級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第十八章勾股定理復(fù)習(xí)教案 人教新課標(biāo)版

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1、第十八章 勾股定理 本章小結(jié) 從容說(shuō)課 勾股定理是反映自然界基本規(guī)律的一條重要結(jié)論，它有著悠久的歷史，在數(shù)學(xué)發(fā)展中起過(guò)重要作用，在現(xiàn)實(shí)世界中也有著廣泛的應(yīng)用，勾股定理的發(fā)現(xiàn)．驗(yàn)證和應(yīng)用蘊(yùn)涵著豐富的文化價(jià)值．勾股定理從邊的角度進(jìn)一步刻畫了直角三角形的特征，通過(guò)對(duì)勾股定理的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)直角三角形有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)和理解． 為了使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)勾股定理和它的逆定理，更好地運(yùn)用他的解決實(shí)際生活中的問(wèn)題，通過(guò)回顧已學(xué)過(guò)的知識(shí)，加強(qiáng)對(duì)勾股定理及逆定理的理解和應(yīng)用． 在本章，數(shù)形結(jié)合的思想有較多的體現(xiàn)，教學(xué)中應(yīng)更進(jìn)一步地滲透這種思想，讓學(xué)生更進(jìn)一步體驗(yàn)從代數(shù)表示聯(lián)想到有關(guān)的幾

2、何圖形，由幾何圖形聯(lián)想到有關(guān)的代數(shù)表示，這有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系． 勾股定理和逆定理在現(xiàn)實(shí)世界中有著較為廣泛的應(yīng)用。在本小結(jié)中應(yīng)讓學(xué)生更進(jìn)一步體會(huì)它們?cè)诮鉀Q問(wèn)題中的作用，認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)世界中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)信息．進(jìn)一步介紹有關(guān)勾股定理的歷史，體現(xiàn)其文化價(jià)值．這一定理又導(dǎo)致了無(wú)理數(shù)的產(chǎn)生——數(shù)學(xué)歷史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)． 本章小結(jié) 三維目標(biāo) 一、知識(shí)與技能 1．對(duì)直角三角形的特殊性質(zhì)全面地進(jìn)行總結(jié)． 2．讓學(xué)生回顧本章的知識(shí)，同時(shí)重溫這些知識(shí)尤其是勾股定理的獲得和驗(yàn)證的過(guò)程；體會(huì)勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用． 3．了解勾股定理的歷史．

3、 二、過(guò)程與方法 1．體會(huì)在結(jié)論獲得和驗(yàn)證過(guò)程中的數(shù)形結(jié)合的思想方法． 2．在回顧與思考的過(guò)程中，提高學(xué)生解決問(wèn)題，反思問(wèn)題的能力，鼓勵(lì)學(xué)生具有創(chuàng)新精神． 三、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1．在反思和交流的過(guò)程中，體驗(yàn)學(xué)習(xí)帶來(lái)的無(wú)盡的樂(lè)趣． 2．通過(guò)對(duì)勾股定理歷史的了解，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義精神，體驗(yàn)科學(xué)給人類帶來(lái)的力量． 教學(xué)重點(diǎn) 1．回顧并思考勾股定理及其逆定理獲得和驗(yàn)證的過(guò)程；總結(jié)直角三角形邊、角之間分別存在的關(guān)系． 2．體會(huì)勾股定理及其逆定理在生活中的廣泛應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn) 1．勾股定理及其逆定理的廣泛應(yīng)用．

4、 2．建立本章的知識(shí)框架圖， 教具準(zhǔn)備 多媒體課件． 教學(xué)過(guò)程 一、引入新課 勾股定理，我們把它稱為世界第一定理．它的重要性，通過(guò)這一章的學(xué)習(xí)已深有體驗(yàn)．首先，勾股定理是數(shù)形結(jié)合的最典型的代表；其次，了解勾股定理歷史的同學(xué)知道，正是由于勾股定理的發(fā)現(xiàn)，導(dǎo)致無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，引發(fā)了數(shù)學(xué)的第一次危機(jī)，這一點(diǎn)，我們將在《實(shí)數(shù)》一章里講到．第三，勾股定理中的公式是第一個(gè)不定方程，有許許多多的數(shù)滿足這個(gè)方程，也是有完整解答的最早的不定方程，由此由它引導(dǎo)出各式各樣的不定方程，最為著名的就是費(fèi)馬大定理，直到1995年，數(shù)學(xué)家懷爾斯才將它證明． 勾股定理是我們數(shù)學(xué)史的奇跡

5、，我們已經(jīng)比較完整地研究了這個(gè)先人給我們留下來(lái)的寶貴的財(cái)富，這節(jié)課，我們將通過(guò)回顧與思考中的幾個(gè)問(wèn)題更進(jìn)一步了解勾股定理的歷史，勾股定理的應(yīng)用． 二、回顧與思考 問(wèn)題1：直角三角形的邊、角之間分別存在著什么關(guān)系? 師：在上一學(xué)期我們已對(duì)直角三角形有所涉及，而這一章我們又重點(diǎn)研究了直角三角形的性質(zhì)．現(xiàn)在我們來(lái)回答問(wèn)題1，從直角三角形的邊、角的特殊性角度全面地進(jìn)行總結(jié)． 生：從邊的關(guān)系來(lái)說(shuō)，當(dāng)然就是勾股定理；從角的關(guān)系來(lái)說(shuō)，由于直角三角形中有一個(gè)特殊的角即直角，所以直角三角形的兩個(gè)銳角互余． 生：我認(rèn)為直角三角形作為一個(gè)特殊的三角形，如果又有一個(gè)銳

6、角是30°，那么30°的角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半． 師：很好．我們的學(xué)習(xí)就應(yīng)該是一個(gè)不斷總結(jié)、概括、創(chuàng)新的過(guò)程．隨著以后的學(xué)習(xí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，直角三角形還有它更吸引人的地方．下面我們來(lái)看第2個(gè)問(wèn)題． 問(wèn)題2：舉例說(shuō)明，如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形． 生：判斷一個(gè)三角形是直角三角形可以從角、邊兩個(gè)方面去判斷． 例如：①在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝15°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠A＝90°．根據(jù)定義可判斷△ABC是直角三角形． ②在△ABC中．∠A＝∠B＝∠C，由三角形的內(nèi)角和定理可知∠A＋2∠A＋3∠A＝180°，所以∠A＝30°，∠B＝2∠

7、A＝60°，∠C＝3∠A＝90°，△ABC是直角三角形． 上面兩個(gè)例子都是從定義即從角出發(fā)去判斷一個(gè)三角形是直角三角形． 生：我來(lái)說(shuō)一下從邊如何去判斷一個(gè)三角形是直角三角形吧．其實(shí)從邊來(lái)判斷直角三角形它的理論依據(jù)就是判定直角三角形的條件(即勾股定理的逆定理)． 例如：①△ABC的三條邊分別為a＝7，b＝25，c＝24，而a2＋c2＝72＋242＝625＝252＝b2，，即a2＋c2＝b2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知△ABC是直角三角形．但這里要注意的是b所對(duì)的角∠B＝90°． ②△ABC三條邊的比為a:b:c＝5:12:13，則可設(shè)a＝5k，b＝12k，c

8、＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形． 師：同學(xué)們對(duì)我們所學(xué)知識(shí)能很靈活地運(yùn)用．在談到應(yīng)用這些知識(shí)的同時(shí)，我們不妨重溫一下勾股定理的獲得和驗(yàn)證的過(guò)程，體會(huì)驗(yàn)證過(guò)程中的數(shù)形結(jié)合的思想和方法，對(duì)于我們將來(lái)學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)會(huì)大有益處． 生：勾股定理獲得是從一些特例猜想得到的．我們?cè)诜礁窦埳先我猱嫵鲆粋€(gè)直角三角形，使它的每個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的交點(diǎn)上，然后以它的每個(gè)邊為邊長(zhǎng)在外部長(zhǎng)出三個(gè)正方形，我們通過(guò)討論、計(jì)算、數(shù)格子的方法得到了三個(gè)正方形的面積，并且發(fā)現(xiàn)以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積等于那兩個(gè)

9、以直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積和，我們?cè)O(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，大正方形的面積是c2，兩個(gè)小正方形的面積為a2、b2，由上面的關(guān)系，我們猜想，是不是所有的直角三角形都有a2＋b2＝c2這個(gè)結(jié)論呢? 師：這位同學(xué)的思路很好．勾股定理又是如何驗(yàn)證的呢? 生：先是又找了幾個(gè)特例驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)這個(gè)結(jié)論正確。但我們不可能把所有的直角三角形都拿來(lái)驗(yàn)證，僅此說(shuō)明它正確，又不可信．接下來(lái)．我們就用先人的方法——拼圖，從一般意義上證明了勾股定理：取四個(gè)全等的直角三角形，將它們拼擺，得到一個(gè)以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形，通過(guò)用兩種方法表示拼出的整個(gè)圖形的面積，找到相等關(guān)系，從而得到勾股定理．

10、 師：在我們的數(shù)學(xué)史上，好多結(jié)論的發(fā)現(xiàn)都是這樣一個(gè)過(guò)程，都是從幾個(gè)或大量的特例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想出結(jié)論，然后以前面的理論作為基礎(chǔ)，證明猜想，一個(gè)偉大的成果就誕生了．掌握這種研究數(shù)學(xué)的方法，大膽創(chuàng)新，刻苦鉆研，說(shuō)不一定你就是未來(lái)的商高，第二個(gè)趙爽． 問(wèn)題3：請(qǐng)你舉生活中的一個(gè)實(shí)例，并運(yùn)用勾股定理解決它． (這個(gè)問(wèn)題可讓學(xué)生在小組內(nèi)先交流討論，實(shí)例已由學(xué)生事先準(zhǔn)備好，然后每組推薦一個(gè)最好的實(shí)例，展示給全班同學(xué)．在全班進(jìn)行交流) 生：例如：臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力．如下圖，據(jù)氣象觀測(cè)，距沿海城市A的正南方向2

11、60千米B處有一臺(tái)風(fēng)中心，沿BC的方向以15千米／時(shí)的速度向D移動(dòng)，已知AD是城市A距臺(tái)風(fēng)中心的距離最短，且AD＝100千米，求臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)? 解：根據(jù)題意可知AD⊥BC． 在Rt△ABD中，AB＝260千米，AD＝100千米，AB2＝AD2＋BD2，所以BD2＝AB2－AD2＝2602－1002＝2402，BD＝240千米．則臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)240千米÷15千米／時(shí)＝16(小時(shí))從B點(diǎn)移到D點(diǎn)． 生：例如：一個(gè)長(zhǎng)為10米的梯子斜靠在墻上．梯子的頂端距地面的垂直高度為8米，梯子的頂端下滑2米后，底端將水平滑動(dòng)2米嗎?試說(shuō)明理由． 解：根據(jù)題意，可知

12、：下圖中AB＝DE＝10米，AC＝8米，AD＝2米，所以DC＝8－2＝6米． 在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝102－82＝36，BC＝6米，在Rt△CDE中，CE2＝DC2－CD2＝102－62＝82，CE＝8米，則BE＝CE－CB＝8－6＝2米． 所以頂端向下滑動(dòng)2米，底端也水平滑動(dòng)2米． 師：我們從學(xué)習(xí)這一章開(kāi)始，就讓同學(xué)們通過(guò)各種渠道收集勾股定理史料．現(xiàn)在我們就來(lái)介紹一下你們收集到的有關(guān)勾股定理的史料吧． 問(wèn)題4：你了解勾股定理的史料嗎? 回在上古時(shí)代，人類雖然“愚昧無(wú)知”，但是，當(dāng)他們仰望蒼穹時(shí)，也會(huì)引起無(wú)窮無(wú)盡的遙想，

13、經(jīng)常有人提出這樣的問(wèn)題：天有多高? 要是從天地的形成來(lái)解釋，也是有數(shù)的，據(jù)說(shuō)，天和地原先是混沌的一團(tuán)，像個(gè)大雞蛋，后來(lái)降生一個(gè)神，叫盤古，由他來(lái)開(kāi)天辟地．據(jù)說(shuō)“天日高一丈，地日厚一丈，盤古日長(zhǎng)一丈，如此萬(wàn)八千歲……”盤古的身子每天長(zhǎng)高一丈，一萬(wàn)八千年后，這個(gè)頂天立地的大漢有多高，天也就是多高了． 雖然人們竭力探索通往天庭的路徑，但希望是渺茫的。 約在公元前12世紀(jì)，周朝政治家姬旦(即周公)首先考慮到確定“天高”的問(wèn)題．當(dāng)時(shí)，他要搞一番建設(shè)事業(yè)，需要廣泛的科學(xué)技術(shù)的知識(shí)，也涉及測(cè)量問(wèn)題，于是，他就把知名的學(xué)者商高找來(lái)，問(wèn)道：“聽(tīng)說(shuō)你的數(shù)學(xué)造詣很深，請(qǐng)你談?wù)劊糯?/p>

14、是怎樣確定天球的度數(shù)的?沒(méi)有臺(tái)階走上天庭，也沒(méi)有辦法用尺子量測(cè)大地，那么，怎么知道天高地廣的數(shù)呢?” 這就是數(shù)學(xué)史上有名的“周公問(wèn)數(shù)”．這段話記載在《周髀算經(jīng)》的首頁(yè)． 昔者，周公問(wèn)于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也，請(qǐng)問(wèn)古者包犧立周天歷度，夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出?” 《骨髀算經(jīng)》問(wèn)世至今已經(jīng)兩千年了．它所寫的周公則是距今三千年以前的古人．他居然能夠提這樣大膽的設(shè)想——測(cè)天量地，實(shí)在難能可貴．不過(guò)，被問(wèn)者商高也不含糊，當(dāng)即胸有成竹地作出合乎科學(xué)道理的回答． 商高認(rèn)為：“數(shù)之法出自圓方?！庇谑撬?lián)想到存在于矩之中的微妙內(nèi)在關(guān)系：“故折矩，

15、以為勾廣三，股修四，徑隅五．”從此建立了直角三角形中的三邊關(guān)系，即勾、股、弦構(gòu)成三、四、五的關(guān)系． 商高的這樁發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)史上形成了一個(gè)新的里程碑，是對(duì)人類處理生活和生產(chǎn)問(wèn)題，以及加強(qiáng)對(duì)大自然斗爭(zhēng)手段的重要貢獻(xiàn)．后人在他的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索，終于確定了“勾股定理”：a2＋b2＝c2．式中a、b——直角三角形直角邊；c——直角三角形的斜邊． 商高答問(wèn)的時(shí)間約在公元前12世紀(jì)，而在西方，則在公元前6世紀(jì)才由古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)“畢氏定理”(即我國(guó)的“勾股定理”)． 那么，回到“天有多高”問(wèn)題上來(lái)，商高用什么方法來(lái)測(cè)天量地呢? 他的主要方法就是使用直角三角形

16、中的勾、股、弦關(guān)系，并且確信，除非數(shù)學(xué)被應(yīng)用于水工技術(shù)，否則大禹是不可能戰(zhàn)勝洪水的． 就這樣，《周髀算經(jīng)》提出一則“榮子與陳子的回答”的故事來(lái)具體說(shuō)明商高方法的應(yīng)用． 師：這位同學(xué)講得很好．陳子測(cè)日高的方法確實(shí)是一項(xiàng)了不起的發(fā)明，雖然由于大地不是平的，導(dǎo)致所得結(jié)果的誤差太大，因此用這種方法測(cè)日高是不準(zhǔn)確的，但是，這種方法卻可以用于測(cè)量高聳景物的高度和距離，陳子稱自己的方法是“望遠(yuǎn)起高之術(shù)”，為后人測(cè)度“可望不可及”的景物提供極好的線索。 由于時(shí)間關(guān)系，對(duì)勾股定理的歷史同學(xué)們可繼續(xù)收集，交流、討論． 三、課時(shí)小結(jié) 通過(guò)回顧與思考中的問(wèn)題的交流．由同學(xué)們自

17、己建立本章的知識(shí)結(jié)構(gòu)圖． 板書(shū)設(shè)計(jì) 本章小結(jié) 1．回顧與思考 問(wèn)題1：直角三角形的邊，角之間分別存在什么關(guān)系? 在Rt△ABC中，∠C＝90°，則有∠A＋∠B＝90°，a2＋b2＝c2． 問(wèn)題2：舉例說(shuō)明，如何判斷一個(gè)三角形是直角三角形? 在△ABC中．①如果∠A＋∠B＝90°，則△ABC是直角三角形．②如果a2＋b2＝c2，則△ABC是直角三角形． 問(wèn)題3：舉生活實(shí)例，用勾股定理解決它． 例1．臺(tái)風(fēng)問(wèn)題 例2．梯子問(wèn)題 問(wèn)題4：勾股定理史料 2．本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖 =================================================

18、===================== 活動(dòng)與探究 如下圖，折疊長(zhǎng)方形(四個(gè)角都是直角，對(duì)邊相等)的一邊AD，點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知AD＝8cm，DC＝10cm，求EC的長(zhǎng)． 過(guò)程：“折疊”問(wèn)題是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)問(wèn)題之一．由折疊的過(guò)程可知．△AFE≌△ADE、AD＝AF，DC＝EF，在Rt△ABF中，AB＝8cm，AF＝10cm，BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62，BF＝6， FC＝BC－BF＝10－6＝4cm，如果設(shè)CE＝xcm，DE＝(8－x)cm，所以EF＝(8－x)cm． 在Rt△CEF中，EF2＝CF2＋CE2，用這個(gè)關(guān)系就可建立關(guān)于x的方程．

19、解出x便求得CE． 結(jié)果：解：根據(jù)題意，得 (8－x)2＝42＋x2 所以x＝3，即CE的長(zhǎng)為3cm． 習(xí)題詳解 復(fù)習(xí)題18 1．解：兩人從同一地點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．10分后，一人向北直行200米，一人向東直行300米，此時(shí)，他們相距＝100米． 2．解：根據(jù)題意AC＝＝＝110mm．所以兩孔中心的垂直距離110mm． 3．解：覆蓋在頂上的塑料薄膜需 ·d＝×10≈33.5m2． 4．解：根據(jù)題意，設(shè)三角形的三邊分別為k，k，2k，(k)2＋k2＝(2k)2，所以這個(gè)三角形是直角三角形． 5．(1)逆命題：同位角相等

20、，兩條直線平行．此逆命題成立； (2)逆命題：如果兩個(gè)數(shù)的積是正數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)是正數(shù)，此逆命題不成立； (3)逆命題；銳角三角形是等邊三角形，此逆命題不成立； (4)逆命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．此逆命題成立． 6．解：(1)四邊形ABCD的面積為： 5×6－(×2×4＋×1×5＋×2×1＋×1×4＋1×5) ＝30－(4＋＋1＋2＋6)＝30－13－＝14.5． 四邊形ABCD的周長(zhǎng)為：＝2＋＋＝3＋ (2)BC＝2，CD＝，BD＝5 (2)2＋()2＝25． 所以BC2＋CD2＝BD2．即∠BCD為直角． 7．解：設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，根據(jù)題意，得 (10－x)2＝x2＋32 解，得x＝； 所以折斷處離地面的高度為尺， 8．解：圓柱底面的周長(zhǎng)為12πcm，則 螞蟻從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)的最短路程＝≈14.6cm． 9．解：根據(jù)題意長(zhǎng)方體的斜對(duì)角線的長(zhǎng)度＝≈70.7cm． 70cm＜70.7cm． 所以一根70cm長(zhǎng)的木棒，可以放在長(zhǎng)、寬、高分別是30cm、40cm、50cm的長(zhǎng)方體木箱中。