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1、1令令mk20222xtxdd簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程022xmktxdd整理得整理得kxFkxtxm22dd由牛頓第二定律：由牛頓第二定律：方程的解方程的解 )cos(tAxmk簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的角頻率2)(cos2121222ptkAkxE)(sin2121222ktkAmEv總機(jī)械能總機(jī)械能2pk21kAEEE二、二、 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量Ek 最大時(shí)，最大時(shí)， Ep最小最小E Ek k 、E Ep p交替變化，交替變化，振幅的意義：振幅的意義：1、簡(jiǎn)諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍、簡(jiǎn)諧振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍2、反映了、反映了振動(dòng)系統(tǒng)總能量的大小振動(dòng)系統(tǒng)總能量的大小3利
2、用旋轉(zhuǎn)矢量法（相量圖法）求合振動(dòng)利用旋轉(zhuǎn)矢量法（相量圖法）求合振動(dòng))cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg)cos(tAx兩個(gè)兩個(gè)同同方向方向同同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成合成后仍為后仍為簡(jiǎn)諧簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)，角頻率不變角頻率不變xo2A A1A A12A A2A A一、一、 同一直線(xiàn)同一直線(xiàn)同頻率同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成4一般情況一般情況2121AAAAA相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加強(qiáng)相互加強(qiáng)21AAA相位差相位差相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k51max2AA0minAtAA22
3、cos21212)(21振幅振幅 振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率合振動(dòng)頻率合振動(dòng)頻率振幅部分振幅部分ttAx22cos)22cos2(12121 振幅是隨時(shí)間變化的，由于振幅這種改變也是周振幅是隨時(shí)間變化的，由于振幅這種改變也是周期性的，因此就出現(xiàn)振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象。期性的，因此就出現(xiàn)振動(dòng)忽強(qiáng)忽弱的現(xiàn)象。6 頻率頻率較大較大而頻率之而頻率之差很小差很小的兩個(gè)的兩個(gè)同方向同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫其合振動(dòng)的振幅時(shí)而加強(qiáng)時(shí)而減弱的現(xiàn)象叫拍拍 tAA22cos2121由由1cos2cos12T122T當(dāng)當(dāng) t = 0 時(shí)，合振幅極大，等于時(shí)，合振幅極大，等于2A。
4、經(jīng)。經(jīng)T時(shí)間后又時(shí)間后又出現(xiàn)合振幅的極大值，則出現(xiàn)合振幅的極大值，則于是得拍的周期于是得拍的周期T（兩個(gè)相鄰振幅極大之間的時(shí)間）為（兩個(gè)相鄰振幅極大之間的時(shí)間）為單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻拍頻712拍頻拍頻-振幅變化的頻率振幅變化的頻率拍頻為兩分振動(dòng)頻率之差拍頻為兩分振動(dòng)頻率之差常用于測(cè)量頻率。如果已知一個(gè)高頻振動(dòng)的頻率，使它和另一常用于測(cè)量頻率。如果已知一個(gè)高頻振動(dòng)的頻率，使它和另一頻率相近似但未知的振動(dòng)疊加，測(cè)量合成振動(dòng)的頻拍，就可以頻率相近似但未知的振動(dòng)疊加，測(cè)量合成振動(dòng)的頻拍，就可以求出后者的頻率。求出后者的頻率。1212122221T拍, A
5、的變化緩慢的變化緩慢 218)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx消去消去t t可得合振動(dòng)軌跡可得合振動(dòng)軌跡（橢圓方程）（橢圓方程）1 1） 或或2012xAAy12)cos(11tAx)cos(22tAyyx1A2Ao 討論討論9yx1A2Ao2 2）12xAAy123 3）2121222212AyAxtAxcos1)2cos(2tAy)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxxy1A2Ao10用用旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矢矢量量描描繪繪振振動(dòng)動(dòng)合合成成圖圖114）當(dāng)（）當(dāng)（ ）等于其它值時(shí)，合振動(dòng)的軌跡一般是）等于其它值時(shí)，合振動(dòng)的軌跡一般是橢圓，其具體形狀
6、（長(zhǎng)短軸的方向與大?。┖瓦\(yùn)動(dòng)的方橢圓，其具體形狀（長(zhǎng)短軸的方向與大小）和運(yùn)動(dòng)的方向由分振動(dòng)的振幅的大小和相差決定。向由分振動(dòng)的振幅的大小和相差決定。1212簡(jiǎn)簡(jiǎn)諧諧振振動(dòng)動(dòng)的的合合成成圖圖兩兩相相互互垂垂直直同同頻頻率率不不同同相相位位差差13)cos(111tAx)cos(222tAynm212,83,4,8,0201測(cè)量振動(dòng)頻率測(cè)量振動(dòng)頻率和相位的方法和相位的方法李李 薩薩 如如 圖圖14 系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中受到粘性阻力作用后振幅不斷減小，這系統(tǒng)在振動(dòng)過(guò)程中受到粘性阻力作用后振幅不斷減小，這種振動(dòng)稱(chēng)為阻尼振動(dòng)種振動(dòng)稱(chēng)為阻尼振動(dòng), ,也稱(chēng)為減幅振動(dòng)。也稱(chēng)為減幅振動(dòng)。當(dāng)物體低速運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)物體低速
7、運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比 比例系數(shù)比例系數(shù) ，叫阻力系數(shù)。叫阻力系數(shù)。 彈簧、單擺振動(dòng)過(guò)程，受到的阻力與速度正比反向。彈簧、單擺振動(dòng)過(guò)程，受到的阻力與速度正比反向。vfr關(guān)系式為關(guān)系式為: :比例系數(shù)比例系數(shù) （阻力系數(shù)）為正，它的大小由物體的形狀、大小、阻力系數(shù)）為正，它的大小由物體的形狀、大小、表面狀況以及介質(zhì)的性質(zhì)決定。表面狀況以及介質(zhì)的性質(zhì)決定。15以彈簧振子為例以彈簧振子為例xkmxo彈性F阻力f阻彈fFF22txmtxkxdddd由牛頓第二定律有由牛頓第二定律有022txmxmktxdddd整理得整理得mk20系統(tǒng)固有頻率系統(tǒng)固有頻率式中式中
8、022022xtxtxdddd阻尼振動(dòng)方程為阻尼振動(dòng)方程為m2令令稱(chēng)阻尼因子（或用稱(chēng)阻尼因子（或用 表示）表示）16角頻率角頻率振幅振幅)cos(0teAxt在阻尼作用較小時(shí)在阻尼作用較小時(shí), ,方程的解為方程的解為: :22022T220其中其中:txotAe阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線(xiàn)阻尼振動(dòng)位移時(shí)間曲線(xiàn)(1)這種阻尼作用較小的情況稱(chēng)這種阻尼作用較小的情況稱(chēng)為欠阻尼。為欠阻尼。 170如單擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置須很長(zhǎng)時(shí)間。如單擺放在粘滯的油筒中擺到平衡位置須很長(zhǎng)時(shí)間。otx0臨界阻尼時(shí)，系統(tǒng)一次性地回到臨界阻尼時(shí)，系統(tǒng)一次性地回到平衡狀態(tài)，但所用的時(shí)間比過(guò)阻平衡狀態(tài)，但所用的時(shí)間比過(guò)阻尼狀
9、態(tài)要短。達(dá)到平衡位置的時(shí)尼狀態(tài)要短。達(dá)到平衡位置的時(shí)間最短，但仍不能超過(guò)平衡位置。間最短，但仍不能超過(guò)平衡位置。衰減函數(shù)衰減函數(shù)otxm218otx三種阻尼的比較三種阻尼的比較220 b b）過(guò)阻尼過(guò)阻尼220 a a）欠阻尼欠阻尼220 c c）臨界阻尼臨界阻尼abcm219在阻尼振動(dòng)中，要維持振動(dòng)，外界需加一在阻尼振動(dòng)中，要維持振動(dòng)，外界需加一個(gè)周期的個(gè)周期的驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)力，在驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)叫，在驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)叫受迫振動(dòng)受迫振動(dòng)。tHFcos驅(qū)設(shè)驅(qū)動(dòng)力按余弦規(guī)律變化設(shè)驅(qū)動(dòng)力按余弦規(guī)律變化，即，即由牛頓第二定律有：由牛頓第二定律有：amF策阻彈FFFtHvkxtxmcosdd22tmH
10、xmktxmtxcosdddd2220thxtxtxcosdd2dd2022mHh,20mk固有頻率；固有頻率；令令,2m阻尼因子；阻尼因子；則有則有:tmHxmktxmtxcosdddd22tHFcos驅(qū)21通解通解)cos()cos(0tAteAxt第一項(xiàng)為阻尼振動(dòng)項(xiàng)，當(dāng)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)衰減為第一項(xiàng)為阻尼振動(dòng)項(xiàng)，當(dāng)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)衰減為0。第二項(xiàng)為驅(qū)動(dòng)力產(chǎn)生的周期振動(dòng)。第二項(xiàng)為驅(qū)動(dòng)力產(chǎn)生的周期振動(dòng)?？梢钥闯墒莾蓚€(gè)振動(dòng)合成的?？梢钥闯墒莾蓚€(gè)振動(dòng)合成的。第一項(xiàng)表示一個(gè)減幅振動(dòng)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，就減弱第一項(xiàng)表示一個(gè)減幅振動(dòng)。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，就減弱到可以忽略不計(jì)了。到可以忽略不計(jì)了。后一項(xiàng)表示振幅不變的振動(dòng)，
11、這就是達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)后一項(xiàng)表示振幅不變的振動(dòng)，這就是達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)的等幅振動(dòng)。的等幅振動(dòng)。因此，受迫振動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)就由下式表示因此，受迫振動(dòng)的穩(wěn)定狀態(tài)就由下式表示)cos(tAx22用旋矢法可求出上式的用旋矢法可求出上式的A和和 )cos(tAx2202arctg式中的頻率為驅(qū)動(dòng)力的頻率式中的頻率為驅(qū)動(dòng)力的頻率212222204hA這些都與初始條件這些都與初始條件無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)。受迫振動(dòng)的振幅與驅(qū)動(dòng)力的頻率有關(guān)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻受迫振動(dòng)的振幅與驅(qū)動(dòng)力的頻率有關(guān)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率為某一值時(shí)，振幅達(dá)到極大值。率為某一值時(shí)，振幅達(dá)到極大值。23振幅振幅A是是的函數(shù)的函數(shù)0大阻尼0阻尼小阻尼pA1 1）受迫振動(dòng)是由阻
12、尼振動(dòng)及由驅(qū)動(dòng)力產(chǎn)生的振動(dòng)的合成）受迫振動(dòng)是由阻尼振動(dòng)及由驅(qū)動(dòng)力產(chǎn)生的振動(dòng)的合成2 2）振動(dòng)開(kāi)始較復(fù)雜，爾后呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)，其穩(wěn)定解為）振動(dòng)開(kāi)始較復(fù)雜，爾后呈現(xiàn)穩(wěn)定狀態(tài)，其穩(wěn)定解為)cos(tAx驅(qū)動(dòng)力提供的能量與驅(qū)動(dòng)力提供的能量與克服阻力消耗的能量克服阻力消耗的能量相等相等結(jié)論：結(jié)論：242222204)(hA對(duì)于一定的振動(dòng)系統(tǒng)，由于對(duì)于一定的振動(dòng)系統(tǒng)，由于A是是的函數(shù)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率為某的函數(shù)，當(dāng)驅(qū)動(dòng)力頻率為某一值時(shí)，振幅會(huì)達(dá)到最大值。把這種振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象一值時(shí)，振幅會(huì)達(dá)到最大值。把這種振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象叫共振。叫共振。0ddA因?yàn)橐驗(yàn)?dd22A有極大值。有極大值。可用求極值的方法得
13、到使振幅可用求極值的方法得到使振幅A達(dá)到最大達(dá)到最大時(shí)的時(shí)的25當(dāng)當(dāng)2202時(shí)時(shí) A 最大。最大。2202hAr2202tanr當(dāng)阻尼很小，策動(dòng)力頻率等于固有頻率時(shí)振幅最大當(dāng)阻尼很小，策動(dòng)力頻率等于固有頻率時(shí)振幅最大-共振共振。 共振現(xiàn)象在實(shí)際中的應(yīng)用共振現(xiàn)象在實(shí)際中的應(yīng)用樂(lè)器、收音機(jī)樂(lè)器、收音機(jī)無(wú)線(xiàn)電中利用諧振電路選擇信號(hào)無(wú)線(xiàn)電中利用諧振電路選擇信號(hào)CM次聲武器次聲武器呀！受不呀！受不了啦！了啦！317HZ西游記，琵琶精西游記，琵琶精28華盛頓的華盛頓的Tocama懸索橋，懸索橋，1940 年年7月月1日日 因共振而坍塌因共振而坍塌塔卡瑪橋塔卡瑪橋由于設(shè)計(jì)時(shí)未考慮時(shí)速由于設(shè)計(jì)時(shí)未考慮時(shí)速40英里的持續(xù)性強(qiáng)風(fēng)，風(fēng)的壓力引發(fā)大英里的持續(xù)性強(qiáng)風(fēng)，風(fēng)的壓力引發(fā)大規(guī)模振蕩，還有大得離譜的扭曲擺動(dòng)，啟用后規(guī)模振蕩，還有大得離譜的扭曲擺動(dòng)，啟用后4個(gè)月這座橋就個(gè)月這座橋就坍塌了。塔卡瑪橋是未考慮風(fēng)力的典型不良設(shè)計(jì)，風(fēng)力攻擊平坍塌了。塔卡瑪橋是未考慮風(fēng)力的典型不良設(shè)計(jì)，風(fēng)力攻擊平鈍的橋側(cè)表面，就象水流經(jīng)過(guò)橋墩造成漩渦一樣，引起振蕩，鈍的橋側(cè)表面，就象水流經(jīng)過(guò)橋墩造成漩渦一樣，引起振蕩，導(dǎo)致橋身共振，最終坍塌。導(dǎo)致橋身共振，最終坍塌。 29
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