2022年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析(II)

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1、2022年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析(II) 　 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的． 1．已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|＞0}，則M∩N=（　?。? A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x≥﹣1} 2．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是（　?。? A．i B．1 C．﹣i D．﹣1 3．如果命題“￢（p∧q）”為假命題，則（　　） A．p、q均為真命題 B．p、q均為假命題 C．p、q至少有一個為真命題 D．p、q至多有一個為真命題 4．一個空間幾

2、何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　?。? A．πcm3 B．3πcm3 C．πcm3 D．πcm3 5．若實數(shù)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=的最大值為（　?。? A． B． C． D．2 6．從拋物線y2=4x上一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|=5，設(shè)拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為（　?。? A．5 B．10 C．20 D． 7．拋物線y=x2與直線x=0、x=1及該拋物線在x=t（0＜t＜1）處的切線所圍成的圖形面積的最小值為（　?。? A． B． C． D． 8．已知函數(shù)f（x）=，則函數(shù)g（x）=f（1﹣x）﹣1的零點個數(shù)為（　?。? A．1

3、B．2 C．3 D．4 　 二、填空題：本大題共6大題，每小題5分，共30分. 9．某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果分成五組：每一組[13，14）；第二組[14，15），…，第五組[17，18]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖若成績大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好，則該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)是　?。? 10．閱讀下列程序框圖，該程序輸出的結(jié)果是　?。? 11．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=log2x，則不等式f（x）＜﹣1的解集是　?。? 12．已知圓C：x2+y2﹣6x+8=0，若直

4、線y=kx與圓C相切，且切點在第四象限，則k=　?。? 13．如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若=λ+μ，則λ+μ=　　． 14．已知實數(shù)a，b滿足：a≥，b∈R，且a+|b|≤1，則+b的取值范圍是　?。? 　 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答寫出文字說明、證明過程或驗算過程． 15．（13分）已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）﹣． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱中心； （Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[，π]上的取值范圍． 16．（13分）在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且 （1）求角C的大小； （2）若且

5、a+b=5求△ABC的面積． 17．（13分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O點． （Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC； （Ⅱ）當(dāng)點A在平面PBD內(nèi)的射影G恰好是△PBD的重心時，求二面角B﹣PD﹣C的余弦值． 18．（13分）在等差數(shù)列{an}中，首項a1=1，數(shù)列{bn}滿足bn=（）an，b1b2b3= （I）求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）求a1b1+a2b2+…+anbn＜2． 19．（14分）已知橢圓+=1（a＞b＞0）離心率為． （1）橢圓的左、右焦點分別為F1，

6、F2，A是橢圓上的一點，且點A到此兩焦點的距離之和為4，求橢圓的方程； （2）求b為何值時，過圓x2+y2=t2上一點M（2，）處的切線交橢圓于Q1、Q2兩點，且OQ1⊥OQ2． 20．（14分）已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1． （Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的極值 （Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時，x2＜ex． （Ⅲ）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈（x0，+∞），恒有x2＜cex． 　 參考答案與試題解析 　 一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個

7、是符合題目要求的． 1．已知集合M={x|1+x≥0}，N={x|＞0}，則M∩N=（　　） A．{x|﹣1≤x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|﹣1＜x＜1} D．{x|x≥﹣1} 【考點】交集及其運算． 【分析】分別求出集合M和N，由此能求出M∩N的值． 【解答】解：∵集合M={x|1+x≥0}={x|x≥﹣1}， N={x|＞0}={x|x＜1}， ∴M∩N={x|﹣1≤x＜1}． 故選：A． 【點評】本題考查交集的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意交集定義的合理運用． 　 2．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是（　　） A．i B．1 C．﹣i D．﹣1 【

8、考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算． 【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案． 【解答】解：∵ =， ∴復(fù)數(shù)的虛部是1． 故選：B． 【點評】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題． 　 3．如果命題“￢（p∧q）”為假命題，則（　?。? A．p、q均為真命題 B．p、q均為假命題 C．p、q至少有一個為真命題 D．p、q至多有一個為真命題 【考點】復(fù)合命題的真假． 【分析】利用“或”“且”“非”命題的真假判斷方法即可得出． 【解答】解：∵命題“￢（p∧q）”為假命題， ∴命題“p∧q”為真命題， ∴命題p、q均為真命題． 故選：A．

9、【點評】本題考查了“或”“且”“非”命題的真假判斷方法，屬于基礎(chǔ)題． 　 4．一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（　　） A．πcm3 B．3πcm3 C．πcm3 D．πcm3 【考點】由三視圖求面積、體積． 【分析】由三視圖可知，此幾何體為底面半徑為1 cm、高為3 cm的圓柱上部去掉一個半徑為1 cm的半球，據(jù)此可計算出體積． 【解答】解：由三視圖可知，此幾何體為底面半徑為1 cm、高為3 cm的圓柱上部去掉一個半徑為1 cm的半球， 所以其體積為V=πr2h﹣πr3=3π﹣π=π（cm3）． 故選D． 【點評】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，解題

10、的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及三視圖的數(shù)據(jù)所對應(yīng)的幾何量． 　 5．若實數(shù)x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=的最大值為（　?。? A． B． C． D．2 【考點】簡單線性規(guī)劃． 【分析】作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用斜率的幾何意義，進行求解即可． 【解答】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域， z=的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點到點D（﹣3，﹣1）的斜率， 由圖象知AD的斜率最大， 由，得，即A（1，5）， 則z=的最大值z===， 故選：C． 【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)兩點之間的斜率公式以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵． 　 6．從拋物線y2=4x上一點P引拋物線準(zhǔn)線

11、的垂線，垂足為M，且|PM|=5，設(shè)拋物線的焦點為F，則△MPF的面積為（　?。? A．5 B．10 C．20 D． 【考點】拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】先設(shè)處P點坐標(biāo)，進而求得拋物線的準(zhǔn)線方程，進而求得P點橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)，進而利用三角形面積公式求得答案． 【解答】解：設(shè)P（x0，y0） 依題意可知拋物線準(zhǔn)線x=﹣1， ∴x0=5﹣1=4 ∴|y0|==4， ∴△MPF的面積為×5×4=10 故選：B 【點評】本題主要考查了拋物線的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是靈活利用了拋物線的定義． 　 7．拋物線y=x2與直線x=0、x=1及該拋物線在x=t（0＜t＜1）處

12、的切線所圍成的圖形面積的最小值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】拋物線的簡單性質(zhì)． 【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，然后根據(jù)積分的幾何意義求積分，利用積分函數(shù)即可S的最小值． 【解答】解：∵y=f（x）=x2， ∴f'（x）=2x， 即切線l在P處的斜率k=f'（t）=2t， ∴切線方程為y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2， 即y﹣t2=2t（x﹣t）=2tx﹣2t2， y=2tx﹣t2， 作出對應(yīng)的圖象， 則曲線圍成的面積S== ==， ∵0＜t＜1， ∴當(dāng)t=時，面積取的最小值為． 故選：A． 【點評】本題主要考查

13、積分的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，然后根據(jù)積分公式即可得到面積的最小值，考查學(xué)生的計算能力． 　 8．已知函數(shù)f（x）=，則函數(shù)g（x）=f（1﹣x）﹣1的零點個數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】根的存在性及根的個數(shù)判斷． 【分析】利用已知條件求出f（1﹣x）的表達(dá)式，利用函數(shù)的圖象，求解兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)即可． 【解答】解：函數(shù)f（x）=， f（1﹣x）=， 函數(shù)g（x）=f（1﹣x）﹣1的零點個數(shù)， 就是y=f（1﹣x）與y=1交點個數(shù)， 如圖：可知兩個函數(shù)的圖象由三個交點， 函數(shù)g（x）=f（1﹣x）﹣1的零點個數(shù)為3． 故選：C．

14、 【點評】本題考查函數(shù)的零點個數(shù)的判斷與應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力． 　 二、填空題：本大題共6大題，每小題5分，共30分. 9．某班50名學(xué)生在一次百米測試中，成績?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測試結(jié)果分成五組：每一組[13，14）；第二組[14，15），…，第五組[17，18]．如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖若成績大于或等于14秒且小于16秒認(rèn)為良好，則該班在這次百米測試中成績良好的人數(shù)是　27?。? 【考點】用樣本的頻率分布估計總體分布；頻率分布直方圖． 【分析】根據(jù)頻率分步直方圖做出這組數(shù)據(jù)的成績在[14，16）內(nèi)的人數(shù)為50×0.1

15、6+50×0.38，這是頻率，頻數(shù)和樣本容量之間的關(guān)系． 【解答】解：由頻率分布直方圖知，成績在[14，16）內(nèi)的 人數(shù)為50×0.16+50×0.38=27（人） ∴該班成績良好的人數(shù)為27人． 故答案為：27． 【點評】解決此類問題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確掌握利用頻率分布直方圖進行分析并且運用公式進行正確運算． 　 10．閱讀下列程序框圖，該程序輸出的結(jié)果是　729　． 【考點】程序框圖． 【分析】分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是計算并輸出S=9×9×9的值． 【解答】解：分析框圖可得該程序的作用是計算并輸出S=9×9×9的值． ∵

16、S=9×9×9=729 故答案為：729 【點評】要判斷程序的運行結(jié)果，我們要先根據(jù)已知判斷程序的功能，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學(xué)問題． 　 11．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=log2x，則不等式f（x）＜﹣1的解集是?。ī仭?，﹣2）∪（0，）?。? 【考點】對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點；奇函數(shù)． 【分析】設(shè)x＜0，則﹣x＞0，代入解析式后，利用奇函數(shù)的關(guān)系式求出x＜0時的解析式，再對x分兩種情況對不等式進行求解，注意代入對應(yīng)的解析式，最后要把解集并在一起． 【解答】解：設(shè)x＜0，則﹣x＞0， ∵當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）=log2x，∴

17、f（﹣x）=log2（﹣x）， ∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x）， ①當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）＜﹣1，即log2x＜﹣1=， 解得0＜x＜， ②當(dāng)x∈（﹣∞，0）時，f（x）＜﹣1，即﹣log2（﹣x）＜﹣1， 則log2（﹣x）＞1=log22，解得x＜﹣2， 綜上，不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）． 故答案為：（﹣∞，﹣2）∪（0，）． 【點評】本題考查了求定區(qū)間上的函數(shù)解析式，一般的做法是“求誰設(shè)誰”，即在那個區(qū)間上求解析式，x就設(shè)在該區(qū)間內(nèi)，再利用負(fù)號轉(zhuǎn)化到已知的區(qū)間上，代入解析式進行化簡，再利用奇函數(shù)的定義f（x），再求出不

18、等式的解集． 　 12．已知圓C：x2+y2﹣6x+8=0，若直線y=kx與圓C相切，且切點在第四象限，則k=　　． 【考點】圓的切線方程． 【分析】求出圓心C的坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)直線與圓相切，利用點到直線的距離公式列式=1，解得k=，再根據(jù)切點在第四象限加以檢驗，可得答案． 【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣6x+8=0的圓心為（3，0），半徑r=1 ∴當(dāng)直線y=kx與圓C相切時，點C（3，0）到直線的距離等于1， 即=1，解之得k= ∵切點在第四象限， ∴當(dāng)直線的斜率k=時，切點在第一象限，不符合題意 直線的斜率k=﹣時，切點在第四象限．因此，k=﹣ 故答案為：﹣

19、【點評】本題給出直線與圓相切，在切點在第四象限的情況下求直線的斜率k，著重考查了直線的方程、圓的方程和直線與圓的位置關(guān)系等知識，屬于基礎(chǔ)題． 　 13．如圖，正方形ABCD中，M，N分別是BC，CD的中點，若=λ+μ，則λ+μ=　?。? 【考點】平面向量的基本定理及其意義． 【分析】設(shè)=， =，則=+， =+．由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+，利用平面向量基本定理，建立方程，求出λ，μ，即可得出結(jié)論． 【解答】解：設(shè)=， =，則=+， =+． 由于=λ+μ=μ（+）+λ（+）=+， ∴λ+μ=1，且λ+μ=1，解得 λ=μ=， ∴λ+μ=， 故答案為：． 【點評】本題

20、考查平面向量基本定理的運用，考查向量的加法運算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題， 　 14．已知實數(shù)a，b滿足：a≥，b∈R，且a+|b|≤1，則+b的取值范圍是　[﹣1，]?。? 【考點】簡單線性規(guī)劃． 【分析】由題意作平面區(qū)域，結(jié)合圖象可知，關(guān)鍵求當(dāng)a+b=1時和當(dāng)a﹣b=1時的最值，從而解得． 【解答】解：由題意作平面區(qū)域如下， ， 結(jié)合圖象可知， 當(dāng)a+b=1時， +b才有可能取到最大值， 即+1﹣a≤+1﹣=， 當(dāng)a﹣b=1時， +b才有可能取到最小值， 即+a﹣1≥2﹣1=﹣1， （當(dāng)且僅當(dāng)=a，即a=時，等號成立）， 結(jié)合圖象可知， +b的取值范

21、圍是[﹣1，]． 【點評】本題考查了線性規(guī)劃的變形應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用． 　 三、解答題：本大題共6小題，共80分．解答寫出文字說明、證明過程或驗算過程． 15．（13分）（xx秋?南開區(qū)期末）已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）﹣． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對稱中心； （Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[，π]上的取值范圍． 【考點】三角函數(shù)的周期性及其求法；正弦函數(shù)的單調(diào)性． 【分析】（Ⅰ）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x+），利用三角函數(shù)周期公式可求T，令2x+=kπ，k∈Z，解得函數(shù)的對稱中

22、心． （Ⅱ）由范圍x∈[，π]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得解函數(shù)的取值范圍． 【解答】（本題滿分為13分） 解：（Ⅰ）∵f（x）=2cosxsin（x+）﹣ =2cosx（sinxcos+cosxsin）﹣ =sinxcosx+cos2x﹣ =sin2x+cos2x =sin（2x+），…5分 ∴T==π，…6分 ∴令2x+=kπ，k∈Z，解得：x=﹣，k∈Z，即函數(shù)的對稱中心為：（﹣，0），k∈Z…7分 （Ⅱ）∵x∈[，π]， ∴f（x）在區(qū)間[，]單調(diào)遞增，在區(qū)間[，π]單調(diào)遞減， ∵f（）=sinπ=0，f（）=sin=﹣1，f（π）=sin=， ∴函數(shù)f（

23、x）在區(qū)間[，π]上的取值范圍為[﹣1，]…13分 【點評】本題值域考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)周期公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題． 　 16．（13分）（xx?都昌縣校級模擬）在△ABC中，設(shè)內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且 （1）求角C的大小； （2）若且a+b=5求△ABC的面積． 【考點】余弦定理；兩角和與差的正切函數(shù)． 【分析】（1）利用兩角和與差的正切函數(shù)，求出tanC的值，即可求出∠C； （2）先利用c2=a2+b2﹣2abcosC，求出ab，然后根據(jù)△ABC的面積公式absinC，求出面積． 【解答

24、】解：（1）∵∴（2分） ∴ ∵在△ABC中，0＜C＜π ∴ （2）∵c2=a2+b2﹣2abcosC ∴7=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=25﹣3ab（8分） ∴ab=6∴．（12分） 【點評】本題主要考查了兩角和與差的正切函數(shù)和三角形的面積公式，注意巧用兩角和與差的正切函數(shù)，求出tanC的值． 　 17．（13分）（xx?濮陽一模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O點． （Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC； （Ⅱ）當(dāng)點A在平面PBD內(nèi)的射影G恰好是△PBD的重心時，

25、求二面角B﹣PD﹣C的余弦值． 【考點】用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定． 【分析】第（1）問，要證平面PBD⊥平面PAC，只需證平面PBD經(jīng)過平面PAC的一條垂線，觀察可看出應(yīng)選直線BD作為平面PAC的垂線，由PA垂直于底面可得PA垂直于BD，再根據(jù)底面ABCD中已知條件借助三角形全等可證AC垂直AC，則第一問可證； 第（2）問，先確定P點位置，利用幾何法不容易分析，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，將之轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)計算問題，通過解方程求出P點坐標(biāo)，然后再利用向量法求二面角的大小． 【解答】解：（Ⅰ）依題意Rt△ABC≌Rt△ADC，∠BAC=∠DAC，△ABO≌△ADO，

26、 ∴AC⊥BD． 而PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC， 又BD?面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD． （Ⅱ）過A作AD的垂線為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示坐標(biāo)系， 則B，D（0，1，0），C，設(shè)P（0，0，λ）， 所以G，， 由AG⊥PB得， =0， 解得，所以． ∴P點坐標(biāo)為， 面PBD的一個法向量為， 設(shè)面PCD的一個法向量為= ∴，∴， cos＜＞==， 所以二面角B﹣PD﹣C的余弦值為． 【點評】當(dāng)二面角的平面角不好找或者不好求時，可以采用向量法，一般是先求出兩個半平面的法向量，然后將二面角的大小轉(zhuǎn)

27、化為它們法向量之間的夾角，要注意結(jié)合圖形判斷二面角是鈍角或是銳角，從而確定最終的結(jié)果． 　 18．（13分）（xx秋?南開區(qū)期末）在等差數(shù)列{an}中，首項a1=1，數(shù)列{bn}滿足bn=（）an，b1b2b3= （I）求數(shù)列{an}的通項公式； （Ⅱ）求a1b1+a2b2+…+anbn＜2． 【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的性質(zhì)． 【分析】（I）通過b1=、b2=、b3=，利用b1b2b3=計算即得結(jié)論； （Ⅱ）通過an=n可知anbn=n?，利用錯位相減法計算即得結(jié)論． 【解答】（I）解：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 依題意，b1=，b2=，b3=， ∵b1b2b3=，

28、 ∴??=， ∴1+（1+d）+（1+2d）=6， 解得：d=1， ∴an=1+（n﹣1）=n； （Ⅱ）證明：∵an=n，∴bn=， anbn=n?， 記Tn=a1b1+a2b2+…+anbn=1?+2?+3?+…+n?， 則Tn=1?+2?+…+（n﹣1）?+n?， 兩式相減得： Tn=+++…+﹣n? =﹣n? =1﹣﹣n?， ∴Tn=2（1﹣﹣n?）=2﹣﹣， ∵2﹣﹣＜2， ∴a1b1+a2b2+…+anbn＜2． 【點評】本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題． 　 19．（14分）（xx秋?南開區(qū)期末）已知

29、橢圓+=1（a＞b＞0）離心率為． （1）橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A是橢圓上的一點，且點A到此兩焦點的距離之和為4，求橢圓的方程； （2）求b為何值時，過圓x2+y2=t2上一點M（2，）處的切線交橢圓于Q1、Q2兩點，且OQ1⊥OQ2． 【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【分析】（1）由已知得，由此能求出橢圓的方程． （2）過圓x2+y2=t2上一點M（2，）處切線方程為，令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2），則，化為5x2﹣24x+36﹣2b2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出b的值． 【解答】解：（1）∵橢圓+=1（a＞b＞0）離心率為， 橢圓上的

30、一點A到兩焦點的距離之和為4， ∴， 解得a=2，b=， ∴橢圓的方程為． （2）過圓x2+y2=t2上一點M（2，）處切線方程為， 令Q1（x1，y1），Q2（x2，y2）， 則， 化為5x2﹣24x+36﹣2b2=0， 由△＞0，得b＞， ，， y1y2=2x1x2﹣6（x1+x2）+18=， 由OQ1⊥OQ2，知x1x2+y1y2=0， 解得b2=9， 即b=±3，∵b＞， ∴b=3． 【點評】本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的實數(shù)值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用． 　 20．（14分）（xx?漳州校級模擬）已知函數(shù)f（x）=

31、ex﹣ax（a為常數(shù)）的圖象與y軸交于點A，曲線y=f（x）在點A處的切線斜率為﹣1． （Ⅰ）求a的值及函數(shù)f（x）的極值 （Ⅱ）證明：當(dāng)x＞0時，x2＜ex． （Ⅲ）證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當(dāng)x∈（x0，+∞），恒有x2＜cex． 【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值． 【分析】（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得a，再利用導(dǎo)數(shù)的符號變化可求得函數(shù)的極值； （Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x）=ex﹣x2，求出導(dǎo)數(shù)，利用（Ⅰ）問結(jié)論可得到函數(shù)的符號，從而判斷g（x）的單調(diào)性，即可得出結(jié)論； （Ⅲ）令x0=，利用（Ⅱ）的結(jié)論，即得結(jié)論成立． 【解答】解：（

32、Ⅰ）由f（x）=ex﹣ax得f′（x）=ex﹣a． 又f′（0）=1﹣a=﹣1，∴a=2， ∴f（x）=ex﹣2x，f′（x）=ex﹣2． 由f′（x）=0得x=ln2， 當(dāng)x＜ln2時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減； 當(dāng)x＞ln2時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增； ∴當(dāng)x=ln2時，f（x）有極小值為f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4． f（x）無極大值． （Ⅱ）令g（x）=ex﹣x2，則g′（x）=ex﹣2x， 由（1）得，g′（x）=f（x）≥f（ln2）=eln2﹣2ln2=2﹣ln4＞0，即g′（x）＞0， ∴當(dāng)x＞0時，g（x）＞g（0）＞0，即x2＜ex； （ III）對任意給定的正數(shù)c，取x0=＞0， 由（ II）知，當(dāng)x＞0時，ex＞x2， ∴， 當(dāng)x＞x0時， ， 因此，對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，當(dāng)x∈（x0，+∞）時，恒有x2＜cex． 【點評】本題主要考查基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、綜合性較強，難度較大．