理數(shù)北師大版練習(xí)：第三章 第三節(jié)　三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含解析

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1、 課時(shí)作業(yè) A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練 1．下列函數(shù)中，最小正周期為π且圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是(　　) A．y＝cos　　 B．y＝sin C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x 解析：y＝cos＝－sin 2x，最小正周期T＝＝π，且為奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故A正確；y＝sin＝cos 2x，最小正周期為π，且為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故B不正確；C，D均為非奇非偶函數(shù)，其圖像不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故C，D不正確． 答案：A 2．已知函數(shù)y＝sin ωx(ω>0)在區(qū)間上為增函數(shù)，且圖像關(guān)于點(diǎn)(3π，0)對(duì)稱(chēng)，則ω的取值集合為(　　)

2、 A. B. C. D. 解析：由題意知即其中k∈Z，則ω＝，ω＝或ω＝1，即ω的取值集合為. 答案：A 3．(20xx·長(zhǎng)春調(diào)研)函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)2圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸方程是(　　) A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝π 解析：f(x)＝(sin x＋cos x)2＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＝1＋sin 2x，將各選項(xiàng)代入驗(yàn)證可知，當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取得最值，故選A. 答案：A 4．函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D(k∈Z) 解析：由

3、kπ－<2x－<kπ＋(k∈Z)，得－<x<＋(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)＝tan的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z)． 答案：B 5．(20xx·云南五市聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝2sin ωx(0＜ω＜1)在區(qū)間[0，]上的最大值為1，則ω＝(　　) A. B. C. D. 解析：因?yàn)?＜ω＜1,0≤x≤，所以0≤ωx＜.所以f(x)在區(qū)間[0，]上單調(diào)遞增，則f(x)max＝f()＝2sin＝1，即sin＝.又0≤ωx＜，所以＝，解得ω＝，選C. 答案：C 6．函數(shù)f(x)＝cos2－sin x－(x∈[0，π])的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．

4、[0，] B．[0，] C．[，π] D．[，π] 解析：f(x)＝cos2－sin x－＝(2cos2－1)－sin x＝cos x－sin x＝cos(x＋)，由2kπ－π≤x＋≤2kπ(k∈Z)，得 2kπ－≤x≤2kπ－(k∈Z)，又x∈[0，π]，所以當(dāng)k＝1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[，π]，故選C. 答案：C 7．函數(shù)y＝(sin x＋cos x)2－1是(　　) A．最小正周期為2π的奇函數(shù) B．最小正周期為2π的偶函數(shù) C．最小正周期為π的奇函數(shù) D．最小正周期為π的偶函數(shù) 解析：y＝sin2x＋2sin xcos x＋cos2x－1＝sin 2x，故

5、選C. 答案：C 8．函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)對(duì)任意x都有f＝f，則f等于(　　) A．2或0 B．－2或2 C．0 D．－2或0 解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)對(duì)任意x都有f＝f，所以該函數(shù)圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，因?yàn)樵趯?duì)稱(chēng)軸處對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為最大值或最小值，所以選B. 答案：B 9．已知函數(shù)f(x)＝sin ωx－cos ωx(ω＞0)在(0，π)上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ω 的取值范圍為(　　) A．(0，] B．(，] C．(，] D．(，] 解析：易得f(x)＝2sin(ωx－)，設(shè)t＝ωx－，因?yàn)?＜x＜π，所以－＜t＜ωπ

6、－，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(0，π)上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，所以π＜ωπ－≤2π，解得＜ω≤，故選B. 答案：B 10.(20xx·長(zhǎng)沙模擬)已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分圖像如圖所示，其中圖像最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和，圖像在y軸上的截距為，給出下列四個(gè)結(jié)論： ①f(x)的最小正周期為π；②f(x)的最大值為2； ③f＝1；④f為奇函數(shù)． 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：由圖知，周期T＝2＝π， 則ω＝2，由2×＋φ＝，得φ＝. 由f (0)＝，得A

7、sin＝，即A＝2. 所以f(x)＝2sin， 則f＝2sin＝2cos＝1， f＝2sin＝2sin 2x為奇函數(shù)．所以四個(gè)結(jié)論都正確． 答案：D 11．已知x∈(0，π]，關(guān)于x的方程2sin＝a有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ． 解析：令y1＝2sin，x∈(0，π]，y2＝a，作出y1的圖像如圖所示．若2sin＝a在(0，π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則y1與y2應(yīng)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以<a<2. 答案：(，2) 12．若函數(shù)f(x)＝sin(x＋φ)＋cos(x＋φ)為偶函數(shù)，則φ＝ . 解析：由題意可知f(x)

8、＝sin為偶函數(shù)，所以φ＋＝＋kπ(k∈Z)．又由|φ|<，得φ＝. 答案： 13．當(dāng)函數(shù)y＝sin x－cos x(0≤x＜2π)取得最大值時(shí)，x＝ . 解析：由已知條件可得y＝2sin，又由0≤x＜2π得－≤x－＜，當(dāng)x－＝時(shí)y取得最大值，此時(shí)x＝. 答案： B組——能力提升練 1．函數(shù)y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在區(qū)間內(nèi)的圖像是(　　) 解析：y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|＝對(duì)比選項(xiàng)，可知選D. 答案：D 2．已知函數(shù)f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f＝－2，則f(x)的一

9、個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間可以是(　　) A. B. C. D. 解析：∵f＝－2，∴－2sin＝－2，即sin＝1.∴＋φ＝＋2kπ，又∵|φ|<π，∴φ＝，∴f(x)＝－2sin.由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.當(dāng)k＝0時(shí)，得≤x≤.即f(x)的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間可以是. 答案：D 3．若函數(shù)y＝tan ωx(ω∈N*)的圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是，則ω的最小值是(　　) A．2 B．3 C．6 D．9 解析：因?yàn)檎泻瘮?shù)f(x)＝tan x圖像的對(duì)稱(chēng)中心為(k∈Z)，且函數(shù)y＝tan ωx(ω∈N*)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心是，所以＝(k∈Z)，因

10、此ω＝3k(k∈Z)．因?yàn)棣亍蔔*，所以當(dāng)k＝1時(shí)，ω取得最小值3，故選B. 答案：B 4．已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0)的圖像與直線y＝b(0<b<A)相交，其中一個(gè)交點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，若與P相鄰的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,8，則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(　　) A．[6kπ，6kπ＋3]，k∈Z B．[6k－3,6k]，k∈Z C．[6k,6k＋3]，k∈Z D．[6kπ－3,6kπ]，k∈Z 解析：根據(jù)題設(shè)中提供的數(shù)據(jù)信息可知周期T＝6，結(jié)合f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖像可知f(x)在區(qū)間[

11、6k－3,6k]，k∈Z上是單調(diào)遞減的，故選B. 答案：B 5．若函數(shù)f(x)＝sin(ω>0)的圖像的相鄰兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，且該函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)(x0,0)成中心對(duì)稱(chēng)，x0∈，則x0＝(　　) A. B. C. D. 解析：由題意得＝，T＝π，則ω＝2.由2x0＋＝kπ(k∈Z)，得x0＝－(k∈Z)，又x0∈，所以x0＝. 答案：A 6．已知函數(shù)f(x)＝cos2＋sinωx－(ω＞0)，x∈R，若f(x)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，則ω 的取值范圍是(　　) A．(0，] B．(0，]∪[，) C．(0，] D．(0，]∪[，] 解析：函數(shù)f(

12、x)＝cos2＋sin ωx－＝cosωx＋sinωx＝sin(ωx＋)，可得T＝≥π，0＜ω≤2，f(x)在區(qū)間(π，2π)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，函數(shù)的圖像如圖兩種類(lèi)型，結(jié)合三角函數(shù)可得： 或， 解得ω∈(0，]∪[，)． 答案：B 7．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖像的對(duì)稱(chēng)軸完全相同，若x∈，則f(x)的取值范圍是(　　) A. B．[－3,3] C. D. 解析：因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸完全相同，所以這兩個(gè)函數(shù)的周期相同，即ω＝2，所以函數(shù)f(x)＝3sin(2x－)．當(dāng)x∈[0，]時(shí)，2x－∈[－，]，由正弦函數(shù)的圖像及

13、其性質(zhì)知， f(x)min＝f(0)＝－，f(x)max＝f()＝3，故選A. 答案：A 8．(20xx·長(zhǎng)沙市模擬)已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋)－cos(x＋)，若存在x1，x2，…，xn滿(mǎn)足0≤x1＜x2＜…＜xn≤6π，且|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝12(n≥2，n∈N*)，則n的最小值為(　　) A．6 B．10 C．8 D．12 解析：f(x)＝sin(x＋)－cos(x＋)＝sin(x＋－)＝sin x，所以|f(xn－1)－f(xn)|≤2，又|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(

14、x3)|＋…＋|f(xn－1)－f(xn)|＝12(n≥2，n∈N*)，所以要使n取最小值，需x1＝0，x2＝，x3＝，x4＝，…，x7＝，x8＝6π.故滿(mǎn)足條件的最小整數(shù)n為8. 答案：C 9．設(shè)函數(shù)f(x)＝(x∈R)，則f(x)(　　) A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù) C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù) 解析：由f(x)＝可知，f(x)的最小正周期為π.由kπ≤x＋≤＋kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上單調(diào)遞增；由＋kπ≤x＋≤π＋kπ(k∈Z)，得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，即f(x)在(k∈Z)上單調(diào)遞減．將

15、各選項(xiàng)逐項(xiàng)代入驗(yàn)證，可知B正確． 答案：B 10．若函數(shù)f(x)同時(shí)具有以下兩個(gè)性質(zhì)：①f(x)是偶函數(shù)；②對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f＝f.則f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝cos x B．f(x)＝cos C．f(x)＝sin D．f(x)＝cos 6x 解析：由題意可得，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且它的圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)．因?yàn)閒(x)＝cos x是偶函數(shù)，f＝，不是最值，故不滿(mǎn)足圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，故排除A.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝cos＝－sin 2x是奇函數(shù)，不滿(mǎn)足條件①，故排除B.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝sin＝cos 4x是偶函數(shù)，且f＝－1，是最小值，故滿(mǎn)足圖像關(guān)于直線

16、x＝對(duì)稱(chēng)，故C滿(mǎn)足條件．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝cos 6x是偶函數(shù)，f＝0，不是最值，故不滿(mǎn)足圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)，故排除D. 答案：C 11．已知f(x)＝sin(ωx＋φ)圖像相鄰對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，f(0)＝，則g(x)＝2cos(ωx＋φ)在區(qū)間上的最小值為(　　) A．－ B．－2 C．－1 D．1 解析：由題意得函數(shù)f(x)的最小正周期為π，則ω＝2，由f(0)＝，可得φ＝，所以g(x)＝2cos(ωx＋φ)即為g(x)＝2cos.因?yàn)閤∈，所以2x＋∈，得－1≤cos≤，則g(x)在區(qū)間上的最小值為－2. 答案：B 12．已知函數(shù)f(x)＝2cos22x－2.給出下列

17、命題：①存在β∈R，f(x＋β)為奇函數(shù)；②存在α∈(0，)，f(x)＝f(x＋2α)對(duì)x∈R恒成立；③任意x1，x2∈R，若|f(x1)－f(x2)|＝2，則|x1－x2|的最小值為；④任意x1，x2∈R，若f(x1)＝f(x2)＝0，則x1－x2＝kπ(k∈Z)．其中的真命題有(　　) A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 解析：由題意，f(x)＝2cos22x－2＝cos 4x－1.對(duì)于①，f(x)＝cos 4x－1的圖像如圖所示，函數(shù)f(x＋β)的圖像是f(x)的圖像向左或向右平移|β|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，它不會(huì)是奇函數(shù)，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，f(x)＝f(x＋2α)，所以cos

18、 4x－1＝cos(4x＋8α)－1，所以8α＝2kπ，k∈Z，所以α＝，k∈Z.又α∈(0，)，所以取α＝或時(shí)，f(x)＝f(x＋2α)對(duì)x∈R恒成立，故②正確；對(duì)于③，|f(x1)－f(x2)|＝|cos 4x1－cos 4x2|＝2時(shí)，|x1－x2|的最小值為＝＝，所以③正確；對(duì)于④，任意x1，x2∈R，當(dāng)f(x1)＝f(x2)＝0時(shí)，x1－x2＝kT＝k·＝，k∈Z，所以④錯(cuò)誤．綜上，真命題是②③，故選C. 答案：C 13．函數(shù)y＝tan的圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是 ． 解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)得，x＝－(k∈Z)．∴函數(shù)y＝tan的圖像與x軸交

19、點(diǎn)的坐標(biāo)是，k∈Z. 答案：，k∈Z 14．設(shè)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常數(shù)，A>0，ω>0)．若f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝f＝－f，則f(x)的最小正周期為 ． 解析：由f(x)在區(qū)間上具有單調(diào)性，且f＝－f知，f(x)有對(duì)稱(chēng)中心，由f＝f知f(x)有對(duì)稱(chēng)軸x＝＝π. 記f(x)的最小正周期為T(mén)，則T≥－， 即T≥π.故π－＝＝， 解得T＝π. 答案：π 15．已知函數(shù)：①f(x)＝2sin(2x＋)；②f(x)＝2sin(2x－)；③f(x)＝2sin(x＋)；④f(x)＝2sin(2x－)．其中，最小正周期為π且

20、圖像關(guān)于直線x＝對(duì)稱(chēng)的函數(shù)序號(hào)是 ． 解析：對(duì)于①，其最小正周期T＝＝π，其圖像的對(duì)稱(chēng)軸為2x＋＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，顯然x＝不是函數(shù)f(x)＝2sin(2x＋)圖像的對(duì)稱(chēng)軸，①錯(cuò)誤；對(duì)于②，其最小正周期T＝＝π，其圖像的對(duì)稱(chēng)軸為2x－＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，顯然x＝是函數(shù)f(x)＝2sin(2x－)圖像的對(duì)稱(chēng)軸，②正確；對(duì)于③，其最小正周期T＝＝4π，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，其最小正周期T＝＝π，其圖像的對(duì)稱(chēng)軸為2x－＝kπ＋(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，顯然x＝不是函數(shù)f(x)＝2sin(2x－)圖像的對(duì)稱(chēng)軸，④錯(cuò)誤． 答案：②