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1、,*,單擊此處編輯母版標題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級,第三級,第四級,第五級,第三章 靜磁場,恒定電流所激發(fā)的靜磁場,1,主要內(nèi)容,超導(dǎo)體的電磁性質(zhì),阿哈羅夫玻姆,(,Aharonov-Bohm,),效應(yīng),磁多極矩,磁標勢,矢勢及其微分方程,2,1,矢勢及其微分方程,3,在給定的傳導(dǎo)電流附近可能存在一些磁性物質(zhì)，在電流的磁場作用下，物質(zhì)磁化而出現(xiàn)磁化電流，它反過來又激發(fā)附加的磁場。磁化電流和磁場互相約制。,與解決靜電學(xué)問題一樣，求微分方程邊值問題的解。,4,恒定電流磁場的基本方程,J,是自由電流密度。上兩式結(jié)合物質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解磁場問題的基礎(chǔ),。,1,、,矢勢,5,靜電場是有源
2、無旋場，電場線從正電荷出發(fā)而止于負電荷，永不閉合，可以引入標勢來描述。,靜磁場則是有旋無源場，磁感應(yīng)線總是閉合曲線，一般可以引入另一個矢量來描述。,由于特性上的顯著差異，描述磁場和電場的方法就有所不同。,6,則,B,可表為另一矢量的旋度,若,根據(jù)矢量分析的定理,A,稱為磁場的矢勢,7,矢勢,A,的意義：,通過曲面,S,的磁通量,把,B,對任一個以回路,L,為邊界的曲面,S,積分,8,設(shè),S,1,和,S,2,是兩個有共同邊界,L,的曲面，則,9,這正是,B,的無源性的表示。因為是無源的，在,S,1,和,S,2,所包圍的區(qū)域內(nèi)沒有磁感應(yīng)線發(fā)出，也沒有磁感應(yīng)線終止，,B,線連續(xù)的通過該區(qū)域，因而通過
3、曲面,S,1,的磁通量必須等于通過曲面,S,2,的磁通量。這磁通量由矢勢,A,對,S,1,或,S,2,的邊界的環(huán)量表示。,10,因此，矢勢,A,的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。,只有,A,的環(huán)量才有物理意義，而每點上的值沒有直接的物理意義,。,11,其中,B,0,為常量。,例：設(shè)有沿,Z,軸方向的均勻磁場,12,由定義式,13,有解,另一解,14,因為任意函數(shù),的梯度和旋度恒為零，故有,即,A+,與,A,對應(yīng)于同一個磁場,B,。,A,的這種任意性是由于只有,A,的環(huán)量才有物理意義，而每點上的,A,本身沒有直接的物理意義。,15,由,A,的這種任意性，為
4、了方便，我們可以對它加上一定的限制條件即輔助條件,對于上式總可以找到一個,A,適合,16,證明：,設(shè)有某一解不滿足上式,另取一解,17,A,的散度為,取,為泊松方程,的一個解，就得證。對,A,所加的輔助條件稱為規(guī)范條件。,18,2,、,矢勢微分方程,在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把,B,=,H,和,B,=,A,代入式,H,=,J,，,得矢勢,A,的微分方程,19,由矢量分析公式,若取,A,滿足規(guī)范條件,A,=0,，,得矢勢的微分方程,20,A,的每個直角分量,A,i,滿足泊松方程,形式與靜電場,的方程相同,21,對比靜電場的解得矢勢方程的特解,式中,x,是源點,x,為場點，,r,為由,x,到,x,的距離。
5、上式也是第一章中由畢奧薩伐爾定律導(dǎo)出的公式,從畢奧薩伐爾定律可以證明上式滿足規(guī)范條件，因此，該式確實是微分方程的解。,22,把磁場的散度和旋度作為基本規(guī)律，從微分方程出發(fā)引入矢勢,A,，由,A,的方程獲得特解，即可求得,B,。,23,過渡到線電流情形，設(shè),I,為導(dǎo)線上的電流強度，作代換,J,d,V,I,d,l,，,得,這就是畢奧薩伐爾定律。,24,3,、,矢勢邊值關(guān)系,當全空間的電流分布,J,給定時，可以計算磁場。對于電流和磁場互相制約的問題，則必須解矢勢微分方程的邊值問題。,25,磁場邊值關(guān)系可以化為矢勢,A,的邊值關(guān)系，對于非鐵磁介質(zhì)，矢勢的邊值關(guān)系為,在兩介質(zhì)分界面上磁場的邊值關(guān)系為,2
6、6,在分界面兩側(cè)取一狹長回路，計算,A,對此狹長回路的積分。回路短邊長度趨于零,上述邊值關(guān)系式也可以用較簡單的形式代替。,27,由于回路面積趨于零，有,因此,28,若取規(guī)范,A,=0,，,可得,即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢,A,是連續(xù)的。,所以,29,4,、,靜磁場的能量,在靜磁場中，可以用矢勢和電流表示總能量。由,B,=,A,磁場的總能量,30,則,和靜電情形一樣，此式僅對總能量有意義，不能把,A,J,/2,看作能量密度，因為我們知道能量分布于磁場內(nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。,31,在上式中，矢勢,A,是電流分布,J,本身激發(fā)的。如果我們要計算某電流分布,J,在給定外磁場中的相互作用能量，
7、以,A,e,表示外磁場的矢勢，,J,e,表示產(chǎn)生該外磁場的電流分布，則總電流分布為,J,+,J,e,，,總磁場矢勢為,A,+,A,e,。,32,此式減去,J,和,J,e,分別單獨存在時的能量之后，得電流,J,在外場中的相互作用能,33,由于,因此電流,J,在外場,A,e,中的相互作用能量為,34,例,1,無窮長直導(dǎo)線載電流,I,，求磁場的矢勢和磁感應(yīng)強度。,35,設(shè),P,點到導(dǎo)線的垂直距離為,R,電流元,I,d,z,到,P,點的距離為,積分是發(fā)散的。計算兩點的矢勢差值可以免除發(fā)散。,解,利用,得,36,若取,R,0,點的矢勢為零，計算可得,37,取,A,的旋度得磁感應(yīng)強度,38,例,2,半徑為
8、,a,的導(dǎo)線園環(huán)載電流,I,，,求矢勢和磁感應(yīng)強度,39,解,線圈電流產(chǎn)生的矢勢為,40,用球坐標,(,R,),，,由對稱性可知,A,只有,分量，,A,只依賴于,R,而與,無關(guān)。因此我們可以選定在,xz,面上的一點,P,來計算，在該點上,A,=,A,y,。取,y,分量。由于,41,則得,上式的積分可用橢園積分表示。當,時，可以較簡單的計算出近似結(jié)果。,42,把根式對,若我們要計算,B,(,R,),到二級近似。則,A,需要算到三級項。,展開。在積分表達式中展開式的偶次項對,積分為零，因此只需保留奇次項。,43,包括遠場,此式的適用范圍是,和近軸場,44,我們計算近軸場。這種情況下用柱坐標,(,z),較為方便。展開式實際上是對,取至,3,項，有,取,A,的旋度,，,得,的展開式。,45,上式對任意,z,處的近軸場成立。若求近原點處的場,z,a,，,可把上式再對,z,/,a,展開，得,46,
電動力學(xué)三一(矢勢及其微分方程)
