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1、數(shù)學(xué) 概 率 第四章 統(tǒng)計(jì)與概率 1 事件的分類 事件 類 型 定 義 概率 必然事件 一定會(huì) 發(fā) 生的事件 1 不可能事 件 一定不會(huì)發(fā)生的事件 0 隨機(jī)事件 在一定條件下可能發(fā)生也可 能不發(fā)生的事件 0 1之間 2. 概率 ：一 般地 ， 表示一個(gè)隨機(jī)事件 A 發(fā)生的可能性大小的 __ __ ， 叫做 這個(gè)隨機(jī)事件 A 發(fā)生的概率 3 概率的計(jì)算 (1) 公式法 ：對(duì)于簡(jiǎn)單的事件直接用公式法計(jì)算即可； P ( A ) 事件 A 發(fā)生的可能的結(jié)果總數(shù) 所有可能的結(jié)果總數(shù) . 數(shù)值 (2) 用頻率估算概率 ：一般地 ， 在大量重復(fù)試驗(yàn)下 ， 隨機(jī)事件 A 發(fā)生的頻 率
2、 __ m n __( 這里 n 是總試驗(yàn)次數(shù) ， 它必須相當(dāng)大 ， m 是在 n 次試驗(yàn)中事件 A 發(fā) 生的次數(shù) ) 會(huì)穩(wěn)定到某個(gè)常數(shù) p . 于是 ， 我們用 p 這個(gè)常數(shù)表示事件 A 發(fā)生的概 率 ， 即 P ( A ) p ； (3) 列表法 ：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩步計(jì)算時(shí) ， 且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí) ， 可采用列表法列出所有可能的結(jié)果 ， 再根據(jù) P ( A ) m n 計(jì)算概率； (4) 畫樹狀圖 ：當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩步或兩步以上的計(jì)算時(shí) ， 可采用畫樹狀 圖表示所有可能的結(jié)果 ， 再根據(jù) P ( A ) m n 計(jì)算概率 1 列舉法求概率的一般步驟為： ( 1
3、) 判斷使用列表或 畫 樹 狀 圖 方法：列表法一般適用于兩步 計(jì) 算；畫 樹 狀 圖 法適合于兩步及兩步以上求概率； ( 2 ) 不重不漏的列 舉 出所有事件出 現(xiàn) 的可能 結(jié) 果 ， 并判定每種事件 發(fā) 生的 可能性是否相等； ( 3 ) 確定所有可能出 現(xiàn) 的 結(jié) 果數(shù) n 及所求事件 A 出 現(xiàn) 的 結(jié) 果數(shù) m ； ( 4 ) 用公式 P ( A ) m n 求事件 A 發(fā) 生的概率 2 頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系 ( 1 ) 區(qū) 別 ：概率是用來(lái)表示一個(gè)隨機(jī)事件 發(fā) 生的可能性的大小 ， 只要有一 個(gè)隨機(jī)事件存在 ， 就有一個(gè)概率存在 ， 而 頻 率是通 過(guò)試驗(yàn) 得到的
4、 ， 它隨著 試 驗(yàn) 次數(shù)的 變 化而 變 化； ( 2 ) 聯(lián) 系：當(dāng) 試驗(yàn) 次數(shù)充分大 時(shí) ， 頻 率 穩(wěn) 定在概率的附近 擺動(dòng) ， 為 了求出 一個(gè)隨機(jī)事件的概率 ， 通常需要大量的重復(fù) 試驗(yàn) ， 用所得的 頻 率來(lái)估 計(jì) 隨機(jī) 事件的概率 1 ( 2015 龍巖 ) 下列事件中 ， 屬于隨機(jī)事件的是 ( ) A. 63 的值比 8 大 B 購(gòu)買一張彩票 ， 中獎(jiǎng) C 地球自轉(zhuǎn)的同時(shí)也在繞日公轉(zhuǎn) D 袋中只有 5 個(gè)黃球 ， 摸出一個(gè)球是白球 2 ( 2015 柳州 ) 小張拋一枚質(zhì)地均勻的硬幣 ， 出現(xiàn)正面朝上的可能 性是 ( ) A 25 %
5、 B 50% C 75% D 85% B B 3 ( 2015 泰安 ) 如圖 ， 在方格紙中 ， 隨機(jī)選擇標(biāo)有序號(hào) 中的 一個(gè)小正方形涂黑 ， 與圖中陰影部分構(gòu)成軸對(duì)稱圖形的概率是 ( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 4 ( 2015 海南 ) 某校幵展 “ 文明小衛(wèi)士 ” 活動(dòng) ， 從學(xué)生會(huì) “ 督查部 ” 的 3 名學(xué)生 (2 男 1 女 ) 中隨機(jī)選兩名進(jìn)行督導(dǎo) ， 恰好選中兩名男學(xué)生的概率是 ( ) A. 1 3 B. 1 9 C. 2 3 D. 2 9 C A 5 (2015南通 )在一個(gè)不
6、透明的盒子中裝有 a個(gè)除顏色外完全相同 的球 ， 這 a個(gè)球中只有 3個(gè)紅球 ， 若每次將球充分?jǐn)噭蚝?， 任意摸 出 1個(gè)球記下顏色再放回盒子通過(guò)大量重復(fù)試驗(yàn)后 ， 發(fā)現(xiàn)摸到紅 球的頻率穩(wěn)定在 20%左右 ， 則 a的值約為 ( ) A 12 B 15 C 18 D 21 B 【 例 1】 (2015鹽城 )下列事件中 ， 是必然事件的為 ( ) A 3天內(nèi)會(huì)下雨 B 打開電視機(jī) ， 正在播放廣告 C 367人中至少有 2人公歷生日相同 D 某婦產(chǎn)醫(yī)院里 ， 下一個(gè)出生的嬰兒是女孩 【 點(diǎn)評(píng) 】 在一定條件下 ， 可能 發(fā) 生也可能不 發(fā) 生的事件 ， 稱 為 隨機(jī)事
7、件 事件分 為 確定事件和不確定事件 (隨機(jī)事件 )， 確定事件 又分 為 必然事件和不可能事件 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 1 (2015福建 )在一個(gè)不透明的盒子里裝有 3個(gè)黑球和 1個(gè)白球 ， 每個(gè)球除顏色外都相同 ， 從中任意摸出 2個(gè)球 ， 下列事件中 ， 不可 能事件是 ( ) A 摸出的 2個(gè)球都是白球 B 摸出的 2個(gè)球有一個(gè)是白球 C 摸出的 2個(gè)球都是黑球 D 摸出的 2個(gè)球有一個(gè)黑球 C A 【例 2 】 ( 1) ( 2015 遂寧 ) 一個(gè)不透明的布袋中 ， 放有 3 個(gè)白球 ， 5 個(gè)紅球 ， 它們除顏 色外完全相同 ， 從中隨機(jī)摸取 1 個(gè) ， 摸到紅球的概率是 (
8、 ) A. 5 8 B. 1 5 C. 3 8 D. 1 3 (2) ( 2015 蘇州 ) 如圖 ， 轉(zhuǎn)盤中 8 個(gè)扇形的面積都相等 ， 任意轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤 1 次 ， 當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí) ， 指針指向 大于 6 的數(shù)的概率為 ____ A 1 4 【點(diǎn)評(píng)】 利用公式求概率 ， 關(guān) 鍵 是找出在一次 試驗(yàn) 中所有可能的 結(jié) 果 總 數(shù) ， 以及事件本身所包含的 結(jié) 果數(shù) 如果一個(gè)事件有 n 種可能 ， 而且 這 些 事件的可能性相同 ， 其中事件 A 出 現(xiàn) m 種 結(jié) 果 ， 那么事件 A 的概率 P ( A ) m n . 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 2 ( 1) ( 2015
9、 梅州 ) 一個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組有 4 名女生 ， 6 名男生 ， 現(xiàn)要從這 10 名學(xué)生中選出一人擔(dān)任組長(zhǎng) ， 則女生當(dāng)選組長(zhǎng)的概率是 ___ (2) ( 2015 南寧 ) 一個(gè)不透明的口袋中有 5 個(gè)完全相同的小球 ， 把它們分別 標(biāo)號(hào)為 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 隨機(jī)提取一個(gè)小球 ， 則取出的小球標(biāo)號(hào)是奇數(shù)的概 率是 __ __ 2 5_ 3 5 【例 3 】 ( 2015 玉林 ) 現(xiàn)有三張反面朝上的撲克牌：紅桃 2 、紅桃 3 、黑 桃 x(1 x 13 且 x 為奇數(shù)或偶數(shù) ) 把牌洗勻后第一次抽取一張 ， 記好花色 和數(shù)字后將牌放回 ， 重新洗勻第二次再
10、抽取 一張 (1) 求兩次抽得相同花色的概率； (2) 當(dāng)甲選擇 x 為奇數(shù) ， 乙選擇 x 為偶數(shù)時(shí) ， 他們兩次抽得的數(shù)字和是奇 數(shù)的可能性大小一樣嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由 ( 提示：三張撲克牌可以分別簡(jiǎn)記為紅 2 、紅 3 、黑 x) 解： ( 1 ) 如圖 ， 所有可能的結(jié)果有 9 種 ， 兩次抽得相同花色的可能性有 5 種 ， P ( 相同花色 ) 59 ， 兩次抽得相同花色的概率為： 59 ( 2 ) 他們兩次 抽得的數(shù)字和是奇數(shù)的可能性大小一樣 ， x 為奇數(shù) ， 兩次 抽得的數(shù)字和是奇數(shù)的可能性有 4 種 ， P ( 甲 ) 4 9 ， x 為偶數(shù) ， 兩次抽得
11、的 數(shù)字和是奇數(shù)的可能性有 4 種 ， P ( 乙 ) 4 9 ， P ( 甲 ) P ( 乙 ) ， 他們兩次抽得 的數(shù)字和是奇數(shù)的可能性大小一樣 . 【點(diǎn)評(píng)】 用 樹 狀 圖 或列表的方法來(lái)求事件的概率是： 要 認(rèn) 真弄清 題 意 ， 分清是 “ 一步 實(shí)驗(yàn) ” 還 是 “ 兩步或兩步以上 實(shí)驗(yàn) ” ； 要在所有等可能 的 結(jié) 果中 ， 仔 細(xì)篩選 出適合 題 意的 結(jié) 果個(gè)數(shù) ， 代入 “ P ( A ) 事件 A 發(fā) 生的可能的 結(jié) 果 總 數(shù) 所有可能的 結(jié) 果 總 數(shù) ” 中求出概率 ， 謹(jǐn) 防出 錯(cuò) 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 3 ( 2015 丹東 ) 一個(gè)
12、不透明的口袋中裝有 4 個(gè)分別標(biāo)有數(shù)字 1 ， 2 ， 3 ， 4 的小球 ， 它們的形狀、大小完全相同小紅先從口袋中隨機(jī)摸出一個(gè)小球 記下數(shù)字為 x ；小穎在剩下的 3 個(gè)小球中隨機(jī)摸出一個(gè) 小球記下數(shù)字為 y. (1) 小紅摸出標(biāo)有數(shù)字 3 的小球的概率是 ____ ； (2) 請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖的方法表示出由 x ， y 確定的點(diǎn) P ( x ， y ) 所有可 能的結(jié)果； (3) 若規(guī)定：點(diǎn) P ( x ， y ) 在第一象限或第三象限小紅獲勝；點(diǎn) P ( x ， y ) 在第 二象限或第四象限則小穎獲勝請(qǐng)分別求出 兩人獲勝的概率 1 4 解： ( 1 ) 小紅摸出標(biāo)
13、有數(shù)字 3 的小球的概率是 14 ；故答案為 14 ( 2 ) 列表如下： 1 2 3 4 1 ( 1， 2) ( 1， 3) ( 1， 4) 2 ( 2， 1) ( 2， 3) ( 2， 4) 3 (3， 1) (3， 2) (3， 4) 4 (4， 1) (4， 2) (4， 3) ( 3 ) 從上面的表格可以看出 ， 所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有 12 種 ， 且每種結(jié) 果出現(xiàn)的可能性相同 ， 其中點(diǎn) ( x ， y ) 在第一象限或第三象限的結(jié)果有 4 種 ， 第 二象限或第四象限的結(jié)果有 8 種 ， 所以小紅獲勝的概率 4 12 1 3 ， 小穎獲勝的 概率 8 1
14、2 2 3 【 例 4】 (2015本溪 )在一個(gè)不透明的口袋中 ， 裝有若干個(gè)紅 球和 4個(gè)黃球 ， 它們除顏色外沒(méi)有任何區(qū)別 ， 搖勻后從中隨機(jī)摸 出一個(gè)球 ， 記下顏色后再放回口袋中 ， 通過(guò)大量重復(fù)摸球?qū)嶒?yàn)發(fā) 現(xiàn) ， 摸到黃球的頻率是 0.2， 則估計(jì)盒子中大約有紅球 ( ) A 16個(gè) B 20個(gè) C 25個(gè) D 30個(gè) 【 點(diǎn)評(píng) 】 本 題 每摸一次就相當(dāng)于做了一次 試驗(yàn) ， 因此大量重 復(fù)的 試驗(yàn)獲 取的 頻 率可以估 計(jì) 概率 A 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 4 (2015蘭州 )在一個(gè)不透明的袋中裝有除顏色外其余均相同的 n 個(gè)小球 ， 其中有 5個(gè)黑球 ， 從袋中隨
15、機(jī)摸出一球 ， 記下其顏色 ， 這 稱為一次摸球試驗(yàn) ， 之后把它放回袋中 ， 攪勻后 ， 再繼續(xù)摸出一球 ， 以下是利用計(jì)算機(jī)模擬的摸球試驗(yàn)次數(shù)與摸出黑球次數(shù)的列表： 摸球 試 驗(yàn) 次數(shù) 100 1000 5000 10000 50000 100000 摸出黑 球次數(shù) 46 487 2506 5008 24996 50007 根據(jù)列表 ， 可以估計(jì)出 n的值是 n 10 【 例 5】 (2015日照 )為進(jìn)一步推廣 “ 陽(yáng)光體育 ” 大課間活動(dòng) ， 某中學(xué)對(duì)已開設(shè)的 A實(shí)心球 ， B立定跳遠(yuǎn) ， C跑步 ， D跳繩四種活動(dòng) 項(xiàng)目的學(xué)生喜歡情況進(jìn)行調(diào)查 ， 隨機(jī)抽取
16、了部分學(xué)生 ， 并將調(diào)查結(jié) 果繪制成圖 ， 圖 的統(tǒng)計(jì)圖 ， 請(qǐng)結(jié)合圖中的信息解答下列問(wèn)題： (1)請(qǐng)計(jì)算本次調(diào)查中喜歡 “ 跑步 ” 的學(xué)生人數(shù)和所占百分比 ， 并 將兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整； (2)隨機(jī)抽取了 5名喜歡 “ 跑步 ” 的學(xué)生 ， 其中有 3名女生 ， 2名男 生 ， 現(xiàn)從這 5名學(xué)生中任意抽取 2名學(xué)生 ， 請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方 法 ， 求出剛好抽到同性別學(xué)生的概率 解： ( 1 ) 根據(jù)題意得： 15 10 % 150 ( 名 ) 本項(xiàng)調(diào)查中喜歡 “ 跑步 ” 的學(xué)生 人數(shù)是； 150 15 45 30 60 ( 人 ) ， 所占百分比是： 60 15
17、0 100 % 40 % ， 畫 圖如圖： ( 2 ) 用 A 表示男生 ， B 表示女生 ， 畫圖如下： 共有 20 種情況 ， 同性別學(xué)生的情況是 8 種 ， 則剛好抽到同性別學(xué)生的概 率是 8 20 2 5 【點(diǎn)評(píng)】 本 題 考 查 的是條形 統(tǒng)計(jì)圖 和扇形 統(tǒng)計(jì)圖 的 綜 合運(yùn)用以及概率 的求法 ， 讀 懂 統(tǒng)計(jì)圖 ， 從不同的 統(tǒng)計(jì)圖 中得到必要的信息 是解決 問(wèn)題 的關(guān) 鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練 5 (2015成都 )國(guó)務(wù)院辦公廳在 2015年 3月 16日發(fā)布了 中國(guó)足球 發(fā)展改革總體方案 ， 這是中國(guó)足球史上的重大改革 ， 為進(jìn)一步普 及足球知識(shí) ， 傳播足球文
18、化 ， 我市某區(qū)在中小學(xué)舉行了 “ 足球在身 邊 ” 知識(shí)競(jìng)賽 ， 各類獲獎(jiǎng)學(xué)生人數(shù)的比例情況如圖所示 ， 其中獲得 三等獎(jiǎng)的學(xué)生共 50名 ， 請(qǐng)結(jié)合圖中信息 ， 解答下列問(wèn)題： (1)獲得一等獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù)； (2)在本次知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)中 ， A， B， C， D四所學(xué)校表現(xiàn)突出 ， 現(xiàn) 決定從這四所學(xué)校中隨機(jī)選取兩所學(xué)校舉行一場(chǎng)足球友誼賽 ， 請(qǐng)用 畫樹狀圖或列表的方法求恰好選到 A， B兩所學(xué)校的概率 解： (1) 三等獎(jiǎng)所在扇形的圓心角為 90 ， 三等獎(jiǎng)所占的百分 比為 25%， 三等獎(jiǎng)為 50人 ， 總?cè)藬?shù)為 50 25% 200人 ， 一 等獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù)為 200
19、(1 20% 25% 40%) 30人 (2)列表： A B C D A AB AC AD B BA BC BD C CA CB CD D DA DB DC 共有 12 種等可能的結(jié)果 ， 恰好選中 A ， B 的有 2 種 ， P ( 選中 A ， B ) 212 16 試題 ( 2012 蘇州 ) 在 3 3 的方格紙中 ， 點(diǎn) A ， B ， C ， D ， E ， F 分別位于 如圖所示的小正方形的頂點(diǎn)上 (1) 從 A ， D ， E ， F 四點(diǎn)中任意取一點(diǎn) ， 以所取的這一點(diǎn)及 B ， C 為頂點(diǎn) 畫三角形 ， 則所畫三角形是等腰三角形的概率是 ____ ；
20、 (2) 從 A ， D ， E ， F 四點(diǎn)中先后任意取兩個(gè)不同的點(diǎn) ， 以所取的這兩點(diǎn)及 B ， C 為頂點(diǎn)畫四邊形 ， 求所畫四邊形是平行四邊形的概率 ( 用樹狀圖或列表求解 ) 審題視角 ( 1) 在 計(jì) 算某事件的概率 時(shí) 要清楚所有機(jī)會(huì)均等的 結(jié) 果； ( 2) 兩 步或兩步以上 實(shí)驗(yàn) 的不確定事件 發(fā) 生的概率的 計(jì) 算 ， 往往借助列表法、枚 舉 法、 樹 狀 圖 來(lái) 進(jìn) 行分析 ， 注意 避免 計(jì) 數(shù)的重復(fù)與 遺 漏 規(guī)范答題 解： ( 1) 從 A ， D ， E ， F 四點(diǎn)中任意取一點(diǎn) ， 以所取的這一點(diǎn)及 B ， C 為頂 點(diǎn)畫三角形 ， 有 ABC ，
21、 DBC ， EBC ， FBC ， 但只有 DBC 是等腰三角 形 ， 所以 P ( 所畫三角形是等腰三角形 ) 1 4 . ( 2 ) 用樹狀圖或利用表格列出所有可能的結(jié)果： 以點(diǎn) A ， E ， B ， C 為頂點(diǎn)及以點(diǎn) D ， F ， B ， C 為頂點(diǎn)所畫的四邊 形是平行四邊形 ， P ( 所畫的四邊形是平行四邊形 ) 4 12 1 3 . 答題思路 第一步：確定事件是等可能事件； 第二步：利用概率公式來(lái) 計(jì) 算； 第三步： 給 出明確的 結(jié)論 ； 第四步：反思回 顧 ， 查 看關(guān) 鍵 點(diǎn)、易 錯(cuò) 點(diǎn)和答 題規(guī) 范 試題 擲兩枚硬
22、幣 ， 規(guī)定落地后 ， 國(guó)徽朝上為 “ 正 ” ， 國(guó)徽朝下為 “ 反 ” ， 則會(huì)出現(xiàn)以下三種情況： “ 正正 ” 、 “ 反反 ” 、 “ 正反 ” ， 分別 求出每種情況的概率 錯(cuò)解 解：通過(guò)列表可知 ， 每種情況都出現(xiàn)一次 ， 因此各種情況發(fā)生的概率 均占 1 3 . 可能出 現(xiàn) 的情況 正正 正反 反反 概 率 1 3 1 3 1 3 剖析 ( 1 ) 在解決有關(guān)概率 統(tǒng)計(jì)問(wèn)題過(guò) 程中 ， 樹 狀 圖 是一種十分重要的工具 ， 即把情況 發(fā) 生 過(guò) 程用 類 似 樹 枝的 圖 形表示出來(lái) ， 以 對(duì)結(jié) 果的 產(chǎn) 生一目了 然 畫出 樹 狀 圖 的 過(guò) 程就是一個(gè)探索 規(guī) 律的 過(guò) 程； ( 2 ) 本 題 中的 “ 擲 兩枚硬 幣 ” ， 可理解 為 先后 擲 兩枚不同的硬 幣 ， 列表 亦可 ， 如表： 第一枚 第二枚 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 正解 畫樹狀圖如下： 因此共有四種情況 ， 其中 “ 正正 ” 出現(xiàn)一次 ， 概率為 1 4 ； “ 正反 ” 出現(xiàn)二次 ， 概率為 1 2 ； “ 反反 ” 出現(xiàn)一次 ， 概率為 1 4
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