初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第9講 坐標(biāo)平面上的直線

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1、第九講 坐標(biāo)平面上的直線 一般地，若 (、是常數(shù)，)，則叫做的一次函數(shù)，它的圖象是一條直線，函數(shù)解析式 式中的系數(shù)符號，決定圖象的大致位置及單調(diào)性(隨的變化情況)。如圖所示： 一次函數(shù)、二元一次方程、直線有著深刻的聯(lián)系，任意一個一次函數(shù)都可看作是關(guān)于、的一個二元一次方程；任意一個關(guān)于、的二元一次方程，可化為形如 ()的函數(shù)形式。坐標(biāo)平面上的直線可以表示一次函數(shù)與二元一次方程，而利用方程和函數(shù)的思想可以研究直線位置關(guān)系，求坐標(biāo)平面上的直線交點坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為解由函數(shù)解析式聯(lián)立的方程組。 【例題求解】 【例1】 如圖，在直角坐標(biāo)系中，直角梯形OABC的頂點A(

2、3，0)、B(2，7)，P為線段OC上一點，若過B、P兩點的直線為，過A、P兩點的直線為，且BP⊥AP，則= 。 思路點撥 解題的關(guān)鍵是求出P點坐標(biāo)，只需運用幾何知識建立OP的等式即可。 【例2】 設(shè)直線 (為自然數(shù))與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為 (＝1，2，…2000)，則S1+S2+…+S2000的值為( ) A．1 B． C． D． 思路點撥 求出直線與軸、軸交點坐標(biāo)，從一般形式入手，把用含的代數(shù)式表示。 【例3】 某空軍加

3、油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運輸飛機(jī)進(jìn)行空中加油．在加油過程中，設(shè)運輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油油箱余油量為Q2噸，加油時間為分鐘，Q1、Q2與之間的函數(shù)圖象如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題： (1)加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運輸飛機(jī)需多少分鐘? (2)求加油過程中，運輸飛機(jī)的余油量Q1 (噸)與時間 (分鐘)的函數(shù)關(guān)系式； (3)運輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時到達(dá)目的地，油料是否夠用?說明理由． 思路點撥 對于(3)，解題的關(guān)鍵是

4、先求出運輸飛機(jī)每小時耗油量。 注：（1）當(dāng)自變量受限制時，一次函數(shù)圖象可能是射線、線段、折線或點，一次函數(shù)當(dāng)自變量取值受限制時，存在最大值與最小值，根據(jù)圖象求最值直觀明了。 （2）當(dāng)一次函數(shù)圖象與兩坐標(biāo)軸有交點時，就與直角三角形聯(lián)系在一起，求兩交點坐標(biāo)并能發(fā)掘隱含條件是解相關(guān)綜合題的基礎(chǔ)。 【例4】 如圖，直線與軸、y軸分別交于點A、B，以線段AB為直角邊在第一象限內(nèi)作等腰直角△ABC，∠BAC＝90°，如果在第二象限內(nèi)有一點P(，)，且△ABP的面積與△A ABC的面積相等，求的值． 思路點撥 利用S△ABP＝S△ABC建立含的方程，解題的關(guān)鍵是把S△ABP表示成

5、有邊落在坐標(biāo)軸上的三角形面積和、差。 注：解函數(shù)圖象與面積結(jié)合的問題，關(guān)鍵是把相關(guān)三角形用邊落在坐標(biāo)軸的其他三角形面 積來表示，這樣面積與坐標(biāo)就建立了聯(lián)系． 【例5】 在直角坐標(biāo)系中，有以A(一1，一1)，B(1，一1)，C(1，1)，D(一1，1)為頂點的正方形，設(shè)它在折線上側(cè)部分的面積為S，試求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并畫出它們的圖象。 思路點撥 先畫出符合題意的圖形，然后對不確定折線及其中的字母的取值范圍進(jìn)行分類討論，的取值決定了正方形在折線上側(cè)部分的圖形的形狀。 注：我們把有自變量或關(guān)于自變量的代數(shù)式包含在絕對值符號在內(nèi)的一

6、類函數(shù)稱為絕對值函數(shù)．去掉絕對值符號，把絕對值函數(shù)化為分段函數(shù)，這是解絕對值的一般思路。 學(xué)歷訓(xùn)練 1．一次函數(shù)的自變量的取值范圍是-3≤≤6，相應(yīng)函數(shù)值的取值范圍是-5≤≤-2，則這個函數(shù)的解析式為 ． 2．已知，且，則關(guān)于自變量的一次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過第 象限． 3．一家小型放影廳的盈利額(元)與售票數(shù)之間的關(guān)系如圖所示，其中超過150人時，要繳納公安消防保險費50元．試根據(jù)關(guān)系圖回答下列問題： (1)當(dāng)售票數(shù)滿足0<≤150時，盈利額 (元)與之間的函數(shù)關(guān)系式是 。

7、 (2)當(dāng)售票數(shù)滿足150

8、 5．下列圖象中，不可能是關(guān)于的一次函數(shù)的圖象是( ) 6．小李以每千克0.8元的價格從批發(fā)市場購進(jìn)若干千克西瓜到市場去銷售，在銷售了部分西瓜之后，余下的每千克降價0.4元，全部售完．銷售金額與賣瓜的千克數(shù)之間關(guān)系如圖所示，那么小李賺了( ) A．32元 B．36元 C． 38元 D．44元 7．某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，在試驗藥效時發(fā)現(xiàn)，如果成人按規(guī)定劑量服用，那么服藥后2小時時血液中含藥量最高，達(dá)每毫升6微克(1微克＝10-3毫克)，接

9、著逐步衰減，10小時時血液中含藥量為每毫升3微克，每毫升血液中含藥量 (微克)隨時間(小時)的變化如圖所示，當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用后。 (1)分別求出≤2和≥2時與之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)如果每毫升血液中含藥量為4微克或4微克以上時在治療疾病時是有效的，那么這個有效時間是多長? 8．如圖，正方形ABCD的邊長是4，將此正方形置于平面直角坐標(biāo)系O中，使AB在軸的正半軸上，A點的坐標(biāo)是(1，0) (1)經(jīng)過C點的直線與軸交于點E，求四邊形AECD的面積； (2)若直線經(jīng)過點E且將正方形ABCD分成面積相等的兩部分，求直線的方程，并在坐標(biāo)系中畫出直線．

10、 9．如圖，已知點A與B的坐標(biāo)分別為(4，0)，(0，2) (1)求直線AB的解析式。 (2)過點C(2，0)的直線(與軸不重合)與△AOB的另一邊相交于點P，若截得的三角形與△AOB相似，求點P的坐標(biāo)． 10．如圖，直線與軸、y軸分別交于P、Q兩點，把△POQ沿PQ翻折，點O落在R處，則點R的坐標(biāo)是 ． 11．在直角坐標(biāo)系O中，軸上的動點M（，0）到定點P(5，5)、Q(2，1)的距離分別為MP和MQ，那么，

11、當(dāng)MP+MQ取最小值時，點M的橫坐標(biāo)為 。 12．如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點B的坐標(biāo)為(15，6)，直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么b＝ 。 13．如果—條直線經(jīng)過不同的三點A(a，b)，B(b，a)，C(a-b，b-a)，那么，直線經(jīng)過( )象限。 A．二、四 B．—、三 C．二、三、四 D．一、三、四 14．一個一次函數(shù)的圖象與直線平

12、行，與軸、軸的交點分別為A、B，并且過點(一l，—25)，則在線段AB(包括端點A、B)上，橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的的點有（ ） A．4個 B．5個 C． 6個 D．7個 15．點A(一4，0)，B(2，0)是坐標(biāo)平面上兩定點，C是的圖象上的動點，則滿足上述條件的直角△ABC可以畫出( ) A． 1個 B． 2個 C．3個 D．4個 16．有—個附有進(jìn)、出水管的容器，每單位時間進(jìn)、出的水量都是一定

13、的，設(shè)從某時刻開始5分鐘內(nèi)只進(jìn)不出水，在隨后的15分鐘內(nèi)既進(jìn)水又出水，得到時間 (分)與水量(升)之間的關(guān)系如下圖．若20分鐘后只出水不進(jìn)水，求這時(即≥20)y與之間的函數(shù)關(guān)系式。 17．如圖，△AOB為正三角形，點B坐標(biāo)為(2，0)，過點C(一2，0)作直線交AO于D，交AB于E，且使△ADE和△DCO的面積相等，求直線的函數(shù)解析式。 18．在直角坐標(biāo)系中，有四個點A(一8，3)，B(一4，5)，C(0，)，D(，0)，當(dāng)四邊形ABCD的周長最短時，求

14、的值． 19．轉(zhuǎn)爐煉鋼產(chǎn)生的棕紅色煙塵會污染大氣，某裝置可通過回收棕紅色煙塵中的氧化鐵從而降低污染，該裝置的氧化鐵回收率與其通過的電流有關(guān)．現(xiàn)經(jīng)過試驗得到下列數(shù)據(jù)： 通過電流強(qiáng)度（單位A） 1 1.7 1.9 2.1 2.4 氧化鐵回收率（%） 75 79 88 87 78 如圖建立直角坐標(biāo)系，用橫坐標(biāo)表示通過的電流強(qiáng)度，縱坐標(biāo)表示氧化鐵回收率。 （1） 將試驗所得數(shù)據(jù)在右圖所給的直角坐標(biāo)系中用點表示（注：該圖中坐標(biāo)軸的交點代表點（1，70）； （2） 用線段將題（1）所畫的點從左到右順次連接，若用此圖象來模擬氧化鐵回收率

15、y關(guān)于通過電流x的函數(shù)關(guān)系，試寫出該函數(shù)在 1.7≤x≤2.4 時的表達(dá)式； （3） 利用題（2）所得函數(shù)關(guān)系，求氧化鐵回收率大于85%時，該裝置通過的電流應(yīng)該控制的范圍（精確到0.1A）。 20．如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為和，動點P(x，0)在OB上移動(0<<3)，過點P作直線與軸垂直。 (1)求點C的坐標(biāo)； (2)設(shè)△OBC中位于直線左側(cè)部分的面積為S，寫出S與之間的函數(shù)關(guān)系式； (3)在直角坐標(biāo)系中畫出(2)中的函數(shù)的圖象； (4)當(dāng)為何值時，直線平分△OBC的面積? 參考答案 7