山東省諸城市桃林鎮(zhèn)中考數(shù)學(xué) 第36章 對(duì)策與操作復(fù)習(xí)題（無答案）

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1、 第36章 對(duì)策與操作 ?36.1 甲、乙兩人輪流報(bào)數(shù)字，甲先報(bào)，第一次可報(bào)1或2以后每次每人所報(bào)的數(shù)字都是在對(duì)方所報(bào)數(shù)字的基礎(chǔ)上加1或2，不能不報(bào)，也不能報(bào)的數(shù)字比對(duì)方大3或3以上，先報(bào)到30這個(gè)數(shù)字者為勝，誰有必勝策略？ ?36.2 黑板上寫著1-100這100個(gè)自然數(shù)，甲乙兩人輪流將數(shù)字化取，每次每人劃去1個(gè)，但最后剩下2個(gè)時(shí)，如果這2個(gè)數(shù)互質(zhì)，甲勝，如果不互質(zhì)，乙勝。問誰將獲勝？ ‥36.3 一堆火柴有3000根，甲、乙兩人輪流取火柴，每次只允許取出2k根火柴（k=0，1，2…），由甲先取誰取到最后一根火柴，正確游戲時(shí)誰將獲勝？ ‥36.4 盒子里有1997根火柴，

2、甲、乙兩人輪流從盒中往外取火柴（不再放回），每人每次可取1至7中的任意根，誰取到最后一根，問：誰將獲勝？ ∴36.5 今有圍棋子1400顆，甲、乙兩人做取圍棋子的游戲，甲先取，乙后取，兩個(gè)輪流各取一次，規(guī)定每次只能取7p顆棋子（p為1或不超過20的任意一質(zhì)數(shù)），誰最后取完誰獲勝？問甲、乙兩人誰有必勝的策略？ ‥36.6 如圖所示，一橫排有n個(gè)空格（n≥4，n是自然數(shù)），裁判員先把一個(gè)棋子放入最左邊的格子內(nèi)，然后甲、乙兩人輪流向右走這枚棋子，每人每次可走一步、兩步或三步，游戲規(guī)定，把棋子走入最右邊格的人是勝利者，問先走者，還是后走者有必勝的策略？ ∴36.7 如圖所示，5×7的方

3、格棋盤的右上角有一個(gè)棋子，甲、乙兩人輪番走這個(gè)棋子，每人每次走一步，可以向下或向左或向左下方把棋子走入另一個(gè)格內(nèi)，例如走棋者可以把棋子走入A、B、C格之一格，游戲規(guī)定，把棋子走路左下角x那個(gè)小方格者是勝利者。問先走棋者還是后走棋者有必勝策略？ ∴36.8 甲、乙兩人輪番往m×n的方格盤內(nèi)放棋子，甲先放第一個(gè)棋子以只能在與上述棋子相鄰的某格內(nèi)放棋子（相鄰格指一條公共邊時(shí)兩個(gè)格），甲再放時(shí)又必須在與乙所放的棋子相鄰的某格內(nèi)放棋子，以后輪番放棋子也遵守這個(gè)規(guī)定，誰無法放棋子時(shí)誰失??？為避免失敗，你愿意先放還是后放？ ‥36.9 甲、乙在一個(gè)n×n的方格表中做填數(shù)游戲，每次允許在一個(gè)方格中

4、填入數(shù)字0或者1（每個(gè)方格中只能填入一個(gè)數(shù)字），由甲先填，然后輪流填數(shù)，直至表格中每個(gè)小方格內(nèi)都填了數(shù)，若每一行中各數(shù)之和都是偶數(shù)，則規(guī)定為乙獲勝，否則當(dāng)作甲獲勝。請(qǐng)問： ⑴當(dāng)a=2006，誰有必勝的策略？ ⑵對(duì)于任意正整數(shù)n，回答上述問題。 ‥36.10 兩個(gè)人做游戲，在1×2005方格紙帶的中間的方格中放著一枚跳棋棋子，他們輪流移動(dòng)棋子。首先，甲把棋子（隨便朝哪個(gè)方向）移動(dòng)1格，乙把棋子（隨便朝哪個(gè)方向）移動(dòng)2格，接著甲移動(dòng)4格, 再接著乙移動(dòng)8格, 如此等等（第k次時(shí)隨便朝哪個(gè)方向移動(dòng)2k-1 格），如果誰再輪到自己時(shí)不能按規(guī)則移動(dòng)棋子，就算他輸，試問：誰可以不依賴于對(duì)方的行動(dòng)

5、而取勝？ ∴36.11 將8×8方格表的小方格內(nèi)依下列方式標(biāo)記上數(shù)字：在左上角（1,1）的位置的小方格內(nèi)標(biāo)上1；在它的右鄰（1,2）位置及下鄰（2,1）位置的小方格內(nèi)分別標(biāo)上2、3；再下一行斜線（1,3）、（2,2）與（3,1）三個(gè)位置的小方格內(nèi)分別標(biāo)上4、5及6；以此類推，每條斜線的小方格內(nèi)標(biāo)記數(shù)的順序是由右上的方格依次到左下的方格。在倒數(shù)第二條斜線（8,7）、（7,8）兩個(gè)位置的小方格內(nèi)標(biāo)記的數(shù)是62及63，在最末一條斜線（8,8）位置的小方格內(nèi)標(biāo)記的數(shù)字是64，開始時(shí)，小丁在這個(gè)方格表上放入8顆石子，使得每行每列都各只有一顆石子，然后他把每一顆石子朝比他原來位置標(biāo)記的數(shù)大的方格移動(dòng)，

6、經(jīng)過這樣的操作后，請(qǐng)問：是否有可能仍然保持每行每列都各只有一顆石子？ ‥36.12 甲、乙兩人按如下法則進(jìn)行游戲，甲先給出三個(gè)不同的非0實(shí)數(shù)，乙則將它們分別填在二次三項(xiàng)式（ ）x2+（ ）x+（ ）中空格的位置上. 具體哪個(gè)數(shù)填在哪個(gè)位置上有乙決定，如果所得的二次三項(xiàng)式具有兩個(gè)不同的有理根，那么甲獲勝.證明：甲總可以使自己獲勝. ∴36.13 有一個(gè)3×3的方格棋盤以及9張大小為一個(gè)方格的卡片.在每一張卡片上任意寫上一個(gè)數(shù).甲乙兩人做游戲，輪流選取一張卡片放到9格中的一格.對(duì)甲計(jì)算上、下兩行六個(gè)數(shù)字的字的和，對(duì)乙計(jì)算左、右兩列六個(gè)數(shù)字的和，和數(shù)大者獲勝.證明：不論卡片上寫著怎樣

7、的數(shù)，若甲先走，總可以有一種策略使得乙不可能獲勝 ‥36.14在一張長(zhǎng)方形或者圓形的桌面上兩人輪流放硬幣，硬幣可以是5分的、2分的或1分的，每人每次放一個(gè)硬幣之間不能相碰，更不能重疊，輪到某方時(shí)，無法再放下硬幣者為負(fù)，試問先放者獲勝還是后放者獲勝？ ‥36.15 N個(gè)“-”號(hào)排成一行，甲乙輪流改“-”號(hào)為“+”號(hào)，每次只能改一個(gè)或相鄰的兩個(gè)，先得全部“+”號(hào)者勝，試討論獲勝策略. ‥36.16 在一個(gè)1997×1997的國(guó)際象棋棋盤上，甲、乙兩人輪流放置國(guó)際象棋中的“王”必須使得所放的“王”互相不能吃掉（“王”可以橫、豎或斜吃一格），在正確的游戲下，誰將獲勝？ ‥36.17 一

8、個(gè)8×8的國(guó)際象棋棋盤，甲、乙兩人輪流在格子里放上各自的“象”，使自己的“象”不會(huì)被對(duì)方吃掉，誰先不能放誰就輸．如果策略正確，誰贏？ ★★36．18 兩人輪流在10×10的方格表中畫十字或畫圈（每人每次可以在一個(gè)小方格內(nèi)畫一個(gè)十字或畫一個(gè)圓圈），若在某人畫過之后，方格表中出現(xiàn)了3個(gè)十字或3個(gè)圓圈相鄰排列（可橫向相鄰，也可縱向相鄰，亦可沿對(duì)角線方向相鄰），則該人為贏者．試問：兩人中是否有一人可保證自己一定贏？如果有的話，是哪一位？是先動(dòng)手畫的，還是其對(duì)手？ ★★36．19今有一張10×10的方格表，在中心處的結(jié)點(diǎn)上放有一枚棋子，兩人輪流移動(dòng)這枚棋子，即將棋子由所在的結(jié)點(diǎn)移到

9、別的結(jié)點(diǎn)，但要求每次所移動(dòng)的距離大于對(duì)方剛才所移的距離．如果誰不能再按要求移動(dòng)棋子，誰即告輸．試問：在正確的玩法之下，誰會(huì)贏？ ★★36．20 一個(gè)女孩與一個(gè)男孩依次作正24邊形的對(duì)角線，要求所畫的對(duì)角線互不相交，誰畫下最后一條這樣的對(duì)角線誰就勝．女孩第一個(gè)開始畫，問：這女孩應(yīng)當(dāng)如何畫才能得勝？ ★★★36．21 二人輪流將一個(gè)n邊形的邊涂上顏色．第一個(gè)人可以將和所有已經(jīng)涂色的邊中有0個(gè)或2個(gè)公共點(diǎn)的邊涂上顏色，第二個(gè)人可以將和所有已經(jīng)涂色的邊中恰有1個(gè)公共點(diǎn)的邊涂上顏色．首先無法再涂色者為輸家．試求使得無論第一個(gè)人怎樣涂色，第二個(gè)人一定會(huì)贏的所有的n值．

10、 ★★★36．22 平面上給出2005個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)都不共線．每?jī)牲c(diǎn)之間均用線段連結(jié)．老虎和驢子進(jìn)行游戲：驢子給每條線段都用某個(gè)數(shù)字(0、1、2、3、4、5、6、7、8或9)標(biāo)上號(hào)數(shù)，接著老虎也給每個(gè)點(diǎn)用某一個(gè)數(shù)字標(biāo)上號(hào)數(shù)．如果驢子能找到某條線段與它的兩個(gè)端點(diǎn)是同號(hào)的話，那么驢子獲勝，否則認(rèn)輸．請(qǐng)證明：在正確方法下，驢子必勝． ★★★36．23 有一塊邊長(zhǎng)為n的正三角形形狀的巧克力片，用一些直線將此塊巧克力劃分為n2個(gè)邊長(zhǎng)全都為1的小正三角形（將原正三角形的三個(gè)邊各作n等分點(diǎn)，然后過這些等分點(diǎn)分別作與正三角形的邊平行的直線）．二人輪流玩游戲，每一個(gè)輪到的人，若他拿到的不是一塊邊長(zhǎng)為

11、1的小正三角形巧克力，則必須沿著其內(nèi)部一條直線，剝下一塊正三角形形狀的巧克力，把它吃掉，而將剩下的部分遞交給另一個(gè)人，依次規(guī)則繼續(xù)玩下去，得到最后一塊邊長(zhǎng)為1的小正三角形巧克力的人，或使對(duì)手無法依上述規(guī)則繼續(xù)玩下去的人獲勝．請(qǐng)問：有哪些n值，先者有必勝的策略？有哪些n值，后者有必勝的策略？ ★★36．24 在正六面體的每個(gè)頂點(diǎn)上都任意寫上一個(gè)數(shù)，然后進(jìn)行以下之操作：每次操作都將正六面體每個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)同時(shí)替換成與此頂點(diǎn)相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)之平均值．若經(jīng)過10次操作后，所有八個(gè)頂點(diǎn)上的數(shù)都與它們?cè)瓉硭鶎懙臄?shù)相同，請(qǐng)問：最初在八個(gè)頂點(diǎn)上所寫的數(shù)是否必須全部相同？ ★★36．25 8個(gè)小圓分別

12、涂了4種顏色：2個(gè)紅的、2個(gè)藍(lán)的、2個(gè)白的、2個(gè)黑的．兩個(gè)游戲者輪流把圓放到立方體的頂點(diǎn)上，在所有的圓都放到立方體的各個(gè)頂點(diǎn)上去后，如果對(duì)立方體的每一個(gè)頂點(diǎn)都能找到一條過此頂點(diǎn)的棱，其兩個(gè)端點(diǎn)上的圓有相同的顏色，那么第一個(gè)放圓的人獲勝，否則，第二個(gè)人獲勝．在這個(gè)游戲中誰將獲勝？ ★★36．26 柯尼亞和維佳在無窮大的方格紙上做游戲，自柯尼亞開始，他們依次在方格紙上標(biāo)出結(jié)點(diǎn)，他們每標(biāo)出一個(gè)結(jié)點(diǎn)，都應(yīng)當(dāng)使所有已標(biāo)出的結(jié)點(diǎn)全都落在某一個(gè)凸多邊形的頂點(diǎn)上（自柯尼亞的第二步算起）．如果誰不能再按法則進(jìn)行下去，就判誰輸，試問：按正常情況，誰能贏得這一游戲？ ★36．27 布袋里裝著

13、1997個(gè)紅球與1997個(gè)藍(lán)球．每次取出兩個(gè)球，如果同色，就全部拿走；如果異色，就拿走紅球，將藍(lán)球還回袋內(nèi)．問：能否在若干次這樣的操作后將袋內(nèi)所有球拿走？ ★★36．28 有三堆小球，數(shù)目分別是1995、995、95．允許你進(jìn)行以下操作： 從每一堆都取走（不放回）同樣數(shù)目的小球，或者把有偶數(shù)個(gè)小球的堆中一半數(shù)目的小球放人另一堆，問： (1)有限次操作后，能否使兩堆球的數(shù)目變成0? (2)有限次操作后，能否使三堆球的數(shù)目變成0? ★★36．29 如圖所示，三個(gè)圓交成7個(gè)部分，每個(gè)部分內(nèi)都有一枚硬幣，開始時(shí)全部正面向上，允許以下兩種操作：①將某圓內(nèi)4枚

14、硬幣全翻動(dòng)一下；②將某圓內(nèi)4枚硬幣全翻成正面向上．問：是否能通過若干次操作，使得僅有中心處硬幣正面向上，其余硬幣的全部正面向下？ ★★★36．30 在n×n的方格盤中，把其中(n -1)個(gè)方格染成黑色，其余方格不染色．染完后，允許按下述操作把某些未染色的方格染上黑色，規(guī)則是，只要是某個(gè)未染色的方格與兩個(gè)黑色方格相鄰（如果兩個(gè)方格有一條公共邊，就稱這兩個(gè)方格相鄰），就把這個(gè)方格染黑．證明：按這種規(guī)則操作下去，不能把整個(gè)棋盤全染成黑色． ★36．31 在1995×1995的方格盤中，每個(gè)格內(nèi)已預(yù)先染了色，共有兩種顏色：紅色或白色．允許你進(jìn)行改色操作，規(guī)則是，任選其中一行

15、，把這一行各格的顏色統(tǒng)一描成這一行中色數(shù)較多的那種色．對(duì)任何一列也可以這么改色，每改完一行或一列的顏色，叫做“操作一次”．問：有限次操作后，能不能使全部方格同色？ ★★★36．22 黑板上寫著2000個(gè)數(shù)：1,2，…，2000．每次允許擦去兩個(gè)數(shù)a、b（a≥b），并寫上a-b、、這三個(gè)數(shù)，如此進(jìn)行8000次后得到了10000個(gè)數(shù)，問：這10000個(gè)數(shù)能否都小于500? ★★36．33 一個(gè)圓分成6個(gè)扇形，依次填入數(shù)1、0、1、0、0、0，同時(shí)把相鄰兩個(gè)數(shù)增加1，按照這樣的操作規(guī)則能使這個(gè)圓上的6個(gè)數(shù)都相同嗎？ ★★★36．34 在正方形的頂點(diǎn)處放上火柴，開始在某個(gè)頂

16、點(diǎn)處放1根火柴，其他三個(gè)頂點(diǎn)空著．允許我們從某個(gè)頂點(diǎn)移走任意根火柴，然后在它的一切相鄰頂點(diǎn)處放上火柴，其根數(shù)之和等于移走根數(shù)的兩倍．是否可以經(jīng)過若干次這樣的操作，使各頂點(diǎn)處的火柴根數(shù)（依順時(shí)針方向或逆時(shí)針方向）為1、9、8、9？ ★★★36．35有三堆石子的個(gè)數(shù)分別為19、8、9，現(xiàn)在進(jìn)行如下操作：每次從三堆中的任意兩堆中分別取出1個(gè)石子，然后把這2個(gè)石子都加到另一堆上去，試問：能否經(jīng)過若干次這樣的操作使得：①三堆的石子數(shù)分別為2、12、 22；②三堆的石子數(shù)均為12？如果達(dá)到要求，請(qǐng)用最小的操作次數(shù)完成它；如不能達(dá)到，說明理由． ★★★36．36 一個(gè)海島上住著13條藍(lán)的

17、、15條白的和17條紅的變色龍，當(dāng)兩條不同色的變色龍相遇時(shí)，它們都變成了第三種顏色．例如，藍(lán)的和白的變色龍相遇都變成了紅色的．這些變色龍有可能變成同一種顏色嗎？ ★★★36．37 黑板上寫著1000, 1001, 1002，…，2999這2000個(gè)數(shù)，允許擦去兩個(gè)a、b（a≤b），并寫上，如此1999次后得到一個(gè)數(shù)．求證：這個(gè)數(shù)必定小于1． ★★ 36．38 在黑板先寫下2004!(=1×2×3×…×2004)這個(gè)數(shù)．小王與小丁二人輪流依下列規(guī)則玩游戲：每一次輪到的人都將黑板上的數(shù)減掉一個(gè)不大于它的自然數(shù)，規(guī)定這個(gè)自然數(shù)不同的質(zhì)因子個(gè)數(shù)不得超過20個(gè)，若所得到的結(jié)果為

18、0，則其獲勝；否則，擦去黑板上的數(shù)，將所得的結(jié)果寫在黑板上，再輪到下一位．請(qǐng)問：先者或后者誰有必勝的策略？如何操作？ ★★ 36．39 兩個(gè)人交替地在黑板上寫從1到1000的自然數(shù)．第一個(gè)人在黑板上寫的數(shù)是1，然后，在黑板上寫的數(shù)要么是2a，要么是a+l，其中a是已經(jīng)寫在黑板上的數(shù)，且在黑板上已經(jīng)寫過的數(shù)不允許再寫，首先在黑板上寫下1000的人獲勝．問：哪個(gè)人有獲勝策略？ ★★★36．40 兩個(gè)人交替地在黑板上隨意寫一位數(shù)字，并從左到右排成一排．如果一個(gè)參賽者寫完后，發(fā)現(xiàn)能用一個(gè)數(shù)字或幾個(gè)數(shù)字照順序組成的一個(gè)數(shù)可以被11整除，那么規(guī)定其將輸?shù)暨@場(chǎng)游戲，問：哪個(gè)人有獲勝

19、策略？ ★★★36．41 鮑略默想一個(gè)大于100的整數(shù)，金娜則說出一個(gè)大于1的整數(shù)．若鮑略的數(shù)能被金娜的數(shù)整除，則金娜取勝，否則鮑略就得從自己的數(shù)中減去金娜剛才的那個(gè)數(shù)，而金娜則再報(bào)一個(gè)與前不同的新數(shù)．如此下去，若鮑略的數(shù)成為負(fù)數(shù)時(shí)，金娜就得認(rèn)輸．那么金娜有什么必勝的策略嗎？ ★36．42 有分別寫上數(shù)1,2,3，…，25的紙牌各一張，甲、乙兩人依下列規(guī)則玩游戲： (1)由某人開始任選一張牌，另一人決定將此張牌分給誰． (2)從第二次開始，則由兩人中所得到牌上的數(shù)的總和較大者先選牌（若兩人總和相同，則由上次先選牌者繼續(xù)選牌）． (3)取完所有牌后，兩人中所得到牌上的數(shù)的總和較大者勝． 如果由甲先選牌，是否能保證甲一定會(huì)贏？ ★★★36．43 一位魔術(shù)師的眼睛被蒙住，手上拿著編號(hào)為1、2、3、4、5的五張牌．魔術(shù)師請(qǐng)觀眾任意抽取兩張牌，然后將剩下的牌交給他的助手．助手再?gòu)倪@三張牌中挑選出兩張牌，并請(qǐng)其他觀眾依任意順序念出助手所選出的牌之編號(hào)．請(qǐng)問：魔術(shù)師與助手之間如何事先約定一些數(shù)學(xué)策略，使得魔術(shù)師能萬無一失地準(zhǔn)確猜出觀眾手上兩張牌的編號(hào)？ 6