第9章彎曲變形

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1、第9章 教學方案 --彎曲變形 基 本 內 容 彎曲變形概述 撓曲線微分方程及其積分　 用疊加法求梁的位移 簡單靜不定梁 教 學 目 的 １、了解梁彎曲變形的工程實例,掌握撓度及轉角的概念及關系。 2、理解撓曲線微分方程及其積分。 3、熟練掌握用疊加法求梁的變形。 4、了解簡單靜不定梁的求解。 重 點 、 難 點 疊加法求梁的變形。 ? 第9章 　彎曲變形 9。1　　彎曲變形概述 9.1。1彎曲變形問題的工程實例 彎曲變形：當桿件受彎時，桿件的軸線由直線變成曲線，稱為彎曲變形。 限制彎曲變形的工程實例:在工程實際中，為保證受

2、彎構件的正常工作，除了要求構件有足夠的強度外,在某些情況下，還要求其彎曲變形不能過大，即具有足夠的剛度。例如,軋鋼機在軋制鋼板時，軋輥的彎曲變形將造成鋼板沿寬度方向的厚度不均勻（圖9．1）；齒輪軸若彎曲變形過大，將使齒輪嚙合狀況變差，引起偏磨和噪聲(圖9。２）。 圖9.3 圖9.1 圖9.2 利用彎曲變形的工程實例:例如，汽車輪軸上的疊板彈簧（圖９。3）,就是利用彎曲變形起到緩沖和減振的作用的。此外，在求解靜不定梁時，也需考慮梁的變形。 9。１．2 梁的位移的度量--撓度和轉角 在載荷作用下梁將發(fā)生平面

3、彎曲，其軸線由直線變?yōu)橐粭l連續(xù)光滑的平面曲線,該曲線稱為撓曲線（圖9．4)。以梁的最左端Ｏ點為原點建立坐標系Oｘy，撓曲線上任一點x處的縱坐標w是梁x橫截面的形心沿y方向的線位移,稱為撓度.為了表示清楚位移的方向，規(guī)定向上的撓度w為正，向下的撓度ｗ為負.這樣，撓曲線方程可以寫為 　　　　 　 　 　　　 　　　 　 　　（9—1) 在小變形情況下，梁的撓度遠小于梁的跨度ｌ，因此可以忽略截面形心沿軸線方向的位移。 彎曲變形時，橫截面繞中性軸發(fā)生轉動,其轉過的角度θ稱為轉角。轉角θ就是撓曲線法線與y軸的夾角。為了表示轉角的轉向，規(guī)定逆時針為正,順時針為負.轉角可以用轉角

4、方程表示 圖9.4 　 　 　 　 　　 　 　 （9—２） ９。1.3 撓度和轉角的關系 彎曲變形用撓度w和轉角θ這兩個位移量來度量.由圖9.4可以看出，轉角θ與撓曲線在該點的切線傾角相等。在小變形情況下 　　 　　 　 　　 　 (９－3） 即橫截面的轉角可以用該點處撓曲線切線的斜率表示。只要知道撓曲線方程，就能確定梁上任一橫截面的撓度和轉角。 ９。１。４ 梁的剛度條件 在工程實際中,為了保證彎曲桿件的正常工作，有時會限定梁的最大撓度和最大轉角,得到剛度條件 　 　　 　　　 　

5、 　 （9—４） 式中，[f］和[θ］分別為許用撓度和許用轉角. 9．2　 撓曲線微分方程及其積分 9．2.1　撓曲線微分方程 在純彎曲時,撓曲線曲率1/ρ與彎矩M的關系為式（8－1),即 在橫力彎曲時，如果是細長梁，剪力對變形的影響可以忽略，上式仍然成立，但曲率和彎矩都是x的函數(shù)，即 　 　 　 　 ?。╝) 由高等數(shù)學可知，曲線上任一點的曲率為 　 　　　 　 　 （b) 由于撓度非常小,撓曲線極平坦，的數(shù)值很小,上式中與1相比可以略去，于是由（a)、(b）兩式得到

6、 　 　 　 　　 　 　 　?。╟） 根據(jù)彎矩的符號規(guī)定和撓曲線二階導數(shù)與曲率中心方位的關系,在所取坐標系下彎矩M的正負號始終與的正負號一致，如圖9。5所示。因此(c）式的左邊應取正號，即 圖9.5 　 　 　　　　　 　 　 　 （9－５） 式（９-５）即為梁的撓曲線微分方程。 ９.2。2 撓曲線微分方程的積分 對式(9－5）積分一次，得轉角方程 　 　 　 　 　 　 　 （9—6a） 再積分-次.可得撓曲線方程 　 　 　　 　 　 （9—６ｂ）

7、 式中Ｃ、Ｄ為積分常數(shù)。當梁為等截面梁時,EＩ為常數(shù)，可以提到積分符號外面。如果梁的彎矩方程是分段函數(shù),則上面的積分式也應分段積分。 9。2。3　積分常數(shù)的確定 積分常數(shù)C和D可以通過梁上某些位置的已知撓度和轉角或應滿足的變形關系來確定。 支承條件：支座處的撓度或轉角是已知的.例如鉸支座處的撓度為零,則在圖9。６(a）中,在x=0和x=l處,wA=wB=０；又如固定端約束處的撓度和轉角均為零，則在圖9。6(b）中，在x=0處，wA=0、θA=0.只要將這些數(shù)據(jù)代入式（9-６)中就可確定C和D。 圖9.6 圖9.7 連續(xù)光滑條件：因為撓曲線是一條連續(xù)光滑的曲線,所以在梁的積

8、分分段點處,通過左右兩段彎矩方程積分算出的撓度和轉角是相等的。例如圖９。７所示梁在集中力F作用點Ａ處，有連續(xù)光滑條件為wA左=wA右和θA左=θＡ右。 9.2.４ 用積分法求梁的位移 對（9-５）式進行積分，并根據(jù)約束條件和連續(xù)光滑條件確定積分常數(shù),再將已確定的積分常數(shù)代回積分式,即可得到梁的撓曲線方程和轉角方程，從而可確定任一截面的撓度及轉角。這種求梁的位移的方法稱為積分法。 在工程計算中，習慣用f表示梁特定截面處的撓度。 【例9-1】簡支梁AB受均布載荷ｑ作用，如圖9.8所示。建立梁的撓曲線方程和轉角方程，并計算最大撓度和最大轉角。 解：(1）計算支反力，列彎矩方程和撓曲線微分方

9、程 圖9.8 通過平衡方程可得 彎矩方程為 ?故撓曲線微分方程為 （2）對撓曲線微分方程積分 將上式積分兩次，得 和 　 　 （3）確定積分常數(shù) 將約束條件x＝0處w＝0和x＝l處w＝0代入上式中,可得 D＝0，和 （4)建立撓曲線方程和轉角方程 將Ｃ、D值代入積分式，分別得到撓曲線方程和轉角方程 （５）計算最大撓度和最大轉角 全梁上的彎矩都為正，所以梁的撓曲線是一條上凹的曲線,又根據(jù)結構和載荷的對稱性，可畫出撓曲線的大致形狀如圖９．8中所示。在梁中點處有最大撓度,在梁的支座A、B處有最大轉角。將相應的x坐標代入撓曲線方程和轉角

10、方程中，得 負號表示其變形方向與規(guī)定的正向相反。 【例9-2】圖９．9所示簡支梁在C點作用一集中力F，梁的抗彎剛度為EＩ，求梁的撓曲線方程和轉角方程。 解：（1）計算支反力，列彎矩方程 通過平衡方程可得 圖9.9 分段列彎矩方程 AC段 　　 ＣＢ段 　　 （2)分段列撓曲線微分方程并積分 分別列AＣ和ＣD段的撓曲線微分方程，并兩次積分，結果見下表。 AC段　?。?≤x1≤a） ＣＢ段 　(a≤x2≤ｌ) (3）確定積分常數(shù) 積分出現(xiàn)4個常數(shù)，需４個條件來確定。因為撓曲線是連續(xù)光滑的曲線，在兩段交界面C處，由（a１）式確定的轉角和由（a2

11、）式確定的轉角相等;由（ｂ1）式確定的撓度和由（b2）確定的撓度相等.即 由此可得：　 C1=Ｃ2， 　Ｄ1=D２ 在梁的A、B兩端有鉸支座，根據(jù)約束條件有 　 　 　 　 當ｘ1=0時, ?。臝w＝D1＝０ 　　 　 　當x2=ｌ時， 　 可得 　 　 　 　 　 （4）建立撓曲線方程和轉角方程 將4個積分常數(shù)代回(a1)、（a2）和（ｂ1）、（b2)式,分別得到轉角方程和撓曲線方程，見下表。 AC段　 (0≤ｘ１≤a） CB段 　(a≤x2≤l） 如果要求梁上的最大撓度和最大轉角,可以首先

12、根據(jù)撓曲線的大致形狀判斷最大值出現(xiàn)的截面位置.最大轉角出現(xiàn)在兩端截面上，在（ｃ1)式和（c2)式中分別代入x1＝0和x2=l,得 若a＞b，可以斷定θB為最大轉角。 最大撓度可以用求極值的方法計算?？梢宰C明,梁的最大撓度所在位置非常接近于梁的中點，因此常用簡支梁中點的撓度來代替梁的最大撓度。則有 積分法是求梁的變形的基本方法,它可以直接運用積分求得梁的撓曲線方程和轉角方程,進而求出特定截面的撓度或轉角。 ９.3 用疊加法求梁的位移 在實際工程中，粱上可能同時作用幾種載荷，此時若用積分法計算其位移，則計算過程比較煩瑣,計算工作量大。由于研究的是小變形,材料處于線彈性階段，因

13、此所計算的梁的位移與梁上的載荷成線性關系。所以,當梁上同時作用幾種載荷時，可先分別求出每一載荷單獨作用時所引起的位移,然后計算這些位移的代數(shù)和，即為各載荷同時作用時所引起的位移。這種計算彎曲變形的方法稱為疊加法。 為了使用方便,將各種常見載荷作用下的簡單梁的轉角和撓度計算公式及撓曲線方程列于表9—1中.利用表格，按疊加法計算梁在多個載荷共同作用下所引起的位移是很方便的。 9.3．1 多個載荷作用時求梁的位移的疊加法 根據(jù)疊加法,幾個載荷共同作用下梁任意橫截面上的位移,等于每個荷載單獨作用時該截面位移的代數(shù)和。 【例9-3】求圖9.10（a)所示梁C截面的撓度和Ｂ截面的轉角.設E

14、Ｉ為常數(shù). 圖9.10 解:（１）梁的位移的分解 梁上有集度為q的均布載荷和集中力F作用,其C截面的撓度和B截面的轉角為兩個載荷單獨作用下位移的代數(shù)和.即 （2）在均布力作用下 Ｂ截面轉角查表９－１中第7欄可得 Ｃ截面的撓度可以通過查表９—1中第7欄的撓曲線方程,代入坐標值計算。即 (3）在集中力F作用下 B截面轉角查表9-1中第6欄可得 C截面的撓度可以通過查表9-1中第6欄的兩段中的任一段撓曲線方程,代入坐標值計算。即 （4)疊加 【例９－4】　如圖9。１1(a)所示懸臂梁,其抗彎剛度ＥI為常數(shù),求B點轉角和撓度。 　 解：(1）在Ｆ單獨

15、作用下: 查表9—1中第2欄可得： 圖9.11 （2）在q單獨作用下: 查表9—1中第3欄可得 由于ＣB段沒有彎矩作用，撓曲線保持直線狀態(tài)，而兩段撓曲線在C點應相切，所以Ｂ點的轉角和撓度為 （３）在F和ｑ共同作用下: 9。3.2　 逐段剛化法 在有些情況下,梁上某截面的位移是由幾段梁的彎曲變形共同引起的。在計算其位移時，可以分別計算各段梁單獨變形引起的該截面的位移，然后代數(shù)求和，這種分析方法稱為逐段剛化法.對于表9-1中沒有列出的外伸梁情況以及變截面梁情況,常用逐段剛化法分析。在梁上作用多個載荷情況下，可以先分解成單個載荷作用情形,然后分別用逐段剛化法分析，再進

16、行位移疊加。下面通過舉例說明其分析方法和特點。 圖9.12 【例９-5】圖9.12（a)所示外伸梁，在C處作用集中力F，梁的EＩ、l、a已知.求C截面的撓度和轉角. 解:該梁由AB、BC兩段組成，梁在C截面的撓度和轉角等于兩段梁分別變形時在該截面引起的撓度和轉角的代數(shù)和。 （1)剛化ＡＢ段，只考慮BC段的變形 如圖9.１２（b）所示，AＢ不變形，保持原來的直線形態(tài);BC發(fā)生彎曲,在B點與ＡB連續(xù)光滑連接,所以Ｂ點沒有轉角位移，因此可以將Ｂ截面處視為固定端，將BC段看成懸臂梁。 查表9—1第2欄可得 (2）剛化BC段，只考慮ＡB段的變形 如圖９．12（c）所示,AB發(fā)生彎曲；

17、CB不變形，保持原來的直線形態(tài)，在B點與AB保持連續(xù)光滑連接。F力對ＡＢ段的作用可以用將F力等效簡化到B點得到的一個力F和一個力偶Fa代替.因為力在ＢC段的等效不改變對ＡB的作用效果，即沒有改變AＢ段的彎矩，所以這種簡化是可行的。簡化到Ｂ點的F力作用在支座上，不會使AB梁變形；力偶Fa的作用可以查表9—1中第4欄,得到 則由AＢ段變形引起的C點的轉角和撓度為 （3）疊加 梁C截面的總撓度和總轉角為 圖9.13 【例9—6】求圖9．13(ａ)所示懸臂梁端截面A的撓度. 解：（1）剛化BＣ段，只考慮ＡＢ段的變形 如圖9.13（b)所示,Ｂ點可以看成固定端，查表９—１中第3

18、欄得 ?。ā?） 在查表時可以發(fā)現(xiàn),表中固定端位置與題中情況正好相反，這樣在使用表格數(shù)據(jù)時有時會出現(xiàn)符號相反的情況,如本圖中A截面的轉角方向為逆時針，應取正號。為了不出現(xiàn)錯誤，通常將變形后的撓曲線大致形狀畫出，根據(jù)變形方向確定符號,也可用箭頭標明位移方向。 （２）剛化AB段，只考慮BC段的變形 將載荷等效簡化到B點，得到一個力ｑｌ和一個力偶，分別計算力偶和力作用下在Ｂ點產生的撓度和轉角.查表9－1中第1、2欄可得 （ ） （　 　　 　) 則A點的撓度 （ ） （3）疊加 （ ） 9.4　 簡單靜不定梁 ９。4.1 靜不定梁的概念 前面分析過的

19、梁，如簡支梁和懸臂梁等,其支座反力和內力僅用靜力平衡條件就可全部確定，這種梁稱為靜定梁。在工程實際中，為了提高梁的強度和剛度，往往在靜定梁上增加一個或幾個約束，此時梁的支座反力和內力用靜力平衡條件不能全部確定，這種梁稱為靜不定梁或超靜定梁。例如在圖９.14(a）所示懸臂梁的自由端B加一支座，未知約束反力增加一個，該梁由靜定梁變?yōu)榱遂o不定梁,如圖9．14（b)。 圖9.14 9。4.2 變形比較法求解簡單靜不定梁 在靜不定梁中,那些超過維持梁平衡所必需的約束稱為多余約束，對應的支座反力稱為多余約束反力.由于多余約束的存在,使得未知力的數(shù)目多于能夠建立的獨立平衡方程的數(shù)目，兩者之差稱為靜

20、不定次數(shù)。為確定靜不定梁的全部約束反力，必須根據(jù)梁的變形情況建立補充方程式。解除靜不定梁上的多余約束，變?yōu)橐粋€靜定梁。這個靜定梁為原靜不定梁的基本靜定梁,兩個梁應具有相同的受力和變形。 為了使基本靜定梁的受力和變形與原靜不定梁完全相同,作用在基本靜定梁上的外力除了原來的載荷外，還應加上多余約束反力;同時還要求基本靜定梁在多余約束處的撓度或轉角滿足該約束的限制條件。例如，在圖9。14（b）中,若將B端的可動鉸支座作為多余約束，則可得到圖9．14（c）所示的基本靜定梁；且該梁應滿足 wB=０　或 wB＝(wB）q+（wB）FRB=0 這就是梁應滿足的變形協(xié)調條件。 根據(jù)變形條件和力與變形間

21、的物理關系可以建立補充方程。由此可以求出多余約束反力,進而求解梁的內力、應力和變形。這種通過比較多余約束處的變形，建立變形協(xié)調關系,求解靜不定梁的方法稱為變形比較法。 變形比較法解靜不定梁步驟:第一，去掉多余約束,使靜不定梁變成基本靜定梁,并施加與多余約束對應的約束反力；第二,比較多余約束處的變形情況，建立變形協(xié)調關系；第三，將力與變形之間的物理關系代入變形條件,得到補充方程，求出多余約束反力。 解靜不定梁時，選擇哪個約束為多余約束并不是固定的，可以根據(jù)方便求解的原則確定。選取的多余約束不同，得到的基本靜定梁的形式和變形條件也不同。例如圖９.1４（b)所示靜不定梁也可選阻止A端轉動的約束為

22、多余約束，相應的多余約束反力為力偶矩MA。解除這一多余約束后，固定端將變?yōu)楣潭ㄣq支座；相應的基本靜定梁為簡支梁，如圖9．1５所示.該梁應滿足的變形關系為A端的轉角為零,即 圖9.15 最后利用物理關系得到補充方程,求解可以得到與前面相同的結果。 圖9.16 【例9—7】房屋建筑中某一等截面梁簡化為均布載荷作用下的雙跨梁，如圖９。1６(a)所示。試求梁的全部約束反力。 解：(1）確定基本靜定梁 解除C點的約束，加上相應的約束反力ＦRC　,得到基本靜定梁如圖９.1６（b）所示. (2)變形協(xié)調條件 C點由于支座的約束,梁的撓度為零,即 （３）建立補充方程 查表９－１中第5、７欄可得 ， 　 代入變形關系可得補充方程為 解得 　 　　 　 　 　 （4)列平衡方程,求解其他約束反力 解得 　 在求出梁上作用的全部外力后,就可以進一步分析梁的內力、應力、強度和變形了。 文中如有不足，請您見諒！ 11 / 11