【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 直線的傾斜角與斜率直線的方程訓(xùn)練 理 新人教A版
[備考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式．
2.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直．
3.掌握確定直線位置的幾何要素；掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式等)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.
1.對(duì)直線的傾斜角和斜率概念的考查，很少單獨(dú)命題，但作為解析幾何的基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)時(shí)要加深理解．
2.對(duì)兩條直線平行或垂直的考查，多與其他知識(shí)結(jié)合考查，如2012年浙江T3等．
3.直線方程一直是高考考查的重點(diǎn)，且具有以下特點(diǎn)：
(1)一般不單獨(dú)命題，考查形式多與其他知識(shí)結(jié)合，以選擇題為主．
(2)主要是涉及直線方程和斜率.
[歸納知識(shí)整合]
1．直線的傾斜角與斜率
(1)直線的傾斜角
①一個(gè)前提：直線l與x軸相交；
一個(gè)基準(zhǔn)：取x軸作為基準(zhǔn)；
兩個(gè)方向：x軸正方向與直線l向上方向．
②當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定：它的傾斜角為0.
③傾斜角的取值范圍為[0，π)．
(2)直線的斜率
①定義：若直線的傾斜角θ不是90，則斜率k＝tan_α.
②計(jì)算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)確定的直線不垂直于x軸，則k＝.
[探究] 1.直線的傾角θ越大，斜率k就越大，這種說法正確嗎？
提示：這種說法不正確．由k＝tan θ知，當(dāng) θ∈時(shí)，θ越大，斜率越大且為正；當(dāng)θ∈時(shí)，θ越大，斜率也越大且為負(fù)．但綜合起來說是錯(cuò)誤的．
2．兩條直線的斜率與它們平行、垂直的關(guān)系
[探究] 2.兩條直線l1，l2垂直的充要條件是斜率之積為－1，這句話正確嗎？
提示：不正確，當(dāng)一條直線與x軸平行，另一條與y軸平行時(shí)，兩直線垂直，但一條直線斜率不存在．
3．直線方程的幾種形式
名稱
條件
方程
適用范圍
點(diǎn)斜式
斜率k與點(diǎn)(x0，y0)
y－y0＝
k(x－x0)
不含直線x＝x0
斜截式
斜率k與截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式
兩點(diǎn)
(x1，y1)，
(x2，y2)
不含直線x＝x1(x1＝x2)和直線y＝y(tǒng)1(y1＝y(tǒng)2)
截距式
截距a與b
＋＝1
不含垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線
一般式
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用
[探究] 3.過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線是否一定可用兩點(diǎn)式方程表示？
提示：當(dāng)x1＝x2，或y1＝y(tǒng)2時(shí)，由兩點(diǎn)式方程知分母此時(shí)為零，所以不能用兩點(diǎn)式方程表示．
[自測(cè)牛刀小試]
1．(教材習(xí)題改編)若直線x＝2的傾斜角為α，則α( )
A．等于0 B．等于
C．等于 D．不存在
解析：選C 因?yàn)橹本€x＝2垂直于x軸，故其傾斜角為.
2．(教材習(xí)題改編)過點(diǎn)M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為( )
A．1 B．4
C．1或3 D．1或4
解析：選A 由題意知，＝1，解得m＝1.
3．過兩點(diǎn)(0,3)，(2,1)的直線方程為( )
A．x－y－3＝0 B．x＋y－3＝0
C．x＋y＋3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：選B 直線斜率為＝－1，
其方程為y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
4．直線l的傾斜角為30，若直線l1∥l，則直線l1的斜率k1＝________；若直線l2⊥l，則直線l2的斜率k2＝__________.
解析：∵l1∥l2，∴kl1＝tan 30＝.
∵l2⊥l，∴kl2＝－＝－.
答案：?。?
5．已知A(3,5)，B(4,7)，C(－1，x)三點(diǎn)共線，則x等于________．
解析：因?yàn)閗AB＝＝2，kAC＝＝－.
A，B，C三點(diǎn)共線，所以kAB＝kAC，即－＝2，
解得x＝－3.
答案：－3
直線的傾斜角和斜率
[例1] (1)直線xsin α＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是( )
A．[0，π) B.∪
C. D.∪
(2)已知兩點(diǎn)A(m，n)，B(n，m)(m≠n)，則直線AB的傾斜角為________；
(3)直線l過點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為________．
[自主解答] (1)設(shè)直線的傾斜角為θ，則有tan θ＝－sin α，其中sin α∈[－1,1]．又θ∈[0，π)，所以0≤θ ≤或≤ θ<π.
(2)設(shè)直線AB的傾斜角為θ，斜率為k，則
k＝tan θ＝＝－1.
又θ∈[0，π)，
所以θ＝.
(3)如右圖，∵kAP＝＝1，
kBP＝＝－，
∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．
[答案] (1)B (2) (3)(－∞，－ ]∪[1，＋∞)
若將P(1,0)改為P(－1,0)，其他條件不變，求直線l的斜率的取值范圍．
解：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，)，
∴kPA＝＝，kPB＝＝.
借助圖形可知，直線l的斜率的取值范圍為.
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斜率的求法
(1)定義法：若已知直線的傾斜角α或α的某種三角函數(shù)值，一般根據(jù)k＝tan α求斜率；
(2)公式法：若已知直線上兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根據(jù)斜率公式k＝(x1≠x2)求斜率．
1．直線l：xsin 30＋ycos 150＋1＝0的斜率是( )
A. B.
C．－ D．－
解析：選A 設(shè)直線l的斜率為k，
則k＝－＝.
2．若直線l與直線y＝1，x＝7分別交于點(diǎn)P，Q，且線段PQ的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，則直線l的斜率為( )
A. B．－
C．－ D.
解析：選B 設(shè)P(x,1)，Q(7，y)，則x＋7＝2,1＋y＝－2，
解得x＝－5，y＝－3，從而kl＝＝－.
直線的平行與垂直的判斷及應(yīng)用
[例2] 若直線ax＋2y－6＝0與x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，則a＝________.
[自主解答] 因?yàn)閮芍本€平行，
所以有a(a－1)＝2，
即a2－a－2＝0，解得a＝2或a＝－1.
[答案] 2或－1
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用一般式確定兩直線位置關(guān)系的方法
直線方程
l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)
l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1與l2垂直
的充要條件
A1A2＋B1B2＝0
l1與l2平行
的充分條件
＝≠(A2B2C2≠0)
l1與l2相交
的充分條件
≠(A2B2≠0)
l1與l2重合
的充分條件
＝＝(A2B2C2≠0)
3．已知l1的傾斜角為45，l2經(jīng)過點(diǎn)P(－2，－1)，Q(3，m)，若l1⊥l2，則實(shí)數(shù)m＝________.
解析：k1＝tan 45＝1，k2＝，
∵l1⊥l2，∴k2＝＝－1，解得m＝－6.
答案：－6
4．已知過點(diǎn)A(－2，m)，B(m,4)的直線與直線2x＋y－1＝0平行，則m的值為________．
解析：由題意知，kAB＝＝－2，
解得m＝－8.
答案：－8
直 線 方 程
[例3] (1)在等腰三角形AOB中，AO＝AB，點(diǎn)O(0,0)，A(1,3)，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，則直線AB的方程為( )
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)
C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
(2)直線l經(jīng)過點(diǎn)P(3,2)且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)．△OAB的面積為12，則直線l的方程是________________________________________________．
[自主解答] (1)因?yàn)锳O＝AB，所以直線AB的斜率與直線AO的斜率互為相反數(shù)，所以kAB＝－kOA＝－3，所以直線AB的點(diǎn)斜式方程為：y－3＝－3(x－1)．
(2)法一：設(shè)直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)．
則有＋＝1，且ab＝12.
解得a＝6，b＝4.
所以所求直線l的方程為＋＝1，
即2x＋3y－12＝0.
法二：設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－3)(k<0)，
令x＝0，得y＝2－3k>0；
令y＝0，得x＝3－>0.
所以S△OAB＝(2－3k)＝12，解得k＝－，
故所求直線方程為y－2＝－(x－3)，即2x＋3y－12＝0.
[答案] (1)D (2)2x＋3y－12＝0
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求直線方程的常用方法
(1)直接法：根據(jù)已知條件，選擇恰當(dāng)形式的直線方程，直接求出方程中系數(shù)，寫出直線方程．
(2)待定系數(shù)法：先根據(jù)已知條件設(shè)出直線方程．再根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于待定系數(shù)的方程(組)求系數(shù)，最后代入求出直線方程．
5．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
(1)BC所在直線的方程；
(2)BC邊上中線AD所在直線的方程；
(3)BC邊的垂直平分線DE的方程．
解：(1)因?yàn)橹本€BC經(jīng)過B(2,1)和C(－2,3)兩點(diǎn)，由兩點(diǎn)式得BC的方程為＝，即x＋2y－4＝0.
(2)設(shè)BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)(x，y)，則
x＝＝0，y＝＝2.
BC邊的中線AD過點(diǎn)A(－3,0)，D(0,2)兩點(diǎn)，由截距式得AD所在直線方程為＋＝1，即2x－3y＋6＝0.
(3)BC的斜率k1＝－，則BC的垂直平分線DE的斜率k2＝2，由點(diǎn)斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0)，即2x－y＋2＝0.
1個(gè)關(guān)系——直線的傾斜角和斜率的關(guān)系
(1)任何的直線都存在傾斜角，但并不是任意的直線都存在斜率．
(2)直線的傾斜角α和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：
α
0
0<α<90
90
90<α<180
k
0
k>0
不存在
k<0
3個(gè)注意點(diǎn)——與直線方程的適用條件、截距、斜率有關(guān)問題的注意點(diǎn)
(1)明確直線方程各種形式的適用條件
點(diǎn)斜式斜截式方程適用于不垂直于x軸的直線；兩點(diǎn)式方程不能表示垂直于x、y軸的直線；截距式方程不能表示垂直于坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線．在應(yīng)用時(shí)要結(jié)合題意選擇合適的形式，在無特殊要求下一般化為一般式．
(2)截距不是距離，距離是非負(fù)值，而截距可正可負(fù)，可為零，在與截距有關(guān)的問題中，要注意討論截距是否為零．
(3)求直線方程時(shí)，若不能斷定直線是否具有斜率時(shí)，應(yīng)注意分類討論，即應(yīng)對(duì)斜率存在與否加以討論.
易誤警示——有關(guān)直線方程中“極端”情況的易誤點(diǎn)
[典例] (2013常州模擬)過點(diǎn)P(－2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線l的方程為_______________________________．
[解析] 當(dāng)截距不為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為
＋＝1，即x＋y－a＝0.
∵點(diǎn)P(－2,3)在直線l上，∴－2＋3－a＝0，
∴a＝1，所求直線l的方程為x＋y－1＝0.
當(dāng)截距為0時(shí)，設(shè)所求直線方程為y＝kx，則有
3＝－2k，即k＝－，
此時(shí)直線l的方程為y＝－x，即3x＋2y＝0.
綜上，直線l的方程為x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.
[答案] x＋y－1＝0或3x＋2y＝0
1．因忽略截距為“0”的情況，導(dǎo)致求解時(shí)漏掉直線方程3x＋2y＝0而致錯(cuò)，所以可以借助幾何法先判斷，再求解，避免漏解．
2．在選用直線方程時(shí)，常易忽視的情況還有：
(1)選用點(diǎn)斜式與斜截式時(shí)忽視斜率不存在的情況；
(2)選用兩點(diǎn)式方程時(shí)忽視與x軸垂直的情況及與y軸垂直的情況．
已知直線l過(2,1)，(m,3)兩點(diǎn)，則直線l的方程為________________．
解析：當(dāng)m＝2時(shí)，直線l的方程為x＝2；
當(dāng)m≠2時(shí)，直線l的方程為＝，
即2x－(m－2)y＋m－6＝0.
因?yàn)閙＝2時(shí)，方程2x－(m－2)y＋m－6＝0，
即為x＝2，
所以直線l的方程為2x－(m－2)y＋m－6＝0.
答案：2x－(m－2)y＋m－6＝0
一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)
1．(2013秦皇島模擬)直線x＋y＋1＝0的傾斜角是( )
A. B.
C. D.
解析：選D 由直線的方程得直線的斜率為k＝－，設(shè)傾斜角為α，則tan α＝－，所以α＝.
2．已知點(diǎn)A(1，－2)，B(m,2)，且線段AB垂直平分線的方程是x＋2y－2＝0，則實(shí)數(shù)m的值是( )
A．－2 B．－7
C．3 D．1
解析：選C 由已知kAB＝2，即＝2，解得m＝3.
3．若直線經(jīng)過點(diǎn)(1,1)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為2，則這樣的直線共有( )
A．4條 B．3條
C．2條 D．1條
解析：選B 作圖易得在第一、二、四象限各能圍成一個(gè)．
4．(2013銀川模擬)已知直線l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，則l1∥l2的充要條件是a等于( )
A．3 B．1
C．－1 D．3或－1
解析：選C 由題意知，l1∥l2?＝≠，
即a＝－1.
5．直線2x－my＋1－3m＝0，當(dāng)m變化時(shí)，所有直線都過定點(diǎn)( )
A. B.
C. D.
解析：選D 原方程可化為(2x＋1)－m(y＋3)＝0，令解得x＝－，y＝－3，故所有直線都過定點(diǎn).
6．設(shè)a，b，c分別是△ABC中角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，則直線xsin A＋ay＋c＝0與直線bx－ysin B＋sin C＝0的位置關(guān)系是( )
A．平行 B．重合
C．垂直 D．相交但不垂直
解析：選C 由已知得a≠0，sin B≠0，所以兩條直線的斜率分別為k1＝－，k2＝，由正弦定理得k1k2＝－＝－1，所以兩條直線垂直．
二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)
7．若直線l的斜率為k，傾斜角為α，而α∈∪，則k的取值范圍是________________．
解析：當(dāng)α∈時(shí)，k＝tan α∈；
當(dāng)α∈時(shí)，k＝tan α∈[－，0)．
綜上k∈[－，0)∪.
答案：[－，0)∪
8．已知直線x－ky＋1＝0與直線y＝kx－1平行，則k的值為________．
解析：若兩直線平行，則k＝，解得k＝1.
答案：1
9．(2013皖南八校聯(lián)考)已知直線a2x＋y＋2＝0與直線bx－(a2＋1)y－1＝0互相垂直，則|ab|的最小值為________．
解析：∵兩直線互相垂直，∴a2b－(a2＋1)＝0且a≠0，
∴a2b＝a2＋1，
∴ab＝＝a＋，
∴|ab|＝＝|a|＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝1時(shí)取等號(hào))．
答案：2
三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)
10．設(shè)直線l的方程為x＋my－2m＋6＝0，根據(jù)下列條件分別確定m的值：
(1)直線l的斜率為1；
(2)直線l在x軸上的截距為－3.
解：(1)因?yàn)橹本€l的斜率存在，所以m≠0，于是直線l的方程可化為y＝－x＋.由題意得－＝1，解得m＝－1.
(2)法一：令y＝0，得x＝2m－6.由題意得2m－6＝－3，解得m＝.
法二：直線l的方程可化為x＝－my＋2m－6.由題意得2m－6＝－3，解得m＝.
11．已知兩點(diǎn)A(－1,2)，B(m,3)．
(1)求直線AB的方程；
(2)已知實(shí)數(shù)m∈，求直線AB的傾斜角α的取值范圍．
解：(1)當(dāng)m＝－1時(shí)，直線AB的方程為x＝－1，
當(dāng)m≠－1時(shí)，直線AB的方程為y－2＝(x＋1)．
(2)①當(dāng)m＝－1時(shí)，α＝.
②當(dāng)m≠－1時(shí)，m＋1∈∪，
即k＝∈(－∞，－ ]∪，
所以α∈∪.
綜合①②知，直線AB的傾斜角α的取值范圍為.
12．如圖，射線OA，OB分別與x軸正半軸成45和30角，過點(diǎn)P(1,0)作直線AB分別交OA，OB于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)AB的中點(diǎn)C恰好落在直線y＝x上時(shí)，求直線AB的方程．
解：由題意可得kOA＝tan 45＝1，
kOB＝tan(180－30)＝－，
所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－x.
設(shè)A(m，m)，B(－n，n)，
所以AB的中點(diǎn)C，
由點(diǎn)C在y＝x上，且A，P，B三點(diǎn)共線得
解得m＝，所以A(， )．
又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝.
所以lAB：y＝(x－1)，
即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0.
1．直線l過點(diǎn)(－1,2)且與直線3y＝2x＋1垂直，則l的方程是( )
A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0
C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析：選A 法一：設(shè)所求直線l的方程為3x＋2y＋C＝0，則3(－1)＋22＋C＝0，得C＝－1，即l的方程為3x＋2y－1＝0.
法二：由題意知，l的斜率是k＝－，則直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
2．直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(－3,3)，則其斜率的取值范圍是( )
A．－1
1或k<
C．k>或k<1 D．k>或k<－1
解析：選D 設(shè)直線的斜率為k，則直線方程為y－2＝k(x－1)，令y＝0，得直線l在x軸上的截距為1－，
則－3<1－<3，解得k>或k<－1.
3．已知A(3,0)，B(0,4)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)在線段AB上移動(dòng)，則xy的最大值等于________．
解析：∵線段AB的方程為＋＝1(0≤x≤3)，
∴y＝4－x，代入xy得xy＝－x2＋4x＝－2＋3，∴由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)x＝時(shí)，xy的最大值等于3.
答案：3
4．已知直線l過點(diǎn)P(3,2)，且與x軸、y軸的正半軸分別交于A，B兩點(diǎn)，如右圖所示，求△ABO的面積的最小值及此時(shí)直線l的方程．
解：法一：設(shè)A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)，則直線l的方程為＋＝1，
∵l過點(diǎn)P(3,2)，∴＋＝1，b＝.
從而S△ABO＝ab＝a＝.
故有S△ABO＝
＝(a－3)＋＋6
≥2 ＋6＝12，
當(dāng)且僅當(dāng)a－3＝，
即a＝6時(shí)，(S△ABO)min＝12，
此時(shí)b＝＝4.
故所求直線l的方程為＋＝1，
即2x＋3y－12＝0.
法二：設(shè)直線方程為＋＝1(a>0，b>0)，
代入P(3,2)，得＋＝1≥2 ，
得ab≥24，從而S△AOB＝ab≥12，
當(dāng)且僅當(dāng)＝時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)k＝－＝－，
故所求直線l的方程為2x＋3y－12＝0.
法三：依題意知，直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x－3)(k<0)，
則有A，B(0,2－3k)，
則S△AOB＝(2－3k)
＝
≥＝(12＋12)＝12，
當(dāng)且僅當(dāng)－9k＝，即k＝－時(shí)，等號(hào)成立．
故所求直線l的方程為2x＋3y－12＝0.
法四：如右圖所示，過P分別作x軸，y軸的垂線PM，PN，垂足分別為M，N.
設(shè)θ＝∠PAM＝∠BPN，
則S△AOB＝S△PBN＋S四邊形NPMO＋S△PMA
＝33tan θ＋6＋22
＝6＋tan θ＋
≥6＋2 ＝12，
當(dāng)且僅當(dāng)tan θ＝，
即tan θ＝時(shí)，S△AOB＝12，此時(shí)直線l的斜率為－，其方程為2x＋3y－12＝0.
[備考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)．
2.掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式、會(huì)求兩條平行直線間的距離.
1.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)一般是不單獨(dú)命題的，常作為知識(shí)點(diǎn)出現(xiàn)在相關(guān)的位置關(guān)系中．
2.兩點(diǎn)間距離公式是解析幾何的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離公式是高考考查的重點(diǎn)，一般將這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)結(jié)合直線與圓或圓錐曲線的問題中來考查.
[歸納知識(shí)整合]
1．兩條直線的交點(diǎn)
設(shè)兩條直線的方程為l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組
的解，
(1)若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；
(2)若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行，反之，亦成立．
[探究] 1.如何用兩直線的交點(diǎn)判斷兩直線的位置關(guān)系？
提示：當(dāng)兩條直線有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩直線相交；沒有交點(diǎn)時(shí)，兩條直線平行，有無數(shù)個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩條直線重合．
2．距離
點(diǎn)P1(x1，y1)，
P2(x2，y2)之間的距離
|P1P2|＝
點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離
d＝
兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離
d＝
[探究] 2.使用點(diǎn)到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？
提示：使用點(diǎn)到直線距離公式時(shí)要注意將直線方程化為一般式．使用兩條平行線間距離公式時(shí)，要將兩直線方程化為一般式且x、y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．
[自測(cè)牛刀小試]
1．(教材習(xí)題改編)原點(diǎn)到直線x＋2y－5＝0的距離是( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：選D d＝＝.
2．點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在y軸上，線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(3,4)，則AB的長(zhǎng)為( )
A．10 B．5
C．8 D．6
解析：選A 設(shè)A(a,0)，B(0，b)，則a＝6，b＝8，即A(6,0)，B(0,8)．所以|AB|＝＝＝10.
3．若三條直線2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一點(diǎn)，則b＝( )
A．－1 B．－
C．2 D.
解析：選B 由得
將其代入x＋by＝0，得b＝－.
4．已知直線l1與l2：x＋y－1＝0平行，且l1與l2的距離是，則直線l1的方程為________．
解析：設(shè)直線l1的方程為x＋y＋λ＝0，則
＝＝，解得λ＝1或λ＝－3.即直線l1的方程為x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.
答案：x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0
5．點(diǎn)(2,3)關(guān)于直線x＋y＋1＝0的對(duì)稱點(diǎn)是________．
解析：設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為(a，b)，則
解得
答案：(－4，－3)
兩條直線的交點(diǎn)問題
[例1] (1)經(jīng)過直線l1：x＋y＋1＝0與直線l2：x－y＋3＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：2x－y＋2＝0垂直的直線l的方程是________________．
(2)已知兩直線l1：mx＋8y＋n＝0與l2：2x＋my－1＝0，若l1與l2相交，則實(shí)數(shù)m，n滿足的條件是__________．
[自主解答] (1)法一：由方程組
解得即點(diǎn)P(－2,1)，
∵l3⊥l，∴k＝－，
∴直線l的方程為y－1＝－(x＋2)，即x＋2y＝0.
法二：∵直線l過直線l1和l2的交點(diǎn)，
∴可設(shè)直線l的方程為x＋y＋1＋λ(x－y＋3)＝0，
即(1＋λ)x＋(1－λ)y＋1＋3λ＝0.
∵l與l3垂直，∴2(1＋λ)－(1－λ)＝0，解得λ＝－.
∴直線l的方程為x＋y＝0，即x＋2y＝0.
(2)因?yàn)閮芍本€l1與l2相交，所以當(dāng)m＝0時(shí)，l1的方程為y＝－，l2的方程為x＝，兩直線相交，此時(shí)m，n滿足條件m＝0，n∈R；
當(dāng)m≠0時(shí)，由兩直線相交．
所以≠，解得m≠4，此時(shí)，m，n滿足條件m≠4，n∈R.
[答案] (1)x＋2y＝0 (2)m≠4，n∈R
若將本例(1)中條件“垂直”改為“平行”，試求l的方程．
解：由方程組解得
即點(diǎn)P(－2，1)．
又l∥l3，即k＝2，故直線l的方程為y－1＝2(x＋2)，
即2x－y＋5＝0.
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經(jīng)過兩條直線交點(diǎn)的直線方程的設(shè)法
經(jīng)過兩相交直線A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0的交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(這個(gè)直線系方程中不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0)或m(A1x＋B1y＋C1)＋n(A2x＋B2y＋C2)＝0.
1．設(shè)直線l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中實(shí)數(shù)k1，k2滿足k1k2＋2＝0.
(1)證明l1與l2相交；
(2)證明l1與l2的交點(diǎn)在橢圓2x2＋y2＝1上．
證明：(1)反證法：假設(shè)l1與l2不相交，則l1與l2平行，則有k1＝k2，代入k1k2＋2＝0得k＝k＝－2，顯然不成立，與已知矛盾，從而k1≠k2，即l1與l2相交．
(2)由方程組
解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
而2x2＋y2＝22＋2
＝
＝＝1，
即交點(diǎn)P(x，y)在橢圓2x2＋y2＝1上．
距離公式的應(yīng)用
[例2] 已知點(diǎn)P(2，－1)．
(1)求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；
(2)求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？
(3)是否存在過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
[自主解答] (1)過P點(diǎn)的直線l與原點(diǎn)距離為2，而P點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－1)，可見，
過P(2，－1)且垂直于x軸的直線滿足條件，
此時(shí)l的斜率不存在，其方程為x＝2.
若斜率存在，設(shè)l的方程為y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由已知得＝2，解得k＝.
此時(shí)l的方程為3x－4y－10＝0.
綜上，可得直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.
(2)作圖可得過P點(diǎn)與原點(diǎn)O的距離最大的直線是過P點(diǎn)且與PO垂直的直線，如圖．
由l⊥OP，得klkOP＝－1，
所以kl＝－＝2.
由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，
即2x－y－5＝0.
即直線2x－y－5＝0是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為＝.
(3)由(2)可知，過P點(diǎn)不存在到原點(diǎn)距離超過的直線，
因此不存在過P點(diǎn)且到原點(diǎn)距離為6的直線．
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求兩條平行線間距離的兩種思路
(1)利用“化歸”法將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離．
(2)利用兩平行線間的距離公式．
2．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直線l：4x＋3y－2＝0，在坐標(biāo)平面內(nèi)求一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，且點(diǎn)P到直線l的距離為2.
解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，b)．∵A(4，－3)，B(2，－1)，
∴線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，－2)．而AB的斜率kAB＝＝－1，
∴線段AB的垂直平分線方程為y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.
∵點(diǎn)P(a，b)在上述直線上，
∴a－b－5＝0.①
又點(diǎn)P(a，b)到直線l：4x＋3y－2＝0的距離為2，∴＝2，
即4a＋3b－2＝10，②
由①②聯(lián)立可得或
∴所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，－4)或.
對(duì) 稱 問 題
[例3] 已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)．求：
(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程．
[自主解答] (1)設(shè)A′(x，y)，再由已知
解得
故A′.
(2)在直線m上取一點(diǎn)，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)M′必在直線m′上．
設(shè)對(duì)稱點(diǎn)M′(a，b)，則
得M′.
設(shè)直線m與直線l的交點(diǎn)為N，則
由
得N(4,3)．
又∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，
∴由兩點(diǎn)式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0.
———————————————————
求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱問題的基本方法
(1)已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的連線與對(duì)稱軸垂直；
(2)已知點(diǎn)與對(duì)稱點(diǎn)的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上．
利用以上兩點(diǎn)建立方程組可求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題．
3．直線y＝2x是△ABC的一個(gè)內(nèi)角平分線所在的直線，若點(diǎn)A(－4,2)，B(3,1)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
解：把A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y＝2x知，A，B不在直線y＝2x上，因此y＝2x為∠ACB的平分線，設(shè)點(diǎn)A(－4,2)關(guān)于y＝2x的對(duì)稱點(diǎn)為A′(a，b)，則kAA′＝，線段AA′的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∵
解得∴A′(4，－2)．
∵y＝2x是∠ACB平分線所在直線的方程，∴A′在直線BC上，∴直線BC的方程為＝，即3x＋y－10＝0.
由解得∴C(2,4)．
1條規(guī)律——與已知直線垂直及平行的直線系的設(shè)法
與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直線方程可設(shè)為：
(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0；
(2)平行：Ax＋By＋n＝0.
1種思想——轉(zhuǎn)化思想在對(duì)稱問題中的應(yīng)用
一般地，對(duì)稱問題包括點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，直線關(guān)于直線的對(duì)稱等情況，上述各種對(duì)稱問題最終化歸為點(diǎn)的對(duì)稱問題來解決．
2個(gè)注意點(diǎn)——判斷直線位置關(guān)系及運(yùn)用兩平行直線間的距離公式的注意點(diǎn)
(1)在判斷兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，首先應(yīng)分析直線的斜率是否存在．兩條直線都有斜率，可根據(jù)判定定理判斷，若直線無斜率時(shí)，要單獨(dú)考慮；
(2)運(yùn)用兩平行直線間的距離公式d＝的前提是將兩方程中的x，y的系數(shù)化為分別相等.
創(chuàng)新交匯——新定義下的直線方程問題
1．直線方程是高考的?？純?nèi)容，但一般不單獨(dú)考查，常與圓、圓錐曲線、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合，以交匯創(chuàng)新的形式出現(xiàn)在高考中．
2．解決新定義下的直線方程的問題，難點(diǎn)是對(duì)新定義的理解和運(yùn)用，關(guān)鍵是要分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程中．
[典例] (2013上海模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，定義[OP]＝|x|＋|y|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
對(duì)于以下結(jié)論：①符合[OP]＝1的點(diǎn)P的軌跡圍成的圖形的面積為2；
②設(shè)P為直線x＋2y－2＝0上任意一點(diǎn)，則[OP]的最小值為1；
其中正確的結(jié)論有________(填上你認(rèn)為正確的所有結(jié)論的序號(hào))．
[解析] ①由[OP]＝1，根據(jù)新定義得，|x|＋|y|＝1，上式可化為y＝－x＋1(0≤x≤1)，y＝－x－1(－1≤x≤0)，y＝x＋1(－1≤x≤0)，y＝x－1(0≤x≤1)，畫出圖象如圖所示．根據(jù)圖形得到四邊形ABCD為邊長(zhǎng)是的正方形，所以面積等于2，故①正確；
②當(dāng)點(diǎn)P為時(shí)，[OP]＝|x|＋|y|＝＋0<1，所以[OP]的最小值不為1，故②錯(cuò)誤；所以正確結(jié)論有①.
[答案] ①
1．本題有以下創(chuàng)新點(diǎn)
(1)考查內(nèi)容的創(chuàng)新，對(duì)解析幾何問題與函數(shù)知識(shí)巧妙地結(jié)合創(chuàng)新．
(2)考查新定義、新概念的理解和運(yùn)用的同時(shí)考查思維的創(chuàng)新，本題考查了學(xué)生的發(fā)散思維，思維方向與思維習(xí)慣有所不同．
2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn)
(1)根據(jù)新定義，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關(guān)系式，畫出分段函數(shù)的圖象，即可求出該圖形的面積；
(2)認(rèn)真觀察直線方程，可舉一個(gè)反例，得到[OP]的最小值為1是假命題．
3．在解決新概念、新定義的創(chuàng)新問題時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)
(1)充分理解概念、定理的內(nèi)涵與外延；
(2)對(duì)于新概念、新結(jié)論要具體化，舉幾個(gè)具體的例子，代入幾個(gè)特殊值；(3)注意新概念、新結(jié)論的正用會(huì)怎樣，逆用會(huì)怎樣，變形用又將會(huì)如何．
四邊形OABC的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(6,2)，B(4,6)，C(2,6)，直線y＝kx把四邊形OABC分成兩部分，S表示靠近x軸一側(cè)那部分的面積．
(1)求S＝f(k)的函數(shù)表達(dá)式；
(2)當(dāng)k為何值時(shí)，直線y＝kx將四邊形OABC分為面積相等的兩部分．
解：(1)如圖所示，由題意得kOB＝.
①當(dāng)4或m<－4 B．－43或m<－3 D．－34或m<－4.
二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分)
7．已知坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)A(x，－x)和B，那么這兩點(diǎn)之間距離的最小值是________．
解析：d＝ ＝ ≥.
即最小值為.
答案：
8．與直線x－y－2＝0平行，且它們的距離為2的直線方程是________________．
解析：設(shè)與直線x－y－2＝0平行的直線方程為x－y＋c＝0，則2＝，得c＝2或c＝－6，即所求直線方程為x－y＋2＝0或x－y－6＝0.
答案：x－y＋2＝0或x－y－6＝0
9．平面上三條直線x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果這三條直線將平面劃分為六部分，則實(shí)數(shù)k的所有取值為________(將你認(rèn)為所有正確的序號(hào)都填上)．
①0 ?、凇 、? ?、? ?、?
解析：三條直線將平面分為6部分，則這三條直線相交于一點(diǎn)或有且只有兩條平行，經(jīng)驗(yàn)證可知，當(dāng)k＝0,1,2時(shí)均符合題意．
答案：①③④
三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分)
10．過點(diǎn)P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點(diǎn)P平分，求直線l的方程．
解：設(shè)l1與l的交點(diǎn)為A(a,8－2a)，
則由題意知，點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
解得a＝4，即點(diǎn)A(4,0)在直線l上，
所以直線l的方程為x＋4y－4＝0.
11．光線從A(－4，－2)點(diǎn)射出，到直線y＝x上的B點(diǎn)后被直線y＝x反射到y(tǒng)軸上的C點(diǎn)，又被y軸反射，這時(shí)反射光線恰好過點(diǎn)D(－1,6)，求BC所在的直線方程．
解：作出草圖，如圖所示，設(shè)A關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)為A′，D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為D′，則易得A′(－2，－4)，D′(1,6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直線經(jīng)過點(diǎn)B與C.
故BC所在的直線方程為＝，即10x－3y＋8＝0.
12．已知直線l經(jīng)過直線2x＋y－5＝0與x－2y＝0的交點(diǎn)P，
(1)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；
(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值．
解：(1)∵經(jīng)過兩已知直線交點(diǎn)的直線系方程為
(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，
∴＝3，解得λ＝2或λ＝.
∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.
(2)由解得交點(diǎn)P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離，
則d≤|PA|(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)．
∴dmax＝|PA|＝.
1．記直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直時(shí)m的取值集合為M，直線x＋ny＋3＝0與直線nx＋4y＋6＝0平行時(shí)n的取值集合為N，則M∪N＝________.
解析：當(dāng)直線(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直時(shí)，m滿足(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝0，解得m＝或m＝－2，
故M＝；
直線x＋ny＋3＝0與直線nx＋4y＋6＝0平行，當(dāng)n＝0時(shí)，顯然兩直線不平行；當(dāng)n≠0時(shí)，兩直線平行的充要條件是＝≠，即n＝－2，所以N＝{－2}．
故M∪N＝.
答案：
2．已知 A(3,1)、B(－1,2)，若∠ACB的平分線在y＝x＋1上，則AC所在直線方程是________________．
解析：設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線y＝x＋1對(duì)稱的點(diǎn)A′為(x0，y0)，
則解得 即A′(0,4)．
故直線A′B的方程為2x－y＋4＝0.
由得
即C(－3，－2)．
故直線AC的方程為x－2y－1＝0.
答案：x－2y－1＝0
3．已知直線l過點(diǎn)P(3,1)且被兩平行線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的線段長(zhǎng)為5，求直線l的方程．
解：法一：若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，
此時(shí)與l1，l2的交點(diǎn)分別是A(3，－4)，B(3，－9)，
截得的線段長(zhǎng)|AB|＝|－4＋9|＝5，符合題意．
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線l的方程為y＝k(x－3)＋1，
分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立，
由解得A.
由解得B.
由兩點(diǎn)間的距離公式，得
2＋2＝25，
解得k＝0，即所求直線方程為y＝1.
綜上可知，直線l的方程為x＝3或y＝1.
法二：設(shè)直線l與l1，l2分別相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0.
兩式相減，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5.①
又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25，②
聯(lián)立①②可得或
由上可知，直線l的傾斜角分別為0和90，
故所求的直線方程為x＝3或y＝1.
法三：因?yàn)閮善叫芯€間的距離
d＝＝，
如圖，直線l被兩平行線截得的線段為5，
設(shè)直線l與兩平行線的夾為角θ，則sin θ＝，
所以θ＝45.
因?yàn)閮善叫芯€的斜率是－1，
故所求直線的斜率不存在或?yàn)榱悖?
又因?yàn)橹本€l過點(diǎn)D(3,1)，
所以直線l的方程為x＝3或y＝1.
4．已知直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，且點(diǎn)A(1,3)到直線l的距離為，求直線l的方程．
解：(1)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，可設(shè)方程為x＋y＋m＝0(m≠0)，
由已知＝，解得m＝－2或m＝－6，
故所求的直線方程為x＋y－2＝0或x＋y－6＝0.
(2)當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，可設(shè)方程為y＝kx，
由已知＝，解得k＝1或k＝－7，
故所求的直線方程為x－y＝0或7x＋y＝0.
綜上，所求的直線方程為
x＋y－2＝0或x＋y－6＝0或x－y＝0或7x＋y＝0.
[備考方向要明了]
考 什 么
怎 么 考
1.掌握確定圓的幾何要素．
2.掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.
圓的方程、圓心坐標(biāo)、半徑、圓的性質(zhì)等是高考考查圓的基礎(chǔ)知識(shí)時(shí)最常涉及的要素．大多以選擇題或填空題的形式考查，有時(shí)也會(huì)穿插在解答題中，如2012年江蘇T12等.
[歸納知識(shí)整合]
1．圓的定義
(1)在平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓．
(2)確定一個(gè)圓的要素是圓心和半徑．
2．圓的方程
(1)標(biāo)準(zhǔn)方程
①兩個(gè)條件：圓心(a，b)，半徑r；
②標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)圓的一般方程
①一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；
②方程表示圓的充要條件為：D2＋E2－4F>0；
③圓心坐標(biāo)，半徑r＝.
[探究] 1.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圓嗎？
提示：不一定．只有當(dāng)D2＋E2－4F>0時(shí)，上述方程才表示圓．
2．如何實(shí)現(xiàn)圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化？
提示：一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程互化，可用下圖表示：
3．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
(1)理論依據(jù)：點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系．
(2)三個(gè)結(jié)論
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)
①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上；
②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外；
③(x0－a)2＋(y0－b)21 D．k<－1或k>4
解析：選D 由(2k)2＋42－4(3k＋8)＝4(k2－3k－4)>0，解得k<－1或k>4.
3．若點(diǎn)(2a，a＋1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，則a的取值范圍是( )
A．－10)，
則
解得D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝－5.
∴所求圓的方程為x2＋y2－4x－2y－5＝0.
(2)根據(jù)題意可知圓心坐標(biāo)為(－1,0)，圓的半徑長(zhǎng)為＝，故所求圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2.
[答案] (1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10) (2)(x＋1)2＋y2＝2
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求圓的方程的兩種方法
求圓的方程時(shí)，應(yīng)根據(jù)條件選用合適的圓的方程，一般來說，求圓的方程有兩種方法：
①幾何法，通過研究圓的性質(zhì)進(jìn)而求出圓的基本量．
1．求下列圓的方程：
(1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)；
(2)過三點(diǎn)A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解：(1)法一：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：過切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線為
y＋2＝x－3.
與y＝－4x聯(lián)立可得圓心為(1，－4)，
所以半徑r＝＝2.
故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一：設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
則
解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95，
所以所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二：由A(1,12)，B(7,10)得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(4,11)，
kAB＝－，則AB的中垂線方程為3x－y－1＝0.
同理得AC的中垂線方程為x＋y－3＝0.
聯(lián)立得
即圓心坐標(biāo)為(1,2)，半徑r＝＝10，
所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝100.
與圓有關(guān)的最值問題
[例2] 已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0，求：
(1)的最大值和最小值；
(2)y－x的最大值和最小值；
(3)x2＋y2的最大值和最小值．
[自主解答] (1)原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2,0)為圓心，為半徑的圓，的幾何意義是圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，所以設(shè)＝k，即y＝kx.
當(dāng)直線y＝kx與圓相切時(shí)，斜率k取最大值或最小值，此時(shí)＝，解得k＝.
所以的最大值為，最小值為－.
(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切時(shí)，縱截距b取得最大值或最小值，此時(shí)＝，解得b＝－2.
所以y－x的最大值為－2＋，最小值為－2－.
(3)x2＋y2表示圓上的一點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方，由平面幾何知識(shí)知，在原點(diǎn)與圓心連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處取得最大值和最小值．
又圓心到原點(diǎn)的距離為＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋)2＝7＋4，
x2＋y2的最小值是(2－)2＝7－4.
本例條件不變，求點(diǎn)P(x，y)到直線3x＋4y＋12＝0的距離的最大值和最小值．
解：∵圓心(2,0)到直線3x＋4y＋12＝0的距離為d＝＝，
∴P(x，y)到直線3x＋4y＋