【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖訓(xùn)練 理 新人教A版
第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其三視圖和直觀圖
[備考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．
2.能畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，會(huì)用斜二測(cè)法畫出它們的直觀圖．
3.會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式．
4.會(huì)畫某些建筑物的三視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等沒有嚴(yán)格要求)．
1.對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的考查，很少單獨(dú)命題，多與命題真假判斷相結(jié)合，在考查線面位置關(guān)系時(shí)，常以幾何體為載體．
2.對(duì)三視圖的考查一直是高考的考查重點(diǎn)，且有以下特點(diǎn)：
(1)多以選擇題或填空題的形式考查．
(2)單獨(dú)考查三視圖問題，如2012年福建T4，湖南T3等．
(3)與空間幾何體的體積、表面積的求法相結(jié)合，考查三視圖的還原問題，如2012年新課標(biāo)全國T7，安徽T12，廣東T6，天津T10，遼寧T13等．
3.直觀圖的畫法作為一種圖技畫法融合于三視圖的還原問題中，高考幾乎不單獨(dú)命題.
[歸納知識(shí)整合]
1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
多面體
①棱柱的側(cè)棱都互相平行，上下底面是互相平行且全等的多邊形
②棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形
③棱臺(tái)可由平行于棱錐底面的平面截棱錐得到，其上下底面是相互平行且相似的多邊形
旋轉(zhuǎn)體
①圓柱可以由矩形繞其任一邊旋轉(zhuǎn)得到
②圓錐可以由直角三角形繞其一條直角邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到
③圓臺(tái)可以由直角梯形繞直角腰或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到
④球可以由半圓或圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)得到
[探究] 1.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱嗎？
提示：不一定．如圖所示，盡管幾何體滿足了兩個(gè)平面平行且其余各面都是平行四邊形，但不能保證每相鄰兩個(gè)側(cè)面的公共邊互相平行．
2．中心投影與平行投影
平行投影的投影線是平行的，而中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．在平行投影中投影線垂直于投影面的投影稱為正投影．
3．三視圖與直觀圖
三視圖
空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，它包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，其畫法規(guī)則是：長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等
直觀圖
空間幾何體的直觀圖常用斜二測(cè)畫法規(guī)則來畫，基本步驟是：
①畫幾何體的底面
在已知圖形中取互相垂直的x軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝45(或135)，已知圖形中平行x軸、y軸的線段在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸的線段．已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段，長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?
②畫幾何體的高
在已知圖形中過O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長(zhǎng)度不變
[探究] 2.正方體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖一定相同嗎？
提示：由于正視圖的方向沒確定，因此正視圖、側(cè)視圖、俯視圖不一定相同．
[自測(cè)牛刀小試]
1．用任意一個(gè)平面截一個(gè)幾何體，各個(gè)截面都是圓面，則這個(gè)幾何體一定是( )
A．圓柱
B．圓錐
C．球體
D．圓柱，圓錐，球體的組合體
解析：選C 由球的性質(zhì)可知，用平面截球所得的截面都是圓面．
2．(教材習(xí)題改編)如圖所示的幾何體是棱柱的有( )
A．②③⑤ B．③④⑤
C．③⑤ D．①③
解析：選C 根據(jù)棱柱結(jié)構(gòu)特征可知③⑤是棱柱．
3．(教材習(xí)題改編)已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，分析此幾何體的組成為( )
A．上面為棱臺(tái)，下面為棱柱
B．上面為圓臺(tái)，下面為棱柱
C．上面為圓臺(tái)，下面為圓柱
D．上面為棱臺(tái)，下面為圓柱
解析：選C 由三視圖可知，此幾何體由上面的圓臺(tái)和下面的圓柱組合而成的．
4．關(guān)于斜二測(cè)畫法所得直觀圖的說法正確的是( )
A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形
B．梯形的直觀圖是平行四邊形
C．正方形的直觀圖是菱形
D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形
解析：選D 由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，直角坐標(biāo)系變成了斜坐標(biāo)系，而平行性沒有改變，因此，只有D正確．
5．一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的________(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))．
①三棱錐 ②四棱錐?、廴庵、芩睦庵、輬A錐
⑥圓柱
解析：只要判斷正視圖是不是三角形就行了，畫出圖形容易知道三棱錐、四棱錐、圓錐一定可以，對(duì)于三棱柱，只需要放倒就可以了，所以①②③⑤均符合題目要求．
答案：①②③⑤
空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
[例1] 下列結(jié)論中正確的是( )
A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐
B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐
C．棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是六棱錐
D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任一點(diǎn)的連線都是母線
[自主解答] A錯(cuò)誤．如圖，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．
B錯(cuò)誤．如下圖，若△ABC不是直角三角形，或是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐。
C錯(cuò)誤．若六棱錐的所有棱都相等，則底面多邊形是正六形．但由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)．
[答案] D
———————————————————
求解空間幾何體概念辨析題的常用方法
(1)定義法，即嚴(yán)格按照空間幾何體的有關(guān)定義判斷．
(2)反例法，即通過舉反例來說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的．
1．下列命題中，正確的是( )
A．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱
B．側(cè)面都是等腰三角形的棱柱是正棱錐
C．側(cè)面都是矩形的四棱柱是長(zhǎng)方體
D．底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱
解析：選D 對(duì)于A，兩個(gè)側(cè)面是矩形并不能保證側(cè)棱與底面垂直，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，側(cè)面都是等腰三角形，不能確保此棱錐頂點(diǎn)在底面在底面的射影在底面正多邊形的中心上，且也不能保證底面是正多邊形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，側(cè)面是矩形不能保證底面也是矩形，因而C錯(cuò)誤．
空間幾何體的三視圖
[例2] (1)(2012湖南高考)某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不可能是( )
(2)(2012廈門質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體是( )
A．三棱錐 B．四棱錐
C．四棱臺(tái) D．三棱臺(tái)
[自主解答] (1)A圖是兩個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；B圖是一個(gè)四棱柱與一個(gè)圓柱的組合體的俯視圖；C圖是一個(gè)底面為等腰直角三角形的三棱柱與一個(gè)四棱柱的組合體的俯視圖，采用排除法，故選D.
(2)由三視圖可知，該幾何體是四棱錐(如圖所示)，且其中一條棱與底面垂直．
[答案] (1)D (2)B
———————————————————
由三視圖還原實(shí)物圖應(yīng)明確的兩個(gè)方面
(1)首先要熟悉柱、錐、臺(tái)、球的三視圖，較復(fù)雜的幾何體也是由這些簡(jiǎn)單幾何體組合而成的．
(2)要明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為實(shí)物圖．
2．已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同(其中AB＝AC，四邊形BCDE為矩形)，則該組合體的俯視圖可以是________(把你認(rèn)為正確的圖的序號(hào)都填上)．
解析：幾何體是四棱錐與四棱柱組成時(shí)，得①正確．幾何體由四棱錐與圓柱組成時(shí)，得②正確．幾何體由圓錐與圓柱組成時(shí)，得③正確．幾何體由圓錐與四棱柱組成時(shí)，得④正確．故填①②③④.
答案：①②③④
空間幾何體的直觀圖
[例3] 如圖所示，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，且△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求△ABC的面積．
[自主解答] 建立如圖所示的坐標(biāo)系xOy′，△A′B′C′的頂點(diǎn)C′在y′軸上，A′B′邊在x軸上，把y′軸繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45得y軸，在y軸上取點(diǎn)C使OC＝2OC′，A、B點(diǎn)即為A′、B′點(diǎn)，長(zhǎng)度不變．
已知A′B′＝A′C′＝a，在△OA′C′中，
由正弦定理得＝，
所以O(shè)C′＝a＝a，
所以原三角形ABC的高OC＝a，
所以S△ABC＝aa＝a2.
本例若改為“已知△ABC是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求其直觀圖△A′B′C′的面積，”應(yīng)如何求？
解：由斜二測(cè)畫法規(guī)則可知，直觀圖△A′B′C′一底邊上的高為a＝a，
故其面積S△A′B′C′＝aa＝a2.
———————————————————
平面圖形的直觀圖與原圖形面積的兩個(gè)關(guān)系
按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積有以下關(guān)系：
S直觀圖＝S原圖形，S原圖形＝2S直觀圖．
記住上述關(guān)系，解題時(shí)能起到事半功倍的作用．
3．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，則原圖形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．一般的平行四邊形
解析：選C 將直觀圖還原得?OABC，則
∵O′D′＝O′C′＝2(cm)，
OD＝2O′D′＝4(cm)，
C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2 (cm)，
OC＝＝＝6 (cm)，
OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，
故原圖形為菱形．
1種數(shù)學(xué)思想——轉(zhuǎn)化與化歸思想
利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解決棱臺(tái)、圓臺(tái)的有關(guān)問題
由棱臺(tái)和圓臺(tái)的定義可知棱臺(tái)和圓臺(tái)是分別用平行于棱錐和圓錐的底面的平面截棱錐和圓錐后得到的，所以在解決棱臺(tái)和圓臺(tái)的相關(guān)問題時(shí)，?！斑€臺(tái)為錐”，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．
1個(gè)疑難點(diǎn)——三視圖的還原問題
由三視圖還原幾何體是解答三視圖問題的重要手段和方法，在明確三視圖畫法規(guī)則的基礎(chǔ)上，按以下步驟可輕松解決：
3個(gè)注意事項(xiàng)——畫三視圖應(yīng)注意的三個(gè)問題
(1)若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，要注意實(shí)、虛線的畫法．
(2)確定正視、側(cè)視、俯視的方向，觀察同一物體方向不同，所畫的三視圖也不同．
(3)觀察簡(jiǎn)單組合體是由哪幾個(gè)簡(jiǎn)單幾何體組成的，并注意它們的組成方式，特別是它們的交線位置．
3個(gè)“變”與“不變”——斜二測(cè)畫法的要求
“三變”
“三不變”
易誤警示——三視圖識(shí)圖中的易誤辨析
[典例] (2012陜西高考)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為( )
[解析] 側(cè)視圖中能夠看到線段AD1，應(yīng)為實(shí)線，而看不到B1C，應(yīng)畫為虛線．由于AD1與B1C不平行，投影為相交線，故應(yīng)選B.
[答案] B
1．因?qū)θ晥D的原理認(rèn)識(shí)不到位，區(qū)分不清選項(xiàng)A和B，而易誤選A.
2．因?qū)θ晥D的畫法要求不明而誤選C或D.在畫三視圖時(shí)，分界線和可見輪廓線都用實(shí)線畫，被遮住的部分的輪廓線為虛線．
3．解答此類問題時(shí)，還易出現(xiàn)畫三視圖時(shí)對(duì)個(gè)別視圖表達(dá)不準(zhǔn)而不能畫出所要求的視圖．在復(fù)習(xí)時(shí)要明確三視圖的含義，掌握“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的要求．
若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是( )
解析：選B 由正視圖與俯視圖可以將選項(xiàng)A、C排除；根據(jù)側(cè)視圖，可以將D排除，注意正視圖與俯視圖中的實(shí)線．
一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1．(2012福建高考)一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是( )
A．球 B．三棱錐
C．正方體 D．圓柱
解析：選D 圓柱的三視圖，分別是矩形，圓，不可能三個(gè)視圖都一樣，而球的三視圖可以都是圓，三棱錐的三視圖可以都是三角形，正方體的三視圖可以都是正方形．
2．(2013西城模擬)有一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)( )
A．棱臺(tái) B．棱錐
C．棱柱 D．都不對(duì)
解析：選A 從俯視圖來看，上、下底面都是正方形，但大小不一樣，可以判斷是棱臺(tái)．
3．一梯形的直觀圖是一個(gè)如右圖所示的等腰梯形，且該梯形的面積為，則原梯形的面積為( )
A．2 B.
C．2 D．4
解析：選D 直觀圖為等腰梯形，若上底設(shè)為x，高設(shè)為y，
則S直觀圖＝y(tǒng)(x＋2y＋x)＝，
而原梯形為直角梯形，其面積S＝2y(x＋2y＋x)＝2＝4.
4．一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為( )
解析：選C 由正視圖和側(cè)視圖可知，該長(zhǎng)方體挖掉一個(gè)小長(zhǎng)方體后，相應(yīng)位置在俯視圖中應(yīng)為左下角位置，且可看見輪廓線，故選C.
5．一個(gè)錐體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，下面選項(xiàng)中，不可能是該錐體的俯視圖的是( )
解析：選C 若俯視圖是等邊三角形且為圖中的位置，則正視圖是等腰三角形，且高線是實(shí)線，故選C.
6．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其正視圖的面積等于8，俯視圖是一個(gè)面積為4的正三角形，則其側(cè)視圖的面積為( )
A．4 B．8
C．8 D．4
解析：選A 由三視圖知該幾何體是正三棱柱，設(shè)其底面邊長(zhǎng)為a，高為h，則其正視圖為矩形，矩形的面積S1＝ah＝8，俯視圖為邊長(zhǎng)為a的正三角形，三角形的面積S2＝a2＝4，則a＝4，h＝2，而側(cè)視圖為矩形，底邊為a，高為h，故側(cè)視圖的面積為S＝ah＝4.
二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)
7．以下四個(gè)命題：①正棱錐的所有側(cè)棱相等；②直棱柱的側(cè)面都是全等的矩形；③圓柱的母線垂直于底面；④用經(jīng)過旋轉(zhuǎn)軸的平面截圓錐，所得的截面一定是全等的等腰三角形．其中，真命題的序號(hào)為________．
解析：①③④均正確，對(duì)②，直棱柱的側(cè)面都是矩形而不一定全等，②錯(cuò)誤．
答案：①③④
8．一個(gè)幾何體是由若干個(gè)相同的小正方體組成的，其正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體最多可由________個(gè)這樣的小正方體組成．
解析：依題意可知這個(gè)幾何體最多可由9＋2＋2＝13個(gè)這樣的小正方體組成．
答案：13
9．正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)均為，其正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰三角形，則正視圖的周長(zhǎng)為________．
解析：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面PEF，其中E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接AO，易得AO＝，而PA＝，于是解得PO＝1，所以PE＝，故其正視圖的周長(zhǎng)為2＋2.
答案：2＋2
三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)
10．用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截這個(gè)圓錐，截得圓臺(tái)上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長(zhǎng)是3 cm，求圓臺(tái)的母線長(zhǎng)．
解：抓住軸截面，利用相似比，由底面積之比為1∶16，設(shè)半徑分別為r、4r.
設(shè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r、4r.根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得＝，解得l＝9.所以，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為9 cm.
11．已知：圖①是截去一個(gè)角的長(zhǎng)方體，試按圖示的方向畫出其三視圖；圖②是某幾何體的三視圖，試說明該幾何體的構(gòu)成．
解：圖①幾何體的三視圖為：
圖②所示的幾何體是上面為正六棱柱、下面為倒立的正六棱錐的組合體．
12．如圖所示的三幅圖中，圖(1)所示的是一個(gè)長(zhǎng)方體截去一個(gè)角所得多面體的直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖如圖(2)(3)所示(單位：cm)．
(1)在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；
(2)按照給出的數(shù)據(jù)，求該多面體的體積．
解：(1)如圖．
(2)所求多面體的體積V＝V長(zhǎng)方體－V正三棱錐＝446－2＝(cm3)．
1．給出下列命題：①在正方體上任意選擇4個(gè)不共面的頂點(diǎn)，它們可能是正四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；②底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；③若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．其中正確命題的序號(hào)是________．
解析：①正確，正四面體是每個(gè)面都是等邊三角形的四面體，如正方體ABCD－A1B1C1D1中的四面體A－CB1D1；②錯(cuò)誤，舉反例如圖所示，底面△ABC為等邊三角形，可令A(yù)B＝VB＝VC＝BC＝AC，則△VBC為等邊三角形，△VAB和△VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；③錯(cuò)誤，必須是相鄰的兩個(gè)側(cè)面．
答案：①
2．(2011江西高考)將長(zhǎng)方體截去一個(gè)四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為( )
解析：選D 被截去的四棱錐的三條可見側(cè)棱中有兩條為長(zhǎng)方體的面對(duì)角線，它們?cè)谟覀?cè)面上的投影與右側(cè)面(長(zhǎng)方形)的兩條邊重合，另一條為體對(duì)角線，它在右側(cè)面上的投影與右側(cè)面的對(duì)角線重合，對(duì)照各圖，只有選項(xiàng)D符合．
3．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PC與底面垂直．若該四棱錐的正視圖和側(cè)視圖都是腰長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，則該四棱錐中最長(zhǎng)的棱的長(zhǎng)度為( )
A．1 B.
C. D．2
解析：選C 在四棱錐P－ABCD中，連接AC，由正視圖和側(cè)視圖可得PC＝BC＝CD＝1，故AC＝，最長(zhǎng)的棱為PA＝＝.
4．(2011北京高考)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是( )
A．8 B．6
C．10 D．8
解析：選C 由三視圖可知，該幾何體的四個(gè)面都是直角三角形，面積分別為6,6，8,10，所以面積最大的是10.
[備考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
了解球體、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式).
1.多以選擇題或填空題的形式考查，有時(shí)也以解答題形式考查．
2.常以三視圖為載體考查幾何體的表面積或體積，如2012年安徽T12，廣東T6，浙江T11等．也可以給出幾何體的棱、面滿足的條件來計(jì)算表面積或體積，如2012年江蘇T7，山東T13.解答題(其中的一問)一般給出相關(guān)條件來判斷幾何體形狀特征(特別是幾何體的高)并計(jì)算體積或表面積，如2012年湖南T18(2)，湖北T19(2)等.
[歸納知識(shí)整合]
1．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
圓柱
圓錐
圓臺(tái)
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l
2.空間幾何體的表面積和體積公式
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝Sh
臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋) h
球
S＝4πR2
V＝πR3
[探究] 1.柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間有什么聯(lián)系？
提示：
2．如何求不規(guī)則幾何體的體積？
提示：常用方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法．通過計(jì)算轉(zhuǎn)化得到基本幾何體的體積來實(shí)現(xiàn)．
[自測(cè)牛刀小試]
1．棱長(zhǎng)為2的正四面體的表面積是( )
A. B．4
C．4 D．16
解析：選C 正四面體的各面為全等的正三角形，故其表面積S＝422＝4.
2．(2012上海高考)一個(gè)高為2的圓柱，底面周長(zhǎng)為2π，該圓柱的表面積為________．
解析：由已知條件得圓柱的底面半徑為1，所以S表＝S側(cè)＋2S底＝cl＋2πr2＝2π2＋2π＝6π.
答案：6π
3．(教材習(xí)題改編)一個(gè)球的半徑擴(kuò)大為原來的3倍，則表面積擴(kuò)大為原來的______倍；體積擴(kuò)大為原來的______倍．
解析：設(shè)原球的半徑為1，則半徑擴(kuò)大后半徑為3，
則S1＝4π，S2＝4π32＝36π，即＝9，所以表面積擴(kuò)大為原來的9倍．由V1＝π，V2＝π33＝12π，即＝27，所以體積擴(kuò)大為原來的27倍．
答案：9 27
4．(2012遼寧高考)一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________．
解析：由三視圖可知該組合體的上方是一個(gè)高為1，底面直徑為2的圓柱，下方是一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4、3、1的長(zhǎng)方體，如圖所示，它的體積V＝1π＋431＝12＋π.
答案：12＋π
5．(教材習(xí)題改編)如圖，用半徑為2的半圓形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒，那么這個(gè)圓錐筒的容積是________．
解析：由于半圓的圓弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)，若設(shè)圓錐底面圓半徑為r，則得2π＝2πr，解得r＝1，又圓錐的母線長(zhǎng)為2，所以高為，所以這個(gè)圓錐筒的容積為π12＝π.
答案：π
幾何體的表面積
[例1] (2012北京高考)某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的表面積是( )
A．28＋6 B．30＋6
C．56＋12 D．60＋12
[自主解答] 該三棱錐的直觀圖如圖所示．據(jù)俯視圖知，頂點(diǎn)P在底面上的投影D在棱AB上，且∠ABC＝90，
據(jù)正視圖知，AD＝2，BD＝3，PD＝4，
據(jù)側(cè)視圖知，BC＝4.
綜上所述，BC⊥平面PAB，PB＝＝5，
PC＝＝＝，
AC＝＝，
PA＝＝2.
∵PC＝AC＝，∴△PAC的邊AP上的高為
h＝ ＝6.
∴S△PAB＝ABPD＝10，S△ABC＝ABBC＝10，
S△PBC＝PBBC＝10，S△APC＝APh＝6.
故三棱錐的表面積為S△PAB＋S△ABC＋S△PBC＋S△APC＝30＋6.
[答案] B
———————————————————
由三視圖求幾何體表面積的方法步驟
―→―→
1．(2013馬鞍山模擬)如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則它的表面積為( )
A．4π B.
C．5π D.
解析：選D 由三視圖可知該幾何體是半徑為1的球被挖出了部分得到的幾何體，故表面積為4π12＋3π12＝π.
幾何體的體積
[例2] (1)(2012湖北高考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A. B．3π
C. D．6π
(2)(2012安徽高考)某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是________．
[自主解答] (1)由三視圖可知，該組合體上端為一圓柱的一半，下端為圓柱．其體積V＝π122＋π122＝3π.
(2)據(jù)三視圖可知，該幾何體是一個(gè)直四棱柱，其底面是直角梯形(兩底邊長(zhǎng)分別為2、5，直腰長(zhǎng)為4，即梯形的高為4)，高為4.∴該幾何體的體積為V＝44＝56.
[答案] (1)B (2)56
———————————————————
由三視圖求解幾何體體積的解題策略
以三視圖為載體考查幾何體的體積，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三視圖想象原幾何體的形狀構(gòu)成，并從三視圖中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，然后在直觀圖中求解．
2．(2012新課標(biāo)全國卷)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為( )
A．6 B．9
C．12 D．18
解析：選B 由三視圖可知該幾何體為底面是斜邊為6的等腰直角三角形高為3的三棱錐，其體積為633＝9.
3．某幾何體的三視圖如圖所示，則它的體積是( )
A．8－ B．8－
C．8－2π D.
解析：選A 圓錐的底面半徑為1，高為2，該幾何體體積為正方體體積減去圓錐體積，即V＝23－π122＝8－π.
與球有關(guān)的切、接問題
[例3] (2012新課標(biāo)全國卷)已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為( )
A. B.
C. D.
[自主解答] △ABC的外接圓的半徑r＝，點(diǎn)O到平面ABC的距離d＝＝.SC為球O的直徑，故點(diǎn)S到平面ABC的距離為2d＝，故棱錐的體積為V＝S△ABC2d＝＝.
[答案] A
———————————————————
與球有關(guān)的切、接問題的解題策略
解決球與其他幾何體的切、接問題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的．
4．已知正四棱錐的側(cè)棱與底面的邊長(zhǎng)都為3，則這個(gè)四棱錐的外接球的表面積為( )
A．12π B．36π
C．72π D．108π
解析：選B 依題意得，該正四棱錐的底面對(duì)角線的長(zhǎng)為3＝6，高為 ＝3，因此底面中心到各頂點(diǎn)的距離均等于3，所以該四棱錐的外接球的球心即為底面正方形的中心，其外接球的半徑為3，所以其外接球的表面積等于4π32＝36π.
3個(gè)步驟——求解與三視圖有關(guān)的幾何體的表面積、體積的解題步驟
3種方法——求空間幾何體體積的常用方法
(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算．
(2)等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易，或是求出一些體積比等．
(3)割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆指罨蜓a(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為可計(jì)算體積的幾何體．
1種數(shù)學(xué)思想——求旋轉(zhuǎn)體側(cè)面積中的轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法
計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時(shí)，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進(jìn)行，即將側(cè)面展開化為平面圖形，“化曲為直”來解決，因此要熟悉常見旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開圖的形狀及平面圖形面積的求法.
創(chuàng)新交匯——空間幾何體中體積的最值問題
1．求空間幾何體的體積一直是高考考查的重點(diǎn)，幾乎每年都考查，既可以與三視圖結(jié)合考查，又可以單獨(dú)考查．而求空間幾何體體積的最值問題，又常與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)交匯考查．
2．求解空間幾何體最值問題，可分為二步：第一步引入變量，建立關(guān)于體積的表達(dá)式；第二步以導(dǎo)數(shù)或基本不等式為工具求最值．
[典例] (2012湖北高考(節(jié)選))如圖1，∠ACB＝45，BC＝3，過動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC＝90(如圖2所示)．當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐A－BCD的體積最大？
[解] 如圖1所示的△ABC中，設(shè)BD＝x(0
0；當(dāng)x∈(1,3)時(shí)，f′(x)<0，
所以當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得最大值，即BD＝1時(shí)，
三棱錐A－BCD的體積最大．
法二：VA－BCD＝2x(3－x)(3－x)≤3＝，
當(dāng)且僅當(dāng)2x＝3－x，即x＝1時(shí)，取“＝”．
故當(dāng)BD＝1時(shí)，三棱錐A－BCD的體積最大．
解答此題的關(guān)鍵是恰當(dāng)引入變量x，即令BD＝x，結(jié)合位置關(guān)系列出體積的表達(dá)式，將求體積的最值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題．
如圖，動(dòng)點(diǎn)P在正方體ABCD－A1B1C1D1的對(duì)角線BD1上．過點(diǎn)P作垂直于平面BB1D1D的直線，與正方體表面相交于M，N.設(shè)BP＝x，MN＝y(tǒng)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致是( )
解析：選B 顯然，只有當(dāng)P移動(dòng)到中心O時(shí)，MN有唯一的最大值，淘汏選項(xiàng)A、C；P點(diǎn)移動(dòng)時(shí)，取AA1的中點(diǎn)E，CC1的中點(diǎn)Q，平面D1EBQ垂直于平面BB1D1D，且M、N兩點(diǎn)在菱形D1EBQ的邊界上運(yùn)動(dòng)，故x與y的關(guān)系應(yīng)該是線性的，淘汰選項(xiàng)D，選B.
一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面的半徑為( )
A．7 B．6
C．5 D．3
解析：選A 設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r，
則另一底面半徑為3r.
由S＝π(r＋3r)3＝84π，解得r＝7.
2．(2013長(zhǎng)春模擬)一個(gè)空間幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是一個(gè)直徑為1的圓，那么這個(gè)幾何體的全面積為( )
A.π B．2π
C．3π D．4π
解析：選A 依題意知，該幾何體是一個(gè)底面半徑為、高為1的圓柱，則其全面積為2π2＋2π1＝π.
3．(2012廣東高考)某幾何體的三視圖如圖所示，它的體積為( )
A．72π B．48π
C．30π D．24π
解析：選C 此幾何體由半個(gè)球體與一個(gè)圓錐組成，其體積V＝π33＋π32＝30π.
4．(2013廣州模擬)設(shè)一個(gè)球的表面積為S1，它的內(nèi)接正方體的表面積為S2，則的值等于( )
A. B.
C. D.
解析：選D 設(shè)球的半徑為R，其內(nèi)接正方體的棱長(zhǎng)為a，則易知R2＝a2，即a＝R，則＝＝.
5．一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )
A．48 B．32＋8
C．48＋8 D．80
解析：選C 由三視圖可知幾何體是一個(gè)放倒的直棱柱(最大的側(cè)面貼在地面上)，直觀圖如圖，底面是等腰梯形，其上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為4，
∴兩底面積和為2(2＋4)4＝24，
四個(gè)側(cè)面的面積為4(4＋2＋2)＝24＋8，
∴幾何體的表面積為48＋8.
6．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，將△ABC沿對(duì)角線AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到如圖所示的三棱錐B－ACD.若O為AC邊的中點(diǎn)，M，N分別為線段DC，BO上的動(dòng)點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，且BN＝CM.設(shè)BN＝x，則三棱錐N－AMC的體積y＝f(x)的函數(shù)圖象大致是( )
解析：選B 由平面ABC⊥平面ACD，且O為AC的中點(diǎn)可知，BO⊥平面ACD，易知BO＝2，故三棱錐N－AMC的高為ON＝2－x，S△AMC＝MCAD＝x，故三棱錐N－AMC的體積為y＝f(x)＝(2－x)x＝(－x2＋2x)(0
收藏