 xx9月7日