高中數(shù)學(xué) 排列組合及二項(xiàng)式定理 知識(shí)點(diǎn)和練習(xí)

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1、 排列組合及二項(xiàng)式定理 【基本知識(shí)點(diǎn)】 1.分類(lèi)計(jì)數(shù)和分步計(jì)數(shù)原理的概念 2．排列的概念：從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列 3．排列數(shù)的定義：從個(gè)不同元素中，任?。ǎ﹤€(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示 4．排列數(shù)公式：（） 5.階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定． 6．排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：= 7.組合概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合 8．組合數(shù)的概念：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從

2、 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)表示． 9.組合數(shù)公式：或 10.組合數(shù)的性質(zhì)1：．規(guī)定：； 11.組合數(shù)的性質(zhì)2：＝+ Cn0+Cn1+…+Cnn=2n 12.二項(xiàng)式展開(kāi)公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn 13．二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)： 展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)是，，，…，．可以看成以為自變量的函數(shù)，定義域是， （1）對(duì)稱(chēng)性．與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等（∵）． （2）增減性與最大值：當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)取得最大值；當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)，取得最大值． （3）各二項(xiàng)式系數(shù)和：∵， 令，則 【常見(jiàn)考點(diǎn)

3、】 一、可重復(fù)的排列求冪法：重復(fù)排列問(wèn)題要區(qū)分兩類(lèi)元素：一類(lèi)可以重復(fù)，另一類(lèi)不能重復(fù)，把不能重復(fù)的元素看作“客”，能重復(fù)的元素看作“店”，則通過(guò)“住店法”可順利解題，在這類(lèi)問(wèn)題使用住店處理的策略中，關(guān)鍵是在正確判斷哪個(gè)底數(shù)，哪個(gè)是指數(shù) （1）有4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，每人限報(bào)一科，有多少種不同的報(bào)名方法？ （2）有4名學(xué)生參加爭(zhēng)奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？ （3）將3封不同的信投入4個(gè)不同的郵筒，則有多少種不同投法？ 【解析】：（1）（2） （3） 二．相鄰問(wèn)題捆綁法： 題目中規(guī)定相鄰的幾個(gè)元素捆綁成一個(gè)組，當(dāng)作一個(gè)大元素參與排列.高☆考♂資

4、♀源€網(wǎng) ☆ （4）五人并排站成一排，如果必須相鄰且在的右邊，那么不同的排法種數(shù)有 【解析】：把視為一人，且固定在的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，種 （5）3位男生和3位女生共6位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端，3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） A. 360 B. 188 C. 216 D. 96 【解析】： 間接法 6位同學(xué)站成一排，3位女生中有且只有兩位女生相鄰的排法有， 種高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ 其中男生甲站兩端的有，符合條件的排法故共有288 三．相離問(wèn)

5、題插空法 ：元素相離（即不相鄰）問(wèn)題，可先把無(wú)位置要求的幾個(gè)元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個(gè)元素插入上述幾個(gè)元素的空位和兩端. （6）七人并排站成一行，如果甲乙兩個(gè)必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是 【解析】：除甲乙外，其余5個(gè)排列數(shù)為種，再用甲乙去插6個(gè)空位有種，不同的排法種數(shù)是種 （7） 書(shū)架上某層有6本書(shū)，新買(mǎi)3本插進(jìn)去，要保持原有6本書(shū)的順序，有 種不同的插法（具體數(shù)字作答） 【解析】： （8）馬路上有編號(hào)為1，2，3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的 二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有多少種？ 【解析】：

6、把此問(wèn)題當(dāng)作一個(gè)排對(duì)模型，在6盞亮燈的5個(gè)空隙中插入3盞不亮的燈種方法,所以滿(mǎn)足條件的關(guān)燈方案有10種. 四．元素分析法（位置分析法）：某個(gè)或幾個(gè)元素要排在指定位置，可先排這個(gè)或幾個(gè)元 素；再排其它的元素。 （9）2010年廣州亞運(yùn)會(huì)組委會(huì)要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四 人分別從事翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機(jī)四項(xiàng)不同工作，若其中小張和小趙只能從事前兩項(xiàng)工作， 其余三人均能從事這四項(xiàng)工作，則不同的選派方案共有 （ ） 高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ A. 36種 B. 12種 C. 18種

7、 D. 48種 【解析】： 方法一： 從后兩項(xiàng)工作出發(fā)，采取位置分析法。 方法二：分兩類(lèi)：若小張或小趙入選，則有選法；若小張、小趙都入選，則有 選法，共有選法36種，選A. （10）1名老師和4名獲獎(jiǎng)同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？ 【解析】： 老師在中間三個(gè)位置上選一個(gè)有種，4名同學(xué)在其余4個(gè)位置上有種方法；所以共有種。. 五．多排問(wèn)題單排法：把元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理。高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （11） 6個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排3個(gè)元素，那么不同的排法種數(shù)是（ ） A、3

8、6種 B、120種 C、720種 D、1440種 （12）把15人分成前后三排，每排5人，不同的排法種數(shù)為 （A） （B） （C） （D） （13）8個(gè)不同的元素排成前后兩排，每排4個(gè)元素，其中某2個(gè)元素要排在前排，某1個(gè)元素排在后排，有多少種不同排法？ 【解析】 ：（1）前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個(gè)不同的元素排成一排，共種，選.高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （2）答案：C （3）看成一排，某2個(gè)元素在前半段四個(gè)位置中選排2個(gè)，有種，某1個(gè)元素排在后半段的四個(gè)位置中選一個(gè)有種，其余5個(gè)元素任排5個(gè)位置上有種，故共有種

9、排法. 六．定序問(wèn)題縮倍法（等幾率法）：在排列問(wèn)題中限制某幾個(gè)元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法. （14）五人并排站成一排，如果必須站在的右邊（可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是（ ）高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ 【解析】 ：在的右邊與在的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個(gè)元素全排列數(shù)的一半，即種 （15）書(shū)架上某層有6本書(shū)，新買(mǎi)3本插進(jìn)去，要保持原有6本書(shū)的順序，有多少種不同的插法？高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ 【解析】 ：法一： 法二： 七．標(biāo)號(hào)排位問(wèn)題（不配對(duì)問(wèn)題） 把元素排到指定位置上，可先把某個(gè)元素按規(guī)定 排

10、入，第二步再排另一個(gè)元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成. （16） 將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)方格里，每格填一個(gè)數(shù)，則每 個(gè)方格的標(biāo)號(hào)與所填數(shù)字均不相同的填法有（ ） A、6種 B、9種 C、11種 D、23種高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ 【解析】 ：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對(duì)應(yīng)數(shù)字填 入其它三個(gè)方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個(gè)數(shù)字，只有一種填法，共有331=9 種填法，選. （17）編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)人分別去坐編號(hào)為1、2、3、4、5的五個(gè)座位，其中 有且只

11、有兩個(gè)的編號(hào)與座位號(hào)一致的坐法是（ ） A 10種 B 20種 C 30種 D 60種 答案：B 八．不同元素的分配問(wèn)題（先分堆再分配）：注意平均分堆的算法 （18）有6本不同的書(shū)按下列分配方式分配，問(wèn)共有多少種不同的分配方式？高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （1） 分成1本、2本、3本三組； （2） 分給甲、乙、丙三人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本； （3） 分成每組都是2本的三個(gè)組； （4） 分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2本； （5） 分給5人每人至少1本。 【解析】 ：（1）

12、 （2） （3） （4） （5） （19） 四個(gè)不同球放入編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒中，則恰有一個(gè)空盒的放法有多少種？ 【解析】：先取四個(gè)球中二個(gè)為一組，另二組各一個(gè)球的方法有種，再排：在四個(gè)盒中每次排3個(gè)有種，故共有種. 九．相同元素的分配問(wèn)題隔板法： （20）把20個(gè)相同的球全放入編號(hào)分別為1，2，3的三個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的球數(shù)不少于其編號(hào)數(shù)，則有多少種不同的放法？ 【解析】：向1，2，3號(hào)三個(gè)盒子中分別放入0，1，2個(gè)球后還余下17個(gè)球，然后再把這17 個(gè)球分成3份，每份至少一球，運(yùn)用隔板法，共有種。高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （21）10個(gè)三好學(xué)生名額分

13、到7個(gè)班級(jí)，每個(gè)班級(jí)至少一個(gè)名額，有多少種不同分配方案？ 【解析】：10個(gè)名額分到7個(gè)班級(jí)，就是把10個(gè)名額看成10個(gè)相同的小球分成7堆，每堆 至少一個(gè)，可以在10個(gè)小球的9個(gè)空位中插入6塊木板，每一種插法對(duì)應(yīng)著一種分配方案， 故共有不同的分配方案為種.高☆考 十．排數(shù)問(wèn)題（注意數(shù)字“0”）高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （22）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（ ） A、210種 B、300種 C、464種 D、600種 【解析】：按題意，個(gè)位數(shù)字只可能是0，1，2，3，4共5種情況，分別

14、有個(gè)， 個(gè)，合并總計(jì)300個(gè),選. 十一．染色問(wèn)題：涂色問(wèn)題的常用方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類(lèi)討論; （2）根據(jù)相對(duì)區(qū)域是否同色分類(lèi)討論;高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ （3）將空間問(wèn)題平面化，轉(zhuǎn)化成平面區(qū)域涂色問(wèn)題。 （23）將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是_______. 【解析一】滿(mǎn)足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。 (1)若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S，再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點(diǎn)，此時(shí)只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。 (2)若恰

15、用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S，再?gòu)挠嘞碌乃姆N顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再?gòu)挠嘞碌膬煞N顏色中任選一種染D或C，而D與C，而D與C中另一個(gè)只需染與其相對(duì)頂點(diǎn)同色即可，故有種方法。 (3)若恰用五種顏色染色，有種染色法高☆考♂資♀源€網(wǎng) ☆ 綜上所知，滿(mǎn)足題意的染色方法數(shù)為60+240+120=420種。【答案】420. 十二． 幾何中的排列組合問(wèn)題: （24）已知直線（是非零常數(shù)）與圓有公共點(diǎn)，且公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)，那么這樣的直線共有 條 【解析】： 圓上的整點(diǎn)有： 12 個(gè)

16、 其中關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的有4 條 不滿(mǎn)則條件 切線有 ， 其中平行于坐標(biāo)軸的有14條 不滿(mǎn)則條件 66-4+12-14=60 答案:60 【練習(xí)】 1、4位同學(xué)每人從甲、乙、丙3門(mén)課程中選修1門(mén)，則恰有2人選修課程甲的不同選法共有 （A）12種 （B）24種 （C）30種 （D）36種 【解析】分兩類(lèi)：取出的1本畫(huà)冊(cè)，3本集郵冊(cè)，此時(shí)贈(zèng)送方法有種；取出的2本畫(huà)冊(cè)，2本集郵冊(cè)，此時(shí)贈(zèng)送方法有種?？偟馁?zèng)送方法有種?！敬鸢浮緽 2、正五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱(chēng)為它的對(duì)角線，那么一個(gè)正五棱

17、柱對(duì)角線的條數(shù)共有（ ） A．20 B．15 C．12 D．10 【解析】先從5個(gè)側(cè)面中任意選一個(gè)側(cè)面有種選法，再?gòu)倪@個(gè)側(cè)面的4個(gè)頂點(diǎn)中任意選一個(gè)頂點(diǎn)有種選法，由于不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱(chēng)為它的對(duì)角線，所以除去這個(gè)側(cè)面上、相鄰側(cè)面和同一底面上的共8個(gè)點(diǎn)，還剩下2個(gè)點(diǎn)，把這個(gè)點(diǎn)和剩下的兩個(gè)點(diǎn)連線有種方法，但是在這樣處理的過(guò)程中剛好每一條對(duì)角線重復(fù)了一次，所以最后還要乘以所以這個(gè)正五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有,所以選擇A. 3、的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】：令，于是展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是

18、故選C 4、已知的展開(kāi)式中的系數(shù)與的展開(kāi)式中的系數(shù)相等，則 ． 【答案】解：的通項(xiàng)為，， ∴的展開(kāi)式中的系數(shù)是, 的通項(xiàng)為，， ∴的展開(kāi)式中的系數(shù)是∴ ，. 5、已知（是正整數(shù)）的展開(kāi)式中，的系數(shù)小于120，則 ． 【解析】按二項(xiàng)式定理展開(kāi)的通項(xiàng)為，我們知道的系數(shù)為，即，也即，而是正整數(shù)，故只能取1。 6、若，則 的值為 ． 答案4 7、已知，則= -8 ． 8、對(duì)任意的實(shí)數(shù)，有，則的值是（ B ） A．3 B．6 C．9 D．21

19、9、設(shè)是的一個(gè)排列，把排在的左邊且比小的數(shù)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為的順序數(shù)（）．如：在排列6，4， 5， 3，2，1中，5的順序數(shù)為1，3的順序數(shù)為0．則在1至8這八個(gè)數(shù)字構(gòu)成的全排列中，同時(shí)滿(mǎn)足 8的順序數(shù)為2，7的順序數(shù)為3，5的順序數(shù)為3的不同排列的種數(shù)為( C ) A．48 B．96 C．144 D．192 10、若一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字和百位數(shù)字都大，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“傘數(shù)”．現(xiàn)從1,2,3,4,5,6這六個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)，組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中“傘數(shù)”有 A.120個(gè) B.80個(gè)

20、 C.40個(gè) D. 20個(gè) 【答案】C 11、現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有 A．24種 B．30種 C．36種 D．48種 【答案】D 12、如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱(chēng)此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是（ ） A．24 B．30 C．36

21、 D．42 【答案】C 13.從8名女生4名男生中，選出3名學(xué)生組成課外小組，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為 ; 【答案】112 14、現(xiàn)有8個(gè)人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相鄰的排法有（ ）種. （A）（B）（C）（D） 誤解：除了甲、乙、丙三人以外的5人先排，有種排法，5人排好后產(chǎn)生6個(gè)空檔，插入甲、乙、丙三人有種方法，這樣共有種排法，選A. 錯(cuò)因分析：誤解中沒(méi)有理解“甲、乙、丙三人不能相鄰”的含義，得到的結(jié)果是“甲、乙、丙三人互不相鄰”的情況.“甲、乙、丙三人不能相鄰”是指甲、乙、丙三人不能同時(shí)相鄰，但允

22、許其中有兩人相鄰. 正解：在8個(gè)人全排列的方法數(shù)中減去甲、乙、丙全相鄰的方法數(shù)，就得到甲、乙、丙三人不相鄰的方法數(shù)，即，故選B. 15、高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐，其中工廠甲必須有班級(jí)去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（ ）. （A）16種 （B）18種 （C）37種 （D）48種 誤解：甲工廠先派一個(gè)班去，有3種選派方法，剩下的2個(gè)班均有4種選擇，這樣共有種方案. 錯(cuò)因分析：顯然這里有重復(fù)計(jì)算.如：班先派去了甲工廠，班選擇時(shí)也去了甲工廠，這與班先派去了甲工廠，班選擇時(shí)也去了甲工廠是同一種情況，而在上述解法中當(dāng)作了不一樣的情況，并且這種重復(fù)很難排除. 正解：用間接法.先計(jì)算3個(gè)班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再扣除甲工廠無(wú)人去的情況，即：種方案. 排列組合問(wèn)題雖然種類(lèi)繁多，但只要能把握住最常見(jiàn)的原理和方法，即：“分步用乘、分類(lèi)用加、有序排列、無(wú)序組合”，留心容易出錯(cuò)的地方就能夠以不變應(yīng)萬(wàn)變，把排列組合學(xué)好. 10