高中數(shù)學(xué)推理與證明數(shù)學(xué)歸納法 蘇教選修PPT課件

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1、1.了解數(shù)學(xué)歸納法原理.2.掌握數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟，會用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.學(xué)習(xí)目標(biāo)第1頁/共39頁欄目索引知識梳理 自主學(xué)習(xí)題型探究 重點(diǎn)突破當(dāng)堂檢測 自查自糾第2頁/共39頁 知識梳理 自主學(xué)習(xí)知識點(diǎn)一歸納法及分類由一系列有限的特殊事例得出一般性結(jié)論的推理方法，通常叫歸納法，歸納法可以分為 歸納法和 歸納法，完全歸納法所得出的結(jié)論是完全可靠的，因?yàn)樗疾炝藛栴}涉及的所有對象；不完全歸納法得出的結(jié)論不一定可靠，因?yàn)樗豢疾炝四臣虑榈牟糠謱ο螅且环N重要的思考問題的方法，是研究數(shù)學(xué)的一把鑰匙，是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的一種重要手段.用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再用完全歸納法證明，是解決

2、問題的一種重要途徑.完全歸納法是一種在研究了解事物的所有(有限種)特殊情況后，得出一般結(jié)論的推理方法，又叫枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況不多時，采用完全歸納法.答案完全不完全第3頁/共39頁答案218 21第4頁/共39頁知識點(diǎn)二數(shù)學(xué)歸納法1.數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時命題成立；(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立，證明當(dāng)nk1時命題也成立.2.應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時注意幾點(diǎn)：(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與 有關(guān)的命題.(2)在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個基

3、本步驟缺一不可.(3)步驟的證明必須以“假設(shè)nk(kn0，kN*)時命題成立”為條件.答案正整數(shù)n第5頁/共39頁思考(1)對于數(shù)列an，已知a11，an1 (nN*)，求出數(shù)列前4項(xiàng)，你能得到什么猜想？你的猜想一定是正確的嗎？不能保證猜想一定正確，需要嚴(yán)密的證明.(2)多米諾骨牌都一一倒下只需滿足哪幾個條件？答案第一塊骨牌倒下；任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.條件事實(shí)上給出了一個遞推關(guān)系，換言之就是假設(shè)第K塊倒下，則相鄰的第K1塊也倒下.答案返回第6頁/共39頁 題型探究 重點(diǎn)突破解析答案題型一用數(shù)學(xué)歸納法證明恒成立例1求證：(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)(nN

4、*).反思與感悟第7頁/共39頁解析答案證明(1)當(dāng)n1時，左邊112，右邊2112，左邊右邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)，那么，當(dāng)nk1時，左邊(k2)(k3)(kk)(kk1)(kk2)2k13(2k1)(2k1)22k113(2k1)2(k1)1右邊.當(dāng)nk1時，等式也成立.由(1)(2)可知，對一切nN*，原等式均成立.第8頁/共39頁反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式問題，關(guān)鍵在于“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式的兩邊各有多少項(xiàng)，項(xiàng)的多少與n的取值是否有關(guān)，由nk到nk1時，等式兩邊會增加多少項(xiàng)，增加

5、怎樣的項(xiàng).第9頁/共39頁解析答案跟蹤訓(xùn)練1用數(shù)學(xué)歸納法證明123252(2n1)2 n(4n21)(nN*).第10頁/共39頁證明(1)當(dāng)n1時，左邊12，右邊 1(4121)1，左邊右邊，等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時，等式成立，即123252 (2k1)2 k(4k21)，則當(dāng)nk1時，123252(2k1)2(2k1)2即當(dāng)nk1時，等式成立. 由(1)(2)知，對一切xN*等式成立.第11頁/共39頁解析答案題型二證明不等式問題反思與感悟第12頁/共39頁解析答案證明由已知條件可得bn2n(nN*)，反思與感悟第13頁/共39頁反思與感悟由(1)(2)可知，對一切nN

6、*，原不等式均成立.第14頁/共39頁反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題時要注意兩湊：一湊歸納假設(shè)；二湊證明目標(biāo)，在湊證明目標(biāo)時，比較法、綜合法、分析法都適用.第15頁/共39頁解析答案第16頁/共39頁解析答案(2)假設(shè)當(dāng)nk時，不等式成立，第17頁/共39頁所以當(dāng)nk1時不等式成立.由(1)(2)知，不等式對一切nN*都成立.第18頁/共39頁解析答案題型三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題例3求證nN*時，an1(a1)2n1能被a2a1整除.證明(1)當(dāng)n1時，a11(a1)211a2a1，命題顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k1)時，ak1(a1)2k1能被a2a1整除，則當(dāng)nk1時，a

7、k2(a1)2k1aak1(a1)2(a1)2k1aak1(a1)2k1(a1)2(a1)2k1a(a1)2k1aak1(a1)2k1(a2a1)(a1)2k1.由歸納假設(shè)，上式中的兩項(xiàng)均能被a2a1整除，故當(dāng)nk1時命題成立.由(1)(2)知，對任意nN*，命題成立.反思與感悟第19頁/共39頁反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)的整除性問題時，關(guān)鍵是從當(dāng)nk1時的式子中拼湊出當(dāng)nk時能被某數(shù)整除的式子，并將剩余式子轉(zhuǎn)化為能被該數(shù)整除的式子.第20頁/共39頁解析答案跟蹤訓(xùn)練3用數(shù)學(xué)歸納法證明對于任意非負(fù)整數(shù)n，An11n2122n1能被133整除.證明(1)當(dāng)n0時，A011212133，能被13

8、3整除.(2)假設(shè)當(dāng)nk(k0)時，Ak11k2122k1能被133整除，那么當(dāng)nk1時，Ak111k3122k31111k2122122k11111k211122k1(12211)122k111(11k2122k1)133122k1，能被133整除.由(1)(2)可知，對于任意非負(fù)整數(shù)n，An都能被133整除.第21頁/共39頁解析答案題型四用數(shù)學(xué)歸納法解決平面幾何問題例4已知n個平面都過同一點(diǎn)，但其中任何三個平面都不經(jīng)過同一直線，求證：這n個平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.反思與感悟第22頁/共39頁證明(1)當(dāng)n1時，1個平面把空間分成2部分，而f(1)1(11)22(部分)，所

9、以命題正確.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，命題成立，即k個符合條件的平面把空間分為f(k)k(k1)2(部分)，當(dāng)nk1時，第k1個平面和其他每一個平面相交，使其所分成的空間都增加2部分，所以共增加2k部分，故f(k1)f(k)2kk(k1)22kk(k12)2(k1)(k1)12(部分)，即當(dāng)nk1時，命題也成立.根據(jù)(1)(2)，知n個符合條件的平面把空間分成f(n)n(n1)2部分.反思與感悟第23頁/共39頁反思與感悟用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是“找項(xiàng)”，即幾何元素從k增加到k1時，所證的幾何量增加多少，同時要善于利用幾何圖形的直觀性，建立k與k1之間的遞推關(guān)系.第24頁/共39頁

10、解析答案跟蹤訓(xùn)練4平面內(nèi)有n(nN*，n2)條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不過同一點(diǎn)，求證交點(diǎn)的個數(shù)f(n) .第25頁/共39頁證明(1)當(dāng)n2時，兩條直線的交點(diǎn)只有一個，又f(2) 2(21)1，當(dāng)n2時，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，k2)時命題成立，那么，當(dāng)nk1時，l與其他k條直線的交點(diǎn)個數(shù)為k，從而k1條直線共有f(k)k個交點(diǎn)，當(dāng)nk1時，命題成立.由(1)(2)可知，對任意nN*(n2)命題都成立.第26頁/共39頁易錯易混因弄錯從nk到nk1的增加項(xiàng)致誤解析答案返回防范措施第27頁/共39頁解析答案防范措施即n1時不等式成立.那么，當(dāng)nk1時，即nk1時，不等式成

11、立.第28頁/共39頁解析答案防范措施所以左邊右邊，即n1時不等式成立.第29頁/共39頁防范措施那么，當(dāng)nk1時，211112222222kkkkkkkk 個所以nk1時，不等式成立.第30頁/共39頁當(dāng)nk1時，可以寫出相應(yīng)增加的項(xiàng)，然后再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法證明返回防范措施第31頁/共39頁 當(dāng)堂檢測解析答案解析當(dāng)n1時，左邊的最高次數(shù)為1，即最后一項(xiàng)為a，左邊是1a.1a第32頁/共39頁解析答案解析當(dāng)nk時，左邊123k2，則當(dāng)nk1時，左邊123k2(k21)(k22)(k1)2，故當(dāng)nk1時，等式左邊應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2.(k21)(k22)(k1)2第3

12、3頁/共39頁解析觀察f(n)的表達(dá)式可知，右端分母是連續(xù)的正整數(shù)，因此f(2k1)比f(2k)多了2k項(xiàng).2k解析答案第34頁/共39頁解析答案4.用數(shù)學(xué)歸納法證明3nn3(n3，nN*)第一步應(yīng)驗(yàn)證_.解析n的最小值為3，所以第一步驗(yàn)證n3時是否成立.n3時是否成立第35頁/共39頁解析答案5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，Snn2an(nN*).依次計算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表達(dá)式為_.第36頁/共39頁課堂小結(jié)1.數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟相互依存，缺一不可.有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基礎(chǔ).2.歸納假設(shè)的作用.在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時，對于歸納假設(shè)要注意以下兩點(diǎn)：(1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證nk1時，必須用上歸納假設(shè).3.利用歸納假設(shè)的技巧.在推證nk1時，可以通過湊、拆、配項(xiàng)等方法用上歸納假設(shè).此時既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又要掌握nk與nk1之間的關(guān)系.在推證時，分析法、綜合法、反證法等方法都可以應(yīng)用.第37頁/共39頁返回4.數(shù)學(xué)歸納法的適用范圍.數(shù)學(xué)歸納法是直接證明的一種重要方法，應(yīng)用十分廣泛，主要體現(xiàn)在與正整數(shù)有關(guān)的恒等式、不等式、數(shù)的整除性、幾何問題、探求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和等問題中.第38頁/共39頁