精修版貴州省貴陽(yáng)市九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座 21第二十一講 從三角形的內(nèi)切圓談起

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 注：設(shè)Rt△ABC的各邊長(zhǎng)分別為a、b、c (斜邊)，運(yùn)用切線長(zhǎng)定理、面積等知識(shí)可得到其內(nèi)切圓半徑的不同表示式： (1)； (2)． 請(qǐng)讀者給出證 【例題求解】 【例1】 如圖，在Rt△ABC中，∠C=90，BC=5，⊙O與Rt△ABC的三邊AB、BC、AC分相切于點(diǎn)D、E、F，若⊙O的半徑r＝2，則Rt△ABC的周長(zhǎng)為 ． 思路點(diǎn)撥 AF=AD，BE=BD，連OE、OF，則OECF為正方形，只需求出AF(或AD)即可． 【例2】

2、 如圖，以定線段AB為直徑作半圓O，P為半圓上任意一點(diǎn)(異于A、B)，過(guò)點(diǎn)P作半圓O的切線分別交過(guò)A、B兩點(diǎn)的切線于D、C，AC、BD相交于N點(diǎn)，連結(jié)ON，NP，下列結(jié)論：①四邊形ANPD是梯形；②ON=NP：③DPP C為定值；④FA為∠NPD的平分線，其中一定成立的是( ) A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①④ 思路點(diǎn)撥 本例綜合了切線的性質(zhì)、切線長(zhǎng)定理、相似三角形，判定性質(zhì)等重要幾何知識(shí)，注意基本輔助線的添出、基本圖形識(shí)別、等線段代換，推

3、導(dǎo)出NP∥AD∥BC是解本例的關(guān)鍵． 【例3】 如圖，已知∠ACP=∠CDE=90，點(diǎn)B在CE上，CA=CB=CD，過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓交AB于F，求證：F為△CDE的內(nèi)心． (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題) 思路點(diǎn)撥 連CF、DF，即需證F為△CDE角平分線的交點(diǎn)，充分利用與圓有關(guān)的角，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角相等問(wèn)題的證明． 【例4】 如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，以AB為直徑作半圓O切CD于E，連結(jié)OE，

4、并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于F． (1)問(wèn)∠BOZ能否為120，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由； (2)證明△AOF∽△EDF，且； (3)求DF的長(zhǎng)． 思路點(diǎn)撥 分解出基本圖形，作出基本輔助線．(1)若∠BOZ=120，看能否推出矛盾；(2)把計(jì)算與推理融合；(3)把相應(yīng)線段用DF的代數(shù)式表示，利用勾股定理建立關(guān)于DF的一元二次方程． 注： 如圖，在直角梯形ABCD中，若AD+BC=CD，則可得到應(yīng)用廣泛的兩個(gè)性質(zhì)： (1)以邊AB為直徑的圓與邊CD相切； (2)以邊CD為直徑的圓與邊AB相切． 類(lèi)似地，三角形三條中線的交點(diǎn)叫三角形的重

5、心，三角形三邊高所在的直線的交點(diǎn)叫三角形的垂心．外心、內(nèi)心、垂心、重心統(tǒng)稱(chēng)三角形的四心，它們處在三角而中的特殊位置上，有著豐富的性質(zhì)，在解題中有廣泛的應(yīng)用． 【例5】 如圖，已知Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的高，O、O1、O2分別是△ABC；△ACD、△BCD的角平分線的交點(diǎn)，求證：(1) O1O⊥C O2；(2)OC= O1O2． (武漢市選拔賽試題) 思路點(diǎn)撥 在直角三角形中，斜邊上的高將它分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似，得對(duì)應(yīng)角相等，所以通過(guò)證交角為90的

6、方法得兩線垂直，又利用全等三角形證明兩線段相 等． 學(xué)力訓(xùn)練 1．如圖，已知圓外切等腰梯形ABCD的中位線EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周長(zhǎng)等于= cm． 2．如圖，在直角，坐標(biāo)系中A、B的坐標(biāo)分別為(3，0)、(0，4)，則Rt△ABO內(nèi)心的坐標(biāo)是 ． 3．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC， DC⊥BC，AB=8，BC=5，若以AB為直徑的⊙O與DC相切于E，則DC= ． (云南省曲靖市中考題) 4．如圖，⊙O為△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90，AO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，

7、AC=4，CD=1，則⊙O的半徑等于( ) A． B． C． D． (重慶市中考題) 5．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90，以CD為直徑的半圓O切AB于點(diǎn)E，這個(gè)梯形的面積為21cm2，周長(zhǎng)為20cm，那么半圓O的半徑為( ) A．3cm B．7cm C ．3cm或7cm D． 2cm 6．如圖，△ABC中，內(nèi)切圓O和邊B、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、EF，則以下四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)

8、誤的結(jié)論是( ) A．點(diǎn)O是△DEF的外心 B．∠AFE=(∠B+∠C) C．∠BOC=90+∠A D．∠DFE=90一∠B 7．如圖，BC是⊙O的直徑，AB、AD是⊙O的切線，切點(diǎn)分別為B、P，過(guò)C點(diǎn)的切線與AD交于點(diǎn)D，連結(jié)AO、DO． (1)求證：△ABO∽△OCD； (2)若AB、CD是關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且S△ABO+ S△OCD=20，求m的值． 8．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC與⊙O相交于點(diǎn)D，連結(jié)AD并延長(zhǎng)，BC相交于點(diǎn)E． (1)若BC=，CD=1，求⊙O的半徑；

9、(2)取BE的中點(diǎn)F，連結(jié)DF，求證：DF是⊙O的切線； (3)過(guò)D點(diǎn)作DG⊥BC于G，OG與DG相交于點(diǎn)M，求證：DM＝GM． 9．如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90，AD=13cm，BC=16cm，CD=5cm，AB為⊙O的直徑，動(dòng)點(diǎn)P沿AD方向從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)D以1cm／秒的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q沿CB方向從點(diǎn)C開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm／秒的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q分別從A、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)停止時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)． (1)求⊙O的直徑； (2)求四邊形PQCD的面積y關(guān)于P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)，四邊形PQCP的面積；

10、(3)是否存在某時(shí)刻t，使直線PQ與⊙O相切，若存在，求出t 的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． (2002年煙臺(tái)市中考題) 10．已知在△ABC中，∠C=90，AC=4，BC=3，CD為AB上的高，Ol、O2分別為△ACD、△BCD的內(nèi)心，則OlO2= ． 11．如圖，在△ABC中，∠C=90，∠A和∠B的平分線相交于P點(diǎn)，又PE⊥AB于點(diǎn)E，若BC=2，AC=3，則AEEB= ． 12．如果一個(gè)三角形的面積和周長(zhǎng)都被一直線所平分

11、，那么該直線必通過(guò)這個(gè)三角形的( ) A．內(nèi)心 B．外心 C．圓心 D．重心 13．如圖，AD是△ABC的角平分線，⊙O過(guò)點(diǎn)AB和BC相切于點(diǎn)P，和AB、AC分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，若BD=AE，且BE=a，CF=b，則AF的長(zhǎng)為( ) A． B． C． D． 14．如圖，在矩形ABCD中，連結(jié)AC，如果O為△ABC的內(nèi)心，過(guò)O作OE⊥AD于E，作OF⊥CD于F，則矩形OFDE的面積與矩形ABCD的面積的比值為( ) A． B． C． D．不能確定

12、 (《學(xué)習(xí)報(bào)》公開(kāi)賽試題) ⌒ 15．如圖，AB是半圓的直徑，AC為半圓的切線，AC=AB．在半圓上任取一點(diǎn)D，作DE⊥CD，交直線AB于點(diǎn)F，BF⊥AB，交線段AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F． (1)設(shè)AD是x的弧，并要使點(diǎn)E在線段BA的延長(zhǎng)線上，則x的取值范圍是 ； (2)不論D點(diǎn)取在半圓什么位置，圖中除AB=AC外，還有兩條線段一定相等，指出這兩條相等的線段，并予證明． 16．如圖，△ABC的三邊滿(mǎn)足關(guān)系BC=(AB+AC)，O、I分別為△ABC的外心、內(nèi)心，∠ BAC的外角平分線交⊙

13、O于E，AI的延長(zhǎng)線交⊙O于D，DE交BC于H． 求證：(1)AI=BD；(2)OI=AE． 17．如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，OC平行于弦AD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，連結(jié)AC，與DE交于點(diǎn)F，問(wèn)EP與PD是否相等?證明你的結(jié)論． ⌒ 18．如圖，已知點(diǎn)P在半徑為6，圓心角為90的扇形OAB的AB(不含端點(diǎn))上運(yùn)動(dòng)，PH⊥OA于H，△OPH的重心為G． (1)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段GO、GP、GH中有無(wú)長(zhǎng)度保持不變的線段?如果有，請(qǐng)指出并求出其相應(yīng)的長(zhǎng)度； (2)設(shè)PH= x，GP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出自變量x的取值范圍； (3)如果△PGH為等腰三角形，試求出線段PH的長(zhǎng)． 參考答案 最新精品資料