《高等教育自學(xué)考試》《線(xiàn)性代數(shù)》09.01

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1、全國(guó)2009年1月高等教育自學(xué)考試線(xiàn)性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）試 題答案 課程代碼：04184 、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題， 每小題2分，共20 分） x + y + z = 0 1 .線(xiàn)性方程組」2x_5y_3z=10的解為（ A ） 4x +8y +2z=4 A . x=2,y=0, z = _2 B . x = _2, y = 2,z=0 x =1, y =0, z = —1 C. x=0,y=2,z = -2 2.設(shè)矩陣A = ，則矩陣A的伴隨矩陣A二（D ） 『3 -2] .—4 1 丿 C. '3 4 ] I2 J '3 -4 ' I r

2、2 1丿 3.設(shè)A為5 4矩陣， 若秩（A） =4，則秩（5AT）為（ A . 2 B . 3 C. 4 ?1 1 1 0、 ?1 0 0 2、 2 -5 -3 10 T 0 1 0 0 € 8 2 4丿 e 0 1 -2」 4 .設(shè)A,B分別為m n和m k矩陣，向量組（I）是由A的列向 量構(gòu)成的向量組，向量組（H）是由 （A,B）的列向量構(gòu)成的向 量組，則必有（C ） A .若（I ）線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則（H）線(xiàn)性無(wú)關(guān) B .若（I ）線(xiàn) 性無(wú)關(guān)，則（H）線(xiàn)性相關(guān) C.若（H）線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則（I）線(xiàn)性無(wú)關(guān) D .若（H） 線(xiàn)性無(wú)

3、關(guān)，則（I ）線(xiàn)性相關(guān) （I）是（H）的部分組，整體無(wú)關(guān)=部分無(wú)關(guān). 5. 設(shè)A為5階方陣，若秩（a） =3，則齊次線(xiàn)性方程組 Ax" 的基礎(chǔ)解系中包含的解向量的個(gè)數(shù)是（ A ） A . 2 B . 3 C. 4 D. 5 未知量個(gè)數(shù)n =5 , A的秩r =3，基礎(chǔ)解系包含n —r=2個(gè)解向量. 6. 設(shè)m n矩陣A的秩為n—1 ,且\, 2是齊次線(xiàn)性方程組 Ax=O的 兩個(gè)不同的解，則Ax=O的通解為（ ） A . k i , k R B . k 2 , k R C . k「2 , k R D . k（ i - 2） , k R Ax =0的基礎(chǔ)解系包含1個(gè)解向量.

4、1, 2是不同的解，1-'2是非零解，可以作為基礎(chǔ)解系，通解 丿為 k（1 - 2）, k 二 R . 7 .對(duì)非齊次線(xiàn)性方程組AmnX=b ,設(shè)秩（A ） =r ,則（ ） A . r=m時(shí)，方程組Ax=b有解 B . r=n時(shí)，方程組 Ax =b有唯一解 C. m=n時(shí)，方程組Ax =b有唯一解 D. r

5、 0 0 -2 0 0 -2> <0 0 0 °」 —A = ,基礎(chǔ)解系含 r = m 時(shí)，r(A,b) =r(A)二m , Ax 二b 有解 1 1 1 1、 8. 設(shè)矩陣 A = 0 2 0 0 1 1 3 1 ，則A的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù) e 0 0 3 ’ 是 (C ) A . 1 B. 2 C. 3 D. 4 1個(gè)解向量; 對(duì)于'2 =2 , ■E 1 -1 -1 -r -1 -1 -r 0 0

6、-1 -1 T 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 0 0 0 -1 e 0 0 一1」 e 0 0 0丿 -A = ,基礎(chǔ)解系含1 個(gè)解向量; '2 0 0 <0 -1 1 0 0 -1 -1 0 0 -1 -1 -1 0 基礎(chǔ)解系含1個(gè)解向量. 9.設(shè)向量G=（4,-12-2）,則下列向量是單位向量的是 （B ） 1： C. 1 —a II：卜5 , 1 1 II ： II 5 10.二次型 f（Xi,X2）=5x2 .3x2 的規(guī)

7、范形是（ D ） 2 y1 B . - y2 -yl C. - y2 yl D . yl yl 、填空題（本大題共 10小題，每小題2分，共20 分） 11. 3階行列式 3 1 3 1 0 0 2 2 5 3 1 3 I 2 5 = =1 . 1 3 12 .設(shè) A =(3,1,0), ,z2 1 \ B= _4 0，貝U AB =(2,3). 1—3 5 丿 13 .設(shè) A為 3 階方陣，若 IAti = 2，則 H3A^__-54_ 3 T I -3A| = (-3)3| A|= -27| AT |二-27 2 = -5

8、4 . 14 .已知 向量〉=(3,5,7,9) , 1 =(-1,5,2,0),如果：■■■ = '■,則 十,0,-5,-9). -■ -(-1,5,2,0) -(3,5,7,9)=(以,0,-5,-9). a〔1 a〔2 a〔3 15 .設(shè)A=an an a23為3階非奇異矩陣，則齊次線(xiàn)性方程組 爐 31 a32 a33 丿 a 11 X[ a〔2 X2 813X3 — 0 ￡21咅 +a22x2 +a23x3 =0 的解為 捲=X2 =X3 =0 . ?31X1 +332X2 +333X3 =0 |AZ , Ax"只有零解. 16.設(shè)非齊次線(xiàn)性方程組 q o o

9、2 : r Ax = b的增廣矩陣為 0 10—1^2 ,0 0 2 4 : 6; 則該方程組的通解為(1,2,3,0)t k(_2,1,_2,1)T . 廣 1 0 0 2 :1、 (A,b)T 0 1 0 -1 9 :2 2 0 1 2 -3丿 Xi = 1—2x4 x2 = 2 + x4 X3 =3 -2x4 X4 = x4 通解為 (123,0)T k(-2,1,-2,1)T . 17 .已知3階方陣A的特征值為1,-3,9，則__-1 3 新卜即心士*?9—1. 18 .已知向量。=(1,2,_1)

10、與向量0 -(0,1, y)正交，則y=__2 C , ：) =0 , 2 -y =0 , y =2 . 19.二次型 f (X1,X2,X3,X4)3x； 2x| -x4 的正慣性指數(shù)為 3 20 .若 f (x1, x2, x3 x-|2 4x| 4xf 2 ■ x1 x^ -2x1 x3 4x2 x3 為正定二次型， 則■的取值應(yīng)滿(mǎn)足-2 ：：： 一：1 . 1 k -1、 4 2 D1 =1 >0 ；D2 -1 2 4丿 1 & -1 1 -1 4 2 = 0 . n 2 4 九+2 -1

11、 2 4 0 九+2 3 1 A = ('2)( 2 -，) D3 =4 - 2 --C 2)( -2) 0 , "2 "2 3  = -4（九+2）（人 一1） >0 , < '（九+2）（人 _2） v0 工九+2）（人一1） <0 R*2 2^1. 廠(chǎng)2 “v1 三、 計(jì)算題（本大題共 6小題， 每小題 9分，共 54分） 解: 22. 計(jì)算行列式 5 3 3 3 3 5 3 3 3 3 5 3 3 3 3 5 5 3 3 3 3 5 3 3 3 3 5 3 3

12、 3 3 5 11 11 11 11 3 5 3 3 3 3 5 3 3 3 3 5 1 0 0 0 3 2 0 0 3 0 2 0 3 0 0 2 =11 8=88 1 1 0 “ 1 2、 0 -1 1 ,B = 0 1 e 0 1/2』 I1 °」 AX 求矩陣 1 1 0 1 0 0" q 1 0 1 0 0" 1 0 1 0 0 ' 0 -1 1 0 1 0 T 0 -1 1

13、 0 1 0 T 0 -1 0 0 1 -2 1° 0 1/2 0 0 b 0 1 0 0 2> 1° 0 1 0 0 2 J （A.E） 0 0 1 1 -2、 廣 1 0 0 1 1 -2、 廣1 1 -2、 T 0 -1 0 0 1 -2 T 0 1 0 0 -1 2 ,= 0 -1 2 e 0 1 0 0 2 > e 0 1 0 0 2> 1° 0 2」 -2 2 2 21 2

14、23.設(shè)矩陣 3 5 8 " '1 0 2 1" 2 4 0 ,B = 0 2 5 9 2 0 1> 2 0 3 0」 0 A = ,求矩陣 AB的秩. 解：|A|二 = 2=0 , A可逆，而B(niǎo)的秩為3,所以AB的 秩為3. 24.求向量組 =(1,4,3,-2), = (2,5,4, -1), =(3,9,7,-3)的秩. 解: -2 -1 一3」 廣1 0 4 -3 -3 3 -2 -2 -2 3 3 > 4 -3 0 3 -2 0 -2 3 °」 的秩為2. x1

15、25.求齊次線(xiàn)性方程組 =0 x1 2x2 ' 4x3 - 4x4 =0的一個(gè)基礎(chǔ)解系. 2x1 3x2 5x3 5x4 = 0 x2 X3 X4 解：A 1 1 1 1、 1 1 1 1、 1 1 1 1、 1 0 -2 —2、 1 2 4 4 T 0 1 3 3 T 0 1 3 3 T 0 1 3 3 3 5 5丿 e 1 3 3」 <0 0 0 0」 <0 0 0 0」 Xr = 2x3 +2x4 A ' (2 嚴(yán)_ 3x3 3x4，

16、基礎(chǔ)解系為冷= -3 > 」2 -3 X3 = X3 1 0 卜4 = X4 <0丿 J丿 26 .設(shè)矩陣a = ,求可逆矩陣 使P^AP為對(duì)角矩陣. 解：A的特征多項(xiàng)式為 I 'E -A|二 ■ -1 0 0 乂一 1) -2 -1 —1 -2 2 . =C -1) (' -3), 特征值為’1 = '2 =1 , *3 .

17、 對(duì)于’1二'2=1，解齊次方程組（'E—A）x=O : 0 0 0 ■‘0 11、 X =X1 ￡ 廣0、 入E — A = 0 -1 -1 T 0 0 0 ,」 X2 = -X3，取 P1 = 0 ,p2 = -1 e -1 -b 1° 0 °」 = X3 0 J」 對(duì)于‘3=3，解齊次方程組（?E_A）x=O : ◎ 0 0 ■'10 0 Xi = 0 九E _A =: 0 1 -1 T 0 1 -1 ,

18、 e 0 0」 兇=X3 1 0 0 % 0 0" 令P = 0 -1 1 , 則p是可逆矩陣，使pjlap = 0 1 0 e 1 b 0 0 3 J 四、證明題（本大題共 1小題，6分） 27.設(shè)向量組〉1，〉2, >3 線(xiàn)性無(wú)關(guān)，U「1 *2，- 2 “2 *3，- 3「3 *1， 證明：向量組\「2「3線(xiàn)性無(wú)關(guān). 證：設(shè) k1 k2 :2 - k3 ：3 =0，即 k1(：1 ? ： 2) k2(： 2 叱3) k3 (： 3 ' 4 ) = 0 , (k1 k3)、5 * (k1 k2)、；-2 (k2 ' k3)-￡3 =0 , 因?yàn)椤?，〉2，〉3線(xiàn)性無(wú)關(guān)， 必有 k1 k1 k2 k2 k3 =0 =0 , =0 1 0 1 1 0 1 1 -1 1 1 0 — 0 1 -1 — 1 1 0 1 1 0 1 1 k3 |A| = = 2=0 , 方程組只有零解：ki*二k3=0，所以'-1, ：2, -3線(xiàn)性無(wú)關(guān).