復(fù)變函數(shù)與積分變換：4-5 孤立奇點(diǎn)

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1、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1第五節(jié)第五節(jié) 孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)一、孤立奇點(diǎn)的概念二、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)三、小結(jié)與思考機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2一、孤立奇點(diǎn)的概念一、孤立奇點(diǎn)的概念定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)0z)(zf在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心鄰域的某一去心鄰域 00zz內(nèi)處處解析內(nèi)處處解析, 則稱則稱0z)(zf為為的的孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn).例例0 z是函數(shù)是函數(shù)zzezsin,1的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).注意注意: 孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn), 但奇點(diǎn)不一定是孤但奇點(diǎn)不一定是孤立奇點(diǎn)立奇點(diǎn).機(jī)動(dòng)機(jī)

2、動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3例例1 1 指出函數(shù)指出函數(shù)0 z在點(diǎn)在點(diǎn)zzzf1sin)(2 的奇點(diǎn)特性的奇點(diǎn)特性. .解解 kzz1,0),2,1( k，因?yàn)橐驗(yàn)?1lim kk即在即在0 z的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi), 的奇點(diǎn)存在的奇點(diǎn)存在, 函數(shù)的奇點(diǎn)為函數(shù)的奇點(diǎn)為)(zf總有總有0 z不是孤立奇點(diǎn)不是孤立奇點(diǎn).所以所以機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 4孤立奇點(diǎn)的分類孤立奇點(diǎn)的分類依據(jù)依據(jù))(zf在其孤立奇點(diǎn)在其孤立奇點(diǎn)0z的去心鄰域的去心鄰域 00zz內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)的情況分為三類:1可

3、去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)1可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn); 2極點(diǎn)極點(diǎn); 3本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn).如果洛朗級(jí)數(shù)中如果洛朗級(jí)數(shù)中不含不含 的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng), 0zz 0z)(zf那末孤立奇點(diǎn)那末孤立奇點(diǎn) 稱為稱為 的的可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn).1) 定義定義機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 5 2) 2) 可去奇點(diǎn)的判定可去奇點(diǎn)的判定(1) (1) 由定義判斷由定義判斷: :的洛朗級(jí)數(shù)無負(fù)的洛朗級(jí)數(shù)無負(fù)0z)(zf在在如果如果冪項(xiàng)則冪項(xiàng)則0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn). .(2)(2) 判斷極限判斷極限:)(lim0zfzz若極限存在且為有限值若極限存在且為有限值, ,則則0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)

4、的可去奇點(diǎn). .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 6定理定理設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (z) 在在 0 |z z0| (0 + )內(nèi)解析，內(nèi)解析，則則 z0為為 f (z) 的可去奇點(diǎn)的充分必要條件是的可去奇點(diǎn)的充分必要條件是)(lim0zfzz存在且有限存在且有限.(4.16)證證 必要性必要性設(shè)設(shè) z0為為f (z)的可去奇點(diǎn)，的可去奇點(diǎn)，從而在從而在0 |z z0| 內(nèi)有內(nèi)有 nnzzczzcczf)()()(0010因?yàn)樯鲜接叶藘缂?jí)數(shù)的和函數(shù)因?yàn)樯鲜接叶藘缂?jí)數(shù)的和函數(shù)g(z)在在|z z0| 內(nèi)解析，內(nèi)解析，特別在特別在 z = z0 處連續(xù)，處連續(xù)， 當(dāng)當(dāng) z z0

5、 時(shí)，時(shí)，記記f (z) = g (z), 則則.)(lim)(lim000czgzfzzzz 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 7充分性充分性 設(shè)在設(shè)在0 |z z0| 內(nèi)內(nèi) f (z) 的洛朗展式為的洛朗展式為.)()(0nnnzzczf 存在，存在，由于由于)(lim0zfzz則存在正數(shù)則存在正數(shù) M 和和 ( ) 使得使得0 |z z0| 時(shí)，時(shí)，|f (z)| M.所以所以 Cnnzfic d)()(21|010 Cnzf|d| )(|2110 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 8), 2 , 1( /2211 nMn 令令 0得得

6、c-n= 0, (n =1,2, ),z0 是是f (z) 的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 9例例2 0 z為為zez1 的哪種孤立奇點(diǎn)的哪種孤立奇點(diǎn).解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z為為的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).zez1 無負(fù)冪項(xiàng)無負(fù)冪項(xiàng)另解另解 zzzzeze00lim1lim 因?yàn)橐驗(yàn)? z所以所以的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).為為zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 102. 極點(diǎn)極點(diǎn) 1012020)()()()( zzczzczzczfm

7、m)0, 1( mcm )(010zzcc且且級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn).0z)(zfm那末孤立奇點(diǎn)那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)稱為函數(shù)的的1) 定義定義 0zz 如果洛朗級(jí)數(shù)中如果洛朗級(jí)數(shù)中只有有限多個(gè)只有有限多個(gè)的的負(fù)冪項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng), 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 112)極點(diǎn)的判定方法極點(diǎn)的判定方法)(zf的負(fù)冪項(xiàng)為有的負(fù)冪項(xiàng)為有0zz 的洛朗展開式中含有的洛朗展開式中含有限項(xiàng)限項(xiàng).在點(diǎn)在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)0zmzzzzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內(nèi)解析的鄰域內(nèi)解析, 且且 )(z 0z. 0)(0 z (1) 由定義判別由定義判別(2) 由定義的等價(jià)形式判

8、別由定義的等價(jià)形式判別(3) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判斷 .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 12定理定理4.17 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (z) 在在 0 |z z0| 內(nèi)解析內(nèi)解析, 則則z0為為 f (z) 的的 m 級(jí)極點(diǎn)的充分必要條件是級(jí)極點(diǎn)的充分必要條件是 f (z) 在在 0 |z z0| 內(nèi)可表示為內(nèi)可表示為mzzzzf)()()(0 的形式，其中的形式，其中 (z) 在在z0解析，且解析，且 (z0) 0.證證必要性必要性 設(shè)設(shè)f (z) 在在0 |z z0| 內(nèi)解析內(nèi)解析, z0為為f (z) 的的m級(jí)極點(diǎn)，級(jí)極點(diǎn)，那么在那么在0|z

9、 z0| 內(nèi)，內(nèi)，f (z)有洛朗展式有洛朗展式 nnmmmmzzczzcczzczzczzczf)()()( )()()(00101011010機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 13這里這里c-m 0.于是于是),()(1)(0zzzzfm 其中其中 (z) 是在是在 z0附近附近 的冪級(jí)數(shù)，收斂半徑仍為的冪級(jí)數(shù)，收斂半徑仍為 .故在故在 z0 解析，且解析，且 (z0) 0.充分性充分性設(shè)設(shè)),()(1)(0zzzzfm 把把 (z) 在在z= z0 的鄰域內(nèi)展開成冪級(jí)數(shù)，則的鄰域內(nèi)展開成冪級(jí)數(shù)，則機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 14)

10、0( )()()(0010100 bzzbbzzbzzbzfmmmm于是于是 z0為為f (z) 的的 m 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn).定理定理4.18 z = z0為函數(shù)為函數(shù)f (z)的的 m 級(jí)極點(diǎn)的充分必要級(jí)極點(diǎn)的充分必要條件是條件是 )(1)(zfzg 在在 z0 解析且以解析且以z0為為m 級(jí)零點(diǎn)級(jí)零點(diǎn).定理定理4.19 設(shè)設(shè) z0 為函數(shù)為函數(shù)f (z)的孤立奇點(diǎn)，的孤立奇點(diǎn)，則則 z0為為 f (z)的極點(diǎn)的充分必要條件是的極點(diǎn)的充分必要條件是.)(lim0 zfzz機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 15課堂練習(xí)課堂練習(xí)求求1123 zzz的奇點(diǎn)的奇點(diǎn), ,如果是極

11、點(diǎn)如果是極點(diǎn), ,指出它的指出它的級(jí)數(shù)級(jí)數(shù).答案答案 1123zzz由于由于,1:是是函函數(shù)數(shù)的的一一級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)所所以以 z.1是是函函數(shù)數(shù)的的二二級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn) z,)1)(1(12 zz機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 16本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)3.如果洛朗級(jí)數(shù)中如果洛朗級(jí)數(shù)中含有無窮多個(gè)含有無窮多個(gè)0zz 那末孤立奇點(diǎn)那末孤立奇點(diǎn)0z稱為稱為)(zf的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng),例如，例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有無窮多個(gè)含有無窮多個(gè)z的負(fù)冪項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng) 特點(diǎn)特點(diǎn): 在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi))(lim0zfzz不存在且不

12、不存在且不為為. 為為本本性性奇奇點(diǎn)點(diǎn)，所所以以0 z機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 17例例3z = 0 是是zzzzz1sin,sin,sin2的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).這三個(gè)函數(shù)在這三個(gè)函數(shù)在 z = 0的去心鄰域的洛朗展式分別為的去心鄰域的洛朗展式分別為 )!12()1(! 5! 31sin242nzzzzznn )!12()1(! 31sin3212nzzzzznn 12131)!12(1)1(1! 3111sinnnznzzz.|0 z所以所以 z = 0 分別為分別為zzzzz1sin,/sin,/sin2的可去奇點(diǎn)，的可去奇點(diǎn)，一級(jí)極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)一級(jí)極點(diǎn)

13、和本性奇點(diǎn).機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 18例例4 函數(shù)函數(shù)zsin1有些什么奇點(diǎn)有些什么奇點(diǎn), 如果是極點(diǎn)如果是極點(diǎn), 指出指出它的級(jí)它的級(jí).解解 函數(shù)的奇點(diǎn)是使函數(shù)的奇點(diǎn)是使0sin z的點(diǎn)的點(diǎn),這些奇點(diǎn)是這些奇點(diǎn)是. )2,1,0( kkz是孤立奇點(diǎn)是孤立奇點(diǎn). kzkzzzcos)(sin因因?yàn)闉榈囊患?jí)零點(diǎn)，的一級(jí)零點(diǎn)，是是所以所以zkzsin , 0)1( kzsin1的一級(jí)極點(diǎn)的一級(jí)極點(diǎn).即即機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 19),(1! 3! 211zzzz 解解 0221!11nnznzzze解析且解析且0)0( 所以

14、所以0 z不是二級(jí)極點(diǎn)不是二級(jí)極點(diǎn), 而是一級(jí)極點(diǎn)而是一級(jí)極點(diǎn).例例5 問問0 z是是21zez 的二級(jí)極點(diǎn)嗎的二級(jí)極點(diǎn)嗎?注意注意: 不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論不能以函數(shù)的表面形式作出結(jié)論 .?sin03的的幾幾級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)是是思思考考zzz 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20綜上所述綜上所述:孤立奇點(diǎn)孤立奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn)m級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn)洛朗級(jí)數(shù)特點(diǎn))(lim0zfzz 存在且為存在且為有限值有限值不存在不存在且不為且不為 無負(fù)冪項(xiàng)無負(fù)冪項(xiàng)含無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)10)( zzmzz )(0關(guān)于

15、關(guān)于的最高冪的最高冪為為機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 21二、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)二、函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)1. 定義定義如果函數(shù)如果函數(shù))(zf在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn) z的去心的去心鄰域鄰域 zR內(nèi)解析內(nèi)解析, 則稱點(diǎn)則稱點(diǎn) 為為)(zf的孤的孤立奇點(diǎn)立奇點(diǎn).Rxyo機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 22令變換令變換:1zt 規(guī)定此變換將規(guī)定此變換將: tfzf1)(則則映射為映射為 z, 0 t擴(kuò)充擴(kuò)充 z 平面平面擴(kuò)充擴(kuò)充 t 平面平面映射為映射為)( nnzz)0(1 nnntzt映射為映射為 zRRt10 映射為映射為),(t 機(jī)動(dòng)

16、機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 23結(jié)論結(jié)論: 在去心鄰域在去心鄰域 zR內(nèi)對(duì)函數(shù)內(nèi)對(duì)函數(shù))(zf的研究的研究在去心鄰域在去心鄰域Rt10 內(nèi)對(duì)函數(shù)內(nèi)對(duì)函數(shù))(t 的研究的研究Rt10 因?yàn)橐驗(yàn)?)(t 在去心鄰域在去心鄰域內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的,所以所以0 t是是)(t 的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).規(guī)定規(guī)定: m級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn) .)(t 的可去奇點(diǎn)、的可去奇點(diǎn)、m級(jí)極點(diǎn)或級(jí)極點(diǎn)或本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn),如果如果 t=0 是是 z是是)(zf的的可去奇點(diǎn)、可去奇點(diǎn)、 那末就稱點(diǎn)那末就稱點(diǎn)機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 24Rt10 因?yàn)橐?/p>

17、為 )(t 在去心鄰域在去心鄰域內(nèi)是解析的內(nèi)是解析的, t = 0 是是它的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，它的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，內(nèi)內(nèi)有有洛洛朗朗展展式式在在Rt10 ,)( nnntct 因而因而,1)( nnnzczf所以所以機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 251)不含正冪項(xiàng)不含正冪項(xiàng);2)含有有限多的正冪項(xiàng)且含有有限多的正冪項(xiàng)且mz為最高正冪為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項(xiàng)含有無窮多的正冪項(xiàng);那末那末 z是是)(zf的的 1)可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn) ;2) m 級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn);3)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn) .判別法判別法1 (利用洛朗級(jí)數(shù)的特點(diǎn)利用洛朗級(jí)數(shù)的特點(diǎn))2.判別方法判別方法:)(zf

18、zR在在內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)中:如果如果機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 26判別法判別法2 : (利用極限特點(diǎn)利用極限特點(diǎn))如果極限如果極限)(limzfz1)存在且為有限值存在且為有限值 ; 2)無窮大無窮大; 3)不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大 ;那末那末 z是是)(zf的的1)可去奇點(diǎn)可去奇點(diǎn) ;2)極點(diǎn)極點(diǎn) ;3)本性奇點(diǎn)本性奇點(diǎn) .機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 27例例61)( zzzf在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z1內(nèi)的洛朗展開式為內(nèi)的洛朗展開式為: nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正冪項(xiàng)不含正冪項(xiàng)所以所以

19、z是是)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn) .(2)函數(shù)函數(shù)zzzf1)( 含有正冪項(xiàng)且含有正冪項(xiàng)且 z 為最高正冪項(xiàng)為最高正冪項(xiàng), 所以所以 z是是)(zf的的 1級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn).1)( zzzfz= 是下列是下列函數(shù)的那種類型奇點(diǎn)？函數(shù)的那種類型奇點(diǎn)？(1)zzzf1)( (2)(1)(3)zzfsin)( 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 28(3)函數(shù)函數(shù)zsin的展開式的展開式: )!12(! 5! 3sin1253nzzzzzn含有無窮多的正冪項(xiàng)含有無窮多的正冪項(xiàng)所以所以 z是是)(zf的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn).課堂練習(xí)課堂練習(xí).0,是本性奇點(diǎn)是本性奇點(diǎn)是一級(jí)極點(diǎn)是一級(jí)

20、極點(diǎn) zzzezzf1)( 的奇點(diǎn)及其的奇點(diǎn)及其類型類型.說出函數(shù)說出函數(shù)答案答案機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 29例例7 函數(shù)函數(shù)332)(sin)2)(1()(zzzzf 在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)有些什么類型的奇點(diǎn)有些什么類型的奇點(diǎn)? 如果是極點(diǎn)如果是極點(diǎn), 指出它的級(jí)指出它的級(jí).解解 函數(shù)函數(shù))(zf除點(diǎn)除點(diǎn)2,1,0 z外外, ., 2,1,0cos)(sin處均不為零處均不為零在在因因 zzz所以這些點(diǎn)都是所以這些點(diǎn)都是z sin的一級(jí)零點(diǎn)的一級(jí)零點(diǎn),故這些點(diǎn)中除故這些點(diǎn)中除1, 1, 2外外, 都是都是)(zf的三級(jí)極點(diǎn)的三級(jí)極點(diǎn). z內(nèi)解析內(nèi)解析

21、 .在在機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 30),1)(1(12 zzz因因所以所以.2)(11級(jí)級(jí)極極點(diǎn)點(diǎn)的的是是與與zf )(lim2zfz那末那末2 z是是)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).為為一一級(jí)級(jí)零零點(diǎn)點(diǎn)，與與以以11 因?yàn)橐驗(yàn)闀r(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 z3322)(sin)2)(1(limzzzz ,33 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) z z不是不是)(zf的孤立奇點(diǎn)的孤立奇點(diǎn).所以所以, k因?yàn)橐驗(yàn)闄C(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 31例例8 判斷判斷 z = 是下列函數(shù)的什么類型奇點(diǎn)，是下列函數(shù)的什么類型奇點(diǎn)，對(duì)于極點(diǎn)，指出它們的級(jí)對(duì)于極點(diǎn)，指出它們的級(jí).

22、;)()1(1zezf .cos1)()2(4zzzf 解解(1) 由于由于zezf1)( 在在 的鄰域的鄰域 |0z內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)為內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)為 nzznzzezf!1! 2111)(21所以所以 z = 為為 f (z) 的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 32(2) 由于由于cos z 在在 的鄰域的洛朗級(jí)數(shù)就是它在的鄰域的洛朗級(jí)數(shù)就是它在z = 0處的泰勒級(jí)數(shù)處的泰勒級(jí)數(shù) 02)!2()1(cosnnnnzz從而從而4cos1)(zzzf )!2()1(! 6! 41! 21)2(2122nzzznn)|0( z所以所以 z = 為為 f

23、(z) 的本性奇點(diǎn)的本性奇點(diǎn).機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 33三、小結(jié)與思考三、小結(jié)與思考 理解孤立奇點(diǎn)的概念及其分類理解孤立奇點(diǎn)的概念及其分類; 掌握可去奇掌握可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)與本性奇點(diǎn)的特征點(diǎn)、極點(diǎn)與本性奇點(diǎn)的特征; 熟悉零點(diǎn)與極點(diǎn)的熟悉零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系關(guān)系.作業(yè)：作業(yè)：17(1)(2)(3)(4)(5), 18機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 34.)1(1)(33的的有有限限孤孤立立奇奇點(diǎn)點(diǎn)的的類類型型確確定定函函數(shù)數(shù) zezzf思考題思考題機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 35,60級(jí)零點(diǎn)級(jí)零點(diǎn)是分母的是分母的 z思考題答案思考題答案.6)(級(jí)極點(diǎn)級(jí)極點(diǎn)的的也即是函數(shù)也即是函數(shù)zf放映結(jié)束，按放映結(jié)束，按EscEsc退出退出. .