復變函數與積分變換：4-5 孤立奇點

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1、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 1第五節(jié)第五節(jié) 孤立奇點孤立奇點一、孤立奇點的概念二、函數在無窮遠點的性態(tài)三、小結與思考機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 2一、孤立奇點的概念一、孤立奇點的概念定義定義 如果函數如果函數0z)(zf在在 不解析不解析, 但但)(zf在在0z的某一去心鄰域的某一去心鄰域 00zz內處處解析內處處解析, 則稱則稱0z)(zf為為的的孤立奇點孤立奇點.例例0 z是函數是函數zzezsin,1的孤立奇點的孤立奇點.注意注意: 孤立奇點一定是奇點孤立奇點一定是奇點, 但奇點不一定是孤但奇點不一定是孤立奇點立奇點.機動機

2、動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 3例例1 1 指出函數指出函數0 z在點在點zzzf1sin)(2 的奇點特性的奇點特性. .解解 kzz1,0),2,1( k，因為因為01lim kk即在即在0 z的不論怎樣小的去心鄰域內的不論怎樣小的去心鄰域內, 的奇點存在的奇點存在, 函數的奇點為函數的奇點為)(zf總有總有0 z不是孤立奇點不是孤立奇點.所以所以機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 4孤立奇點的分類孤立奇點的分類依據依據)(zf在其孤立奇點在其孤立奇點0z的去心鄰域的去心鄰域 00zz內的洛朗級數的情況分為三類內的洛朗級數的情況分為三類:1可

3、去奇點可去奇點1可去奇點可去奇點; 2極點極點; 3本性奇點本性奇點.如果洛朗級數中如果洛朗級數中不含不含 的負冪項的負冪項, 0zz 0z)(zf那末孤立奇點那末孤立奇點 稱為稱為 的的可去奇點可去奇點.1) 定義定義機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 5 2) 2) 可去奇點的判定可去奇點的判定(1) (1) 由定義判斷由定義判斷: :的洛朗級數無負的洛朗級數無負0z)(zf在在如果如果冪項則冪項則0z為為)(zf的可去奇點的可去奇點. .(2)(2) 判斷極限判斷極限:)(lim0zfzz若極限存在且為有限值若極限存在且為有限值, ,則則0z為為)(zf的可去奇點

4、的可去奇點. .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 6定理定理設函數設函數 f (z) 在在 0 |z z0| (0 + )內解析，內解析，則則 z0為為 f (z) 的可去奇點的充分必要條件是的可去奇點的充分必要條件是)(lim0zfzz存在且有限存在且有限.(4.16)證證 必要性必要性設設 z0為為f (z)的可去奇點，的可去奇點，從而在從而在0 |z z0| 內有內有 nnzzczzcczf)()()(0010因為上式右端冪級數的和函數因為上式右端冪級數的和函數g(z)在在|z z0| 內解析，內解析，特別在特別在 z = z0 處連續(xù)，處連續(xù)， 當當 z z0

5、 時，時，記記f (z) = g (z), 則則.)(lim)(lim000czgzfzzzz 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 7充分性充分性 設在設在0 |z z0| 內內 f (z) 的洛朗展式為的洛朗展式為.)()(0nnnzzczf 存在，存在，由于由于)(lim0zfzz則存在正數則存在正數 M 和和 ( ) 使得使得0 |z z0| 時，時，|f (z)| M.所以所以 Cnnzfic d)()(21|010 Cnzf|d| )(|2110 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 8), 2 , 1( /2211 nMn 令令 0得得

6、c-n= 0, (n =1,2, ),z0 是是f (z) 的可去奇點的可去奇點.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 9例例2 0 z為為zez1 的哪種孤立奇點的哪種孤立奇點.解解 zez1,!1! 2111 nznz z0所以所以0 z為為的可去奇點的可去奇點.zez1 無負冪項無負冪項另解另解 zzzzeze00lim1lim 因為因為0 z所以所以的可去奇點的可去奇點.為為zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 102. 極點極點 1012020)()()()( zzczzczzczfm

7、m)0, 1( mcm )(010zzcc且且級極點級極點.0z)(zfm那末孤立奇點那末孤立奇點稱為函數稱為函數的的1) 定義定義 0zz 如果洛朗級數中如果洛朗級數中只有有限多個只有有限多個的的負冪項負冪項, 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 112)極點的判定方法極點的判定方法)(zf的負冪項為有的負冪項為有0zz 的洛朗展開式中含有的洛朗展開式中含有限項限項.在點在點 的某去心鄰域內的某去心鄰域內0zmzzzzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內解析的鄰域內解析, 且且 )(z 0z. 0)(0 z (1) 由定義判別由定義判別(2) 由定義的等價形式判

8、別由定義的等價形式判別(3) 利用極限利用極限 )(lim0zfzz判斷判斷 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 12定理定理4.17 設函數設函數 f (z) 在在 0 |z z0| 內解析內解析, 則則z0為為 f (z) 的的 m 級極點的充分必要條件是級極點的充分必要條件是 f (z) 在在 0 |z z0| 內可表示為內可表示為mzzzzf)()()(0 的形式，其中的形式，其中 (z) 在在z0解析，且解析，且 (z0) 0.證證必要性必要性 設設f (z) 在在0 |z z0| 內解析內解析, z0為為f (z) 的的m級極點，級極點，那么在那么在0|z

9、 z0| 內，內，f (z)有洛朗展式有洛朗展式 nnmmmmzzczzcczzczzczzczf)()()( )()()(00101011010機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 13這里這里c-m 0.于是于是),()(1)(0zzzzfm 其中其中 (z) 是在是在 z0附近附近 的冪級數，收斂半徑仍為的冪級數，收斂半徑仍為 .故在故在 z0 解析，且解析，且 (z0) 0.充分性充分性設設),()(1)(0zzzzfm 把把 (z) 在在z= z0 的鄰域內展開成冪級數，則的鄰域內展開成冪級數，則機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 14)

10、0( )()()(0010100 bzzbbzzbzzbzfmmmm于是于是 z0為為f (z) 的的 m 級極點級極點.定理定理4.18 z = z0為函數為函數f (z)的的 m 級極點的充分必要級極點的充分必要條件是條件是 )(1)(zfzg 在在 z0 解析且以解析且以z0為為m 級零點級零點.定理定理4.19 設設 z0 為函數為函數f (z)的孤立奇點，的孤立奇點，則則 z0為為 f (z)的極點的充分必要條件是的極點的充分必要條件是.)(lim0 zfzz機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 15課堂練習課堂練習求求1123 zzz的奇點的奇點, ,如果是極

11、點如果是極點, ,指出它的指出它的級數級數.答案答案 1123zzz由于由于,1:是是函函數數的的一一級級極極點點所所以以 z.1是是函函數數的的二二級級極極點點 z,)1)(1(12 zz機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 16本性奇點本性奇點3.如果洛朗級數中如果洛朗級數中含有無窮多個含有無窮多個0zz 那末孤立奇點那末孤立奇點0z稱為稱為)(zf的本性奇點的本性奇點.的負冪項的負冪項,例如，例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有無窮多個含有無窮多個z的負冪項的負冪項 特點特點: 在本性奇點的鄰域內在本性奇點的鄰域內)(lim0zfzz不存在且不

12、不存在且不為為. 為為本本性性奇奇點點，所所以以0 z機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 17例例3z = 0 是是zzzzz1sin,sin,sin2的孤立奇點的孤立奇點.這三個函數在這三個函數在 z = 0的去心鄰域的洛朗展式分別為的去心鄰域的洛朗展式分別為 )!12()1(! 5! 31sin242nzzzzznn )!12()1(! 31sin3212nzzzzznn 12131)!12(1)1(1! 3111sinnnznzzz.|0 z所以所以 z = 0 分別為分別為zzzzz1sin,/sin,/sin2的可去奇點，的可去奇點，一級極點和本性奇點一級極點

13、和本性奇點.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 18例例4 函數函數zsin1有些什么奇點有些什么奇點, 如果是極點如果是極點, 指出指出它的級它的級.解解 函數的奇點是使函數的奇點是使0sin z的點的點,這些奇點是這些奇點是. )2,1,0( kkz是孤立奇點是孤立奇點. kzkzzzcos)(sin因因為為的一級零點，的一級零點，是是所以所以zkzsin , 0)1( kzsin1的一級極點的一級極點.即即機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 19),(1! 3! 211zzzz 解解 0221!11nnznzzze解析且解析且0)0( 所以

14、所以0 z不是二級極點不是二級極點, 而是一級極點而是一級極點.例例5 問問0 z是是21zez 的二級極點嗎的二級極點嗎?注意注意: 不能以函數的表面形式作出結論不能以函數的表面形式作出結論 .?sin03的的幾幾級級極極點點是是思思考考zzz 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 20綜上所述綜上所述:孤立奇點孤立奇點可去奇點可去奇點m級極點級極點本性奇點本性奇點洛朗級數特點洛朗級數特點)(lim0zfzz 存在且為存在且為有限值有限值不存在不存在且不為且不為 無負冪項無負冪項含無窮多個負冪項含無窮多個負冪項含有限個負冪項含有限個負冪項10)( zzmzz )(0關于

15、關于的最高冪的最高冪為為機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 21二、函數在無窮遠點的性態(tài)二、函數在無窮遠點的性態(tài)1. 定義定義如果函數如果函數)(zf在無窮遠點在無窮遠點 z的去心的去心鄰域鄰域 zR內解析內解析, 則稱點則稱點 為為)(zf的孤的孤立奇點立奇點.Rxyo機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 22令變換令變換:1zt 規(guī)定此變換將規(guī)定此變換將: tfzf1)(則則映射為映射為 z, 0 t擴充擴充 z 平面平面擴充擴充 t 平面平面映射為映射為)( nnzz)0(1 nnntzt映射為映射為 zRRt10 映射為映射為),(t 機動

16、機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 23結論結論: 在去心鄰域在去心鄰域 zR內對函數內對函數)(zf的研究的研究在去心鄰域在去心鄰域Rt10 內對函數內對函數)(t 的研究的研究Rt10 因為因為 )(t 在去心鄰域在去心鄰域內是解析的內是解析的,所以所以0 t是是)(t 的孤立奇點的孤立奇點.規(guī)定規(guī)定: m級極點或本性奇點級極點或本性奇點 .)(t 的可去奇點、的可去奇點、m級極點或級極點或本性奇點本性奇點,如果如果 t=0 是是 z是是)(zf的的可去奇點、可去奇點、 那末就稱點那末就稱點機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 24Rt10 因為因

17、為 )(t 在去心鄰域在去心鄰域內是解析的內是解析的, t = 0 是是它的一個孤立奇點，它的一個孤立奇點，內內有有洛洛朗朗展展式式在在Rt10 ,)( nnntct 因而因而,1)( nnnzczf所以所以機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 251)不含正冪項不含正冪項;2)含有有限多的正冪項且含有有限多的正冪項且mz為最高正冪為最高正冪;3)含有無窮多的正冪項含有無窮多的正冪項;那末那末 z是是)(zf的的 1)可去奇點可去奇點 ;2) m 級極點級極點;3)本性奇點本性奇點 .判別法判別法1 (利用洛朗級數的特點利用洛朗級數的特點)2.判別方法判別方法:)(zf

18、zR在在內的洛朗級數中內的洛朗級數中:如果如果機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 26判別法判別法2 : (利用極限特點利用極限特點)如果極限如果極限)(limzfz1)存在且為有限值存在且為有限值 ; 2)無窮大無窮大; 3)不存在且不為無窮大不存在且不為無窮大 ;那末那末 z是是)(zf的的1)可去奇點可去奇點 ;2)極點極點 ;3)本性奇點本性奇點 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 27例例61)( zzzf在圓環(huán)域在圓環(huán)域 z1內的洛朗展開式為內的洛朗展開式為: nnzzzzzf1)1(111111)(2不含正冪項不含正冪項所以所以

19、z是是)(zf的可去奇點的可去奇點 .(2)函數函數zzzf1)( 含有正冪項且含有正冪項且 z 為最高正冪項為最高正冪項, 所以所以 z是是)(zf的的 1級極點級極點.1)( zzzfz= 是下列是下列函數的那種類型奇點？函數的那種類型奇點？(1)zzzf1)( (2)(1)(3)zzfsin)( 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 28(3)函數函數zsin的展開式的展開式: )!12(! 5! 3sin1253nzzzzzn含有無窮多的正冪項含有無窮多的正冪項所以所以 z是是)(zf的本性奇點的本性奇點.課堂練習課堂練習.0,是本性奇點是本性奇點是一級極點是一級

20、極點 zzzezzf1)( 的奇點及其的奇點及其類型類型.說出函數說出函數答案答案機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 29例例7 函數函數332)(sin)2)(1()(zzzzf 在擴充復平面內在擴充復平面內有些什么類型的奇點有些什么類型的奇點? 如果是極點如果是極點, 指出它的級指出它的級.解解 函數函數)(zf除點除點2,1,0 z外外, ., 2,1,0cos)(sin處均不為零處均不為零在在因因 zzz所以這些點都是所以這些點都是z sin的一級零點的一級零點,故這些點中除故這些點中除1, 1, 2外外, 都是都是)(zf的三級極點的三級極點. z內解析內解析

21、 .在在機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 30),1)(1(12 zzz因因所以所以.2)(11級級極極點點的的是是與與zf )(lim2zfz那末那末2 z是是)(zf的可去奇點的可去奇點.為為一一級級零零點點，與與以以11 因為因為時，時，當當2 z3322)(sin)2)(1(limzzzz ,33 時時，當當 z z不是不是)(zf的孤立奇點的孤立奇點.所以所以, k因為因為機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 31例例8 判斷判斷 z = 是下列函數的什么類型奇點，是下列函數的什么類型奇點，對于極點，指出它們的級對于極點，指出它們的級.

22、;)()1(1zezf .cos1)()2(4zzzf 解解(1) 由于由于zezf1)( 在在 的鄰域的鄰域 |0z內的洛朗級數為內的洛朗級數為 nzznzzezf!1! 2111)(21所以所以 z = 為為 f (z) 的可去奇點的可去奇點.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 32(2) 由于由于cos z 在在 的鄰域的洛朗級數就是它在的鄰域的洛朗級數就是它在z = 0處的泰勒級數處的泰勒級數 02)!2()1(cosnnnnzz從而從而4cos1)(zzzf )!2()1(! 6! 41! 21)2(2122nzzznn)|0( z所以所以 z = 為為 f

23、(z) 的本性奇點的本性奇點.機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 33三、小結與思考三、小結與思考 理解孤立奇點的概念及其分類理解孤立奇點的概念及其分類; 掌握可去奇掌握可去奇點、極點與本性奇點的特征點、極點與本性奇點的特征; 熟悉零點與極點的熟悉零點與極點的關系關系.作業(yè)：作業(yè)：17(1)(2)(3)(4)(5), 18機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 34.)1(1)(33的的有有限限孤孤立立奇奇點點的的類類型型確確定定函函數數 zezzf思考題思考題機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 35,60級零點級零點是分母的是分母的 z思考題答案思考題答案.6)(級極點級極點的的也即是函數也即是函數zf放映結束，按放映結束，按EscEsc退出退出. .