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1、,*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),第三章 靜磁場(chǎng),恒定電流所激發(fā)的靜磁場(chǎng),1,主要內(nèi)容,超導(dǎo)體的電磁性質(zhì),阿哈羅夫玻姆,(,Aharonov-Bohm,),效應(yīng),磁多極矩,磁標(biāo)勢(shì),矢勢(shì)及其微分方程,2,1,矢勢(shì)及其微分方程,3,在給定的傳導(dǎo)電流附近可能存在一些磁性物質(zhì)，在電流的磁場(chǎng)作用下，物質(zhì)磁化而出現(xiàn)磁化電流，它反過(guò)來(lái)又激發(fā)附加的磁場(chǎng)。磁化電流和磁場(chǎng)互相約制。,與解決靜電學(xué)問(wèn)題一樣，求微分方程邊值問(wèn)題的解。,4,恒定電流磁場(chǎng)的基本方程,J,是自由電流密度。上兩式結(jié)合物質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解磁場(chǎng)問(wèn)題的基礎(chǔ),。,1,、,矢勢(shì),5,靜電場(chǎng)是有源
2、無(wú)旋場(chǎng)，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)而止于負(fù)電荷，永不閉合，可以引入標(biāo)勢(shì)來(lái)描述。,靜磁場(chǎng)則是有旋無(wú)源場(chǎng)，磁感應(yīng)線總是閉合曲線，一般可以引入另一個(gè)矢量來(lái)描述。,由于特性上的顯著差異，描述磁場(chǎng)和電場(chǎng)的方法就有所不同。,6,則,B,可表為另一矢量的旋度,若,根據(jù)矢量分析的定理,A,稱為磁場(chǎng)的矢勢(shì),7,矢勢(shì),A,的意義：,通過(guò)曲面,S,的磁通量,把,B,對(duì)任一個(gè)以回路,L,為邊界的曲面,S,積分,8,設(shè),S,1,和,S,2,是兩個(gè)有共同邊界,L,的曲面，則,9,這正是,B,的無(wú)源性的表示。因?yàn)槭菬o(wú)源的，在,S,1,和,S,2,所包圍的區(qū)域內(nèi)沒(méi)有磁感應(yīng)線發(fā)出，也沒(méi)有磁感應(yīng)線終止，,B,線連續(xù)的通過(guò)該區(qū)域，因而通過(guò)
3、曲面,S,1,的磁通量必須等于通過(guò)曲面,S,2,的磁通量。這磁通量由矢勢(shì),A,對(duì),S,1,或,S,2,的邊界的環(huán)量表示。,10,因此，矢勢(shì),A,的物理意義是它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過(guò)以該回路為界的任一曲面的磁通量。,只有,A,的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的值沒(méi)有直接的物理意義,。,11,其中,B,0,為常量。,例：設(shè)有沿,Z,軸方向的均勻磁場(chǎng),12,由定義式,13,有解,另一解,14,因?yàn)槿我夂瘮?shù),的梯度和旋度恒為零，故有,即,A+,與,A,對(duì)應(yīng)于同一個(gè)磁場(chǎng),B,。,A,的這種任意性是由于只有,A,的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的,A,本身沒(méi)有直接的物理意義。,15,由,A,的這種任意性，為
4、了方便，我們可以對(duì)它加上一定的限制條件即輔助條件,對(duì)于上式總可以找到一個(gè),A,適合,16,證明：,設(shè)有某一解不滿足上式,另取一解,17,A,的散度為,取,為泊松方程,的一個(gè)解，就得證。對(duì),A,所加的輔助條件稱為規(guī)范條件。,18,2,、,矢勢(shì)微分方程,在均勻線性介質(zhì)內(nèi)。把,B,=,H,和,B,=,A,代入式,H,=,J,，,得矢勢(shì),A,的微分方程,19,由矢量分析公式,若取,A,滿足規(guī)范條件,A,=0,，,得矢勢(shì)的微分方程,20,A,的每個(gè)直角分量,A,i,滿足泊松方程,形式與靜電場(chǎng),的方程相同,21,對(duì)比靜電場(chǎng)的解得矢勢(shì)方程的特解,式中,x,是源點(diǎn),x,為場(chǎng)點(diǎn)，,r,為由,x,到,x,的距離。
5、上式也是第一章中由畢奧薩伐爾定律導(dǎo)出的公式,從畢奧薩伐爾定律可以證明上式滿足規(guī)范條件，因此，該式確實(shí)是微分方程的解。,22,把磁場(chǎng)的散度和旋度作為基本規(guī)律，從微分方程出發(fā)引入矢勢(shì),A,，由,A,的方程獲得特解，即可求得,B,。,23,過(guò)渡到線電流情形，設(shè),I,為導(dǎo)線上的電流強(qiáng)度，作代換,J,d,V,I,d,l,，,得,這就是畢奧薩伐爾定律。,24,3,、,矢勢(shì)邊值關(guān)系,當(dāng)全空間的電流分布,J,給定時(shí)，可以計(jì)算磁場(chǎng)。對(duì)于電流和磁場(chǎng)互相制約的問(wèn)題，則必須解矢勢(shì)微分方程的邊值問(wèn)題。,25,磁場(chǎng)邊值關(guān)系可以化為矢勢(shì),A,的邊值關(guān)系，對(duì)于非鐵磁介質(zhì)，矢勢(shì)的邊值關(guān)系為,在兩介質(zhì)分界面上磁場(chǎng)的邊值關(guān)系為,2
6、6,在分界面兩側(cè)取一狹長(zhǎng)回路，計(jì)算,A,對(duì)此狹長(zhǎng)回路的積分。回路短邊長(zhǎng)度趨于零,上述邊值關(guān)系式也可以用較簡(jiǎn)單的形式代替。,27,由于回路面積趨于零，有,因此,28,若取規(guī)范,A,=0,，,可得,即在兩介質(zhì)分界面上，矢勢(shì),A,是連續(xù)的。,所以,29,4,、,靜磁場(chǎng)的能量,在靜磁場(chǎng)中，可以用矢勢(shì)和電流表示總能量。由,B,=,A,磁場(chǎng)的總能量,30,則,和靜電情形一樣，此式僅對(duì)總能量有意義，不能把,A,J,/2,看作能量密度，因?yàn)槲覀冎滥芰糠植加诖艌?chǎng)內(nèi)，而不僅僅存在于電流分布區(qū)域內(nèi)。,31,在上式中，矢勢(shì),A,是電流分布,J,本身激發(fā)的。如果我們要計(jì)算某電流分布,J,在給定外磁場(chǎng)中的相互作用能量，
7、以,A,e,表示外磁場(chǎng)的矢勢(shì)，,J,e,表示產(chǎn)生該外磁場(chǎng)的電流分布，則總電流分布為,J,+,J,e,，,總磁場(chǎng)矢勢(shì)為,A,+,A,e,。,32,此式減去,J,和,J,e,分別單獨(dú)存在時(shí)的能量之后，得電流,J,在外場(chǎng)中的相互作用能,33,由于,因此電流,J,在外場(chǎng),A,e,中的相互作用能量為,34,例,1,無(wú)窮長(zhǎng)直導(dǎo)線載電流,I,，求磁場(chǎng)的矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度。,35,設(shè),P,點(diǎn)到導(dǎo)線的垂直距離為,R,電流元,I,d,z,到,P,點(diǎn)的距離為,積分是發(fā)散的。計(jì)算兩點(diǎn)的矢勢(shì)差值可以免除發(fā)散。,解,利用,得,36,若取,R,0,點(diǎn)的矢勢(shì)為零，計(jì)算可得,37,取,A,的旋度得磁感應(yīng)強(qiáng)度,38,例,2,半徑為
8、,a,的導(dǎo)線園環(huán)載電流,I,，,求矢勢(shì)和磁感應(yīng)強(qiáng)度,39,解,線圈電流產(chǎn)生的矢勢(shì)為,40,用球坐標(biāo),(,R,),，,由對(duì)稱性可知,A,只有,分量，,A,只依賴于,R,而與,無(wú)關(guān)。因此我們可以選定在,xz,面上的一點(diǎn),P,來(lái)計(jì)算，在該點(diǎn)上,A,=,A,y,。取,y,分量。由于,41,則得,上式的積分可用橢園積分表示。當(dāng),時(shí)，可以較簡(jiǎn)單的計(jì)算出近似結(jié)果。,42,把根式對(duì),若我們要計(jì)算,B,(,R,),到二級(jí)近似。則,A,需要算到三級(jí)項(xiàng)。,展開(kāi)。在積分表達(dá)式中展開(kāi)式的偶次項(xiàng)對(duì),積分為零，因此只需保留奇次項(xiàng)。,43,包括遠(yuǎn)場(chǎng),此式的適用范圍是,和近軸場(chǎng),44,我們計(jì)算近軸場(chǎng)。這種情況下用柱坐標(biāo),(,z),較為方便。展開(kāi)式實(shí)際上是對(duì),取至,3,項(xiàng)，有,取,A,的旋度,，,得,的展開(kāi)式。,45,上式對(duì)任意,z,處的近軸場(chǎng)成立。若求近原點(diǎn)處的場(chǎng),z,a,，,可把上式再對(duì),z,/,a,展開(kāi)，得,46,
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