第9章彎曲變形

第9章 教學(xué)方案-彎曲變形基本內(nèi)容彎曲變形概述撓曲線微分方程及其積分 用疊加法求梁的位移簡單靜不定梁教學(xué)目的、了解梁彎曲變形的工程實例,掌握撓度及轉(zhuǎn)角的概念及關(guān)系。2、理解撓曲線微分方程及其積分。3、熟練掌握用疊加法求梁的變形。4、了解簡單靜不定梁的求解。重點、難點疊加法求梁的變形。第9章 彎曲變形9。1彎曲變形概述9.1。1彎曲變形問題的工程實例彎曲變形：當(dāng)桿件受彎時，桿件的軸線由直線變成曲線，稱為彎曲變形。限制彎曲變形的工程實例:在工程實際中，為保證受彎構(gòu)件的正常工作，除了要求構(gòu)件有足夠的強度外,在某些情況下，還要求其彎曲變形不能過大，即具有足夠的剛度。例如,軋鋼機在軋制鋼板時，軋輥的彎曲變形將造成鋼板沿寬度方向的厚度不均勻（圖91）；齒輪軸若彎曲變形過大，將使齒輪嚙合狀況變差，引起偏磨和噪聲(圖9。）。圖9.3圖9.1 圖9.2 利用彎曲變形的工程實例:例如，汽車輪軸上的疊板彈簧（圖。3）,就是利用彎曲變形起到緩沖和減振的作用的。此外，在求解靜不定梁時，也需考慮梁的變形。9。2 梁的位移的度量-撓度和轉(zhuǎn)角在載荷作用下梁將發(fā)生平面彎曲，其軸線由直線變?yōu)橐粭l連續(xù)光滑的平面曲線,該曲線稱為撓曲線（圖94)。以梁的最左端點為原點建立坐標(biāo)系Oy，撓曲線上任一點x處的縱坐標(biāo)w是梁x橫截面的形心沿y方向的線位移,稱為撓度.為了表示清楚位移的方向，規(guī)定向上的撓度w為正，向下的撓度為負(fù).這樣，撓曲線方程可以寫為 （91)在小變形情況下，梁的撓度遠(yuǎn)小于梁的跨度，因此可以忽略截面形心沿軸線方向的位移。彎曲變形時，橫截面繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動,其轉(zhuǎn)過的角度稱為轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角就是撓曲線法線與y軸的夾角。為了表示轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)向，規(guī)定逆時針為正,順時針為負(fù).轉(zhuǎn)角可以用轉(zhuǎn)角方程表示圖9.4 （9）。1.3 撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系彎曲變形用撓度w和轉(zhuǎn)角這兩個位移量來度量.由圖9.4可以看出，轉(zhuǎn)角與撓曲線在該點的切線傾角相等。在小變形情況下 (3）即橫截面的轉(zhuǎn)角可以用該點處撓曲線切線的斜率表示。只要知道撓曲線方程，就能確定梁上任一橫截面的撓度和轉(zhuǎn)角。 梁的剛度條件在工程實際中,為了保證彎曲桿件的正常工作，有時會限定梁的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角,得到剛度條件 （9）式中，f和分別為許用撓度和許用轉(zhuǎn)角.92 撓曲線微分方程及其積分92.1撓曲線微分方程在純彎曲時,撓曲線曲率1/與彎矩M的關(guān)系為式（81),即在橫力彎曲時，如果是細(xì)長梁，剪力對變形的影響可以忽略，上式仍然成立，但曲率和彎矩都是x的函數(shù)，即 （a)由高等數(shù)學(xué)可知，曲線上任一點的曲率為 （b)由于撓度非常小,撓曲線極平坦，的數(shù)值很小,上式中與1相比可以略去，于是由（a)、(b）兩式得到 （c）根據(jù)彎矩的符號規(guī)定和撓曲線二階導(dǎo)數(shù)與曲率中心方位的關(guān)系,在所取坐標(biāo)系下彎矩M的正負(fù)號始終與的正負(fù)號一致，如圖9。5所示。因此(c）式的左邊應(yīng)取正號，即圖9.5 （9）式（-）即為梁的撓曲線微分方程。.2。2 撓曲線微分方程的積分對式(95）積分一次，得轉(zhuǎn)角方程 （96a）再積分-次.可得撓曲線方程 （9）式中、為積分常數(shù)。當(dāng)梁為等截面梁時,E為常數(shù)，可以提到積分符號外面。如果梁的彎矩方程是分段函數(shù),則上面的積分式也應(yīng)分段積分。9。2。3積分常數(shù)的確定積分常數(shù)C和D可以通過梁上某些位置的已知撓度和轉(zhuǎn)角或應(yīng)滿足的變形關(guān)系來確定。支承條件：支座處的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的.例如鉸支座處的撓度為零,則在圖9。(a）中,在x=0和x=l處,wA=wB=；又如固定端約束處的撓度和轉(zhuǎn)角均為零，則在圖9。6(b）中，在x=0處，wA=0、A=0.只要將這些數(shù)據(jù)代入式（9-)中就可確定C和D。圖9.6圖9.7連續(xù)光滑條件：因為撓曲線是一條連續(xù)光滑的曲線,所以在梁的積分分段點處,通過左右兩段彎矩方程積分算出的撓度和轉(zhuǎn)角是相等的。例如圖。所示梁在集中力F作用點處，有連續(xù)光滑條件為wA左=wA右和A左=右。9.2. 用積分法求梁的位移對（9-）式進行積分，并根據(jù)約束條件和連續(xù)光滑條件確定積分常數(shù),再將已確定的積分常數(shù)代回積分式,即可得到梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，從而可確定任一截面的撓度及轉(zhuǎn)角。這種求梁的位移的方法稱為積分法。在工程計算中，習(xí)慣用f表示梁特定截面處的撓度?！纠?-1】簡支梁AB受均布載荷作用，如圖9.8所示。建立梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并計算最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。解：(1）計算支反力，列彎矩方程和撓曲線微分方程圖9.8通過平衡方程可得彎矩方程為故撓曲線微分方程為（2）對撓曲線微分方程積分將上式積分兩次，得和 （3）確定積分常數(shù)將約束條件x0處w0和xl處w0代入上式中,可得D0，和（4)建立撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程將、D值代入積分式，分別得到撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程（）計算最大撓度和最大轉(zhuǎn)角全梁上的彎矩都為正，所以梁的撓曲線是一條上凹的曲線,又根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷的對稱性，可畫出撓曲線的大致形狀如圖8中所示。在梁中點處有最大撓度,在梁的支座A、B處有最大轉(zhuǎn)角。將相應(yīng)的x坐標(biāo)代入撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程中，得負(fù)號表示其變形方向與規(guī)定的正向相反?！纠?-2】圖9所示簡支梁在C點作用一集中力F，梁的抗彎剛度為E，求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程。解：（1）計算支反力，列彎矩方程通過平衡方程可得圖9.9分段列彎矩方程AC段 段 （2)分段列撓曲線微分方程并積分分別列A和D段的撓曲線微分方程，并兩次積分，結(jié)果見下表。AC段（0x1a）段 (ax2)(3）確定積分常數(shù)積分出現(xiàn)4個常數(shù)，需個條件來確定。因為撓曲線是連續(xù)光滑的曲線，在兩段交界面C處，由（a）式確定的轉(zhuǎn)角和由（a2）式確定的轉(zhuǎn)角相等;由（1）式確定的撓度和由（b2）確定的撓度相等.即由此可得： C1=2， 1=D在梁的A、B兩端有鉸支座，根據(jù)約束條件有 當(dāng)1=0時, IwD1 當(dāng)x2=時， 可得 （4）建立撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程將4個積分常數(shù)代回(a1)、（a2）和（1）、（b2)式,分別得到轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程，見下表。AC段 (0a）CB段 (ax2l）如果要求梁上的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角,可以首先根據(jù)撓曲線的大致形狀判斷最大值出現(xiàn)的截面位置.最大轉(zhuǎn)角出現(xiàn)在兩端截面上，在（1)式和（c2)式中分別代入x10和x2=l,得 若ab，可以斷定B為最大轉(zhuǎn)角。最大撓度可以用求極值的方法計算?？梢宰C明,梁的最大撓度所在位置非常接近于梁的中點，因此常用簡支梁中點的撓度來代替梁的最大撓度。則有積分法是求梁的變形的基本方法,它可以直接運用積分求得梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,進而求出特定截面的撓度或轉(zhuǎn)角。.3 用疊加法求梁的位移在實際工程中，粱上可能同時作用幾種載荷，此時若用積分法計算其位移，則計算過程比較煩瑣,計算工作量大。由于研究的是小變形,材料處于線彈性階段，因此所計算的梁的位移與梁上的載荷成線性關(guān)系。所以,當(dāng)梁上同時作用幾種載荷時，可先分別求出每一載荷單獨作用時所引起的位移,然后計算這些位移的代數(shù)和，即為各載荷同時作用時所引起的位移。這種計算彎曲變形的方法稱為疊加法。 為了使用方便,將各種常見載荷作用下的簡單梁的轉(zhuǎn)角和撓度計算公式及撓曲線方程列于表91中.利用表格，按疊加法計算梁在多個載荷共同作用下所引起的位移是很方便的。9.31 多個載荷作用時求梁的位移的疊加法根據(jù)疊加法,幾個載荷共同作用下梁任意橫截面上的位移,等于每個荷載單獨作用時該截面位移的代數(shù)和?！纠?-3】求圖9.10（a)所示梁C截面的撓度和截面的轉(zhuǎn)角.設(shè)E為常數(shù).圖9.10解:（）梁的位移的分解梁上有集度為q的均布載荷和集中力F作用,其C截面的撓度和B截面的轉(zhuǎn)角為兩個載荷單獨作用下位移的代數(shù)和.即（2）在均布力作用下截面轉(zhuǎn)角查表中第7欄可得截面的撓度可以通過查表1中第7欄的撓曲線方程,代入坐標(biāo)值計算。即(3）在集中力F作用下B截面轉(zhuǎn)角查表9-1中第6欄可得C截面的撓度可以通過查表9-1中第6欄的兩段中的任一段撓曲線方程,代入坐標(biāo)值計算。即（4)疊加【例4】如圖9。1(a)所示懸臂梁,其抗彎剛度I為常數(shù),求B點轉(zhuǎn)角和撓度。 解：(1）在單獨作用下:查表91中第2欄可得：圖9.11（2）在q單獨作用下:查表91中第3欄可得由于B段沒有彎矩作用，撓曲線保持直線狀態(tài)，而兩段撓曲線在C點應(yīng)相切，所以點的轉(zhuǎn)角和撓度為（）在F和共同作用下:9。3.2 逐段剛化法在有些情況下,梁上某截面的位移是由幾段梁的彎曲變形共同引起的。在計算其位移時，可以分別計算各段梁單獨變形引起的該截面的位移，然后代數(shù)求和，這種分析方法稱為逐段剛化法.對于表9-1中沒有列出的外伸梁情況以及變截面梁情況,常用逐段剛化法分析。在梁上作用多個載荷情況下，可以先分解成單個載荷作用情形,然后分別用逐段剛化法分析，再進行位移疊加。下面通過舉例說明其分析方法和特點。圖9.12【例-5】圖9.12（a)所示外伸梁，在C處作用集中力F，梁的E、l、a已知.求C截面的撓度和轉(zhuǎn)角.解:該梁由AB、BC兩段組成，梁在C截面的撓度和轉(zhuǎn)角等于兩段梁分別變形時在該截面引起的撓度和轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。（1)剛化段，只考慮BC段的變形如圖9.（b）所示，A不變形，保持原來的直線形態(tài);BC發(fā)生彎曲,在B點與B連續(xù)光滑連接,所以點沒有轉(zhuǎn)角位移，因此可以將截面處視為固定端，將BC段看成懸臂梁。查表91第2欄可得(2）剛化BC段，只考慮B段的變形如圖12（c）所示,AB發(fā)生彎曲；CB不變形，保持原來的直線形態(tài)，在B點與AB保持連續(xù)光滑連接。F力對段的作用可以用將F力等效簡化到B點得到的一個力F和一個力偶Fa代替.因為力在C段的等效不改變對B的作用效果，即沒有改變A段的彎矩，所以這種簡化是可行的。簡化到點的F力作用在支座上，不會使AB梁變形；力偶Fa的作用可以查表91中第4欄,得到則由A段變形引起的C點的轉(zhuǎn)角和撓度為（3）疊加梁C截面的總撓度和總轉(zhuǎn)角為圖9.13【例96】求圖913()所示懸臂梁端截面A的撓度.解：（1）剛化B段，只考慮段的變形如圖9.13（b)所示,點可以看成固定端，查表中第3欄得（ ）在查表時可以發(fā)現(xiàn),表中固定端位置與題中情況正好相反，這樣在使用表格數(shù)據(jù)時有時會出現(xiàn)符號相反的情況,如本圖中A截面的轉(zhuǎn)角方向為逆時針，應(yīng)取正號。為了不出現(xiàn)錯誤，通常將變形后的撓曲線大致形狀畫出，根據(jù)變形方向確定符號,也可用箭頭標(biāo)明位移方向。（）剛化AB段，只考慮BC段的變形將載荷等效簡化到B點，得到一個力和一個力偶，分別計算力偶和力作用下在點產(chǎn)生的撓度和轉(zhuǎn)角.查表91中第1、2欄可得（ ）（ )則A點的撓度（ ）（3）疊加（ ）9.4 簡單靜不定梁。4.1 靜不定梁的概念前面分析過的梁，如簡支梁和懸臂梁等,其支座反力和內(nèi)力僅用靜力平衡條件就可全部確定，這種梁稱為靜定梁。在工程實際中，為了提高梁的強度和剛度，往往在靜定梁上增加一個或幾個約束，此時梁的支座反力和內(nèi)力用靜力平衡條件不能全部確定，這種梁稱為靜不定梁或超靜定梁。例如在圖.14(a）所示懸臂梁的自由端B加一支座，未知約束反力增加一個，該梁由靜定梁變?yōu)榱遂o不定梁,如圖914（b)。圖9.149。4.2 變形比較法求解簡單靜不定梁在靜不定梁中,那些超過維持梁平衡所必需的約束稱為多余約束，對應(yīng)的支座反力稱為多余約束反力.由于多余約束的存在,使得未知力的數(shù)目多于能夠建立的獨立平衡方程的數(shù)目，兩者之差稱為靜不定次數(shù)。為確定靜不定梁的全部約束反力，必須根據(jù)梁的變形情況建立補充方程式。解除靜不定梁上的多余約束，變?yōu)橐粋€靜定梁。這個靜定梁為原靜不定梁的基本靜定梁,兩個梁應(yīng)具有相同的受力和變形。為了使基本靜定梁的受力和變形與原靜不定梁完全相同,作用在基本靜定梁上的外力除了原來的載荷外，還應(yīng)加上多余約束反力;同時還要求基本靜定梁在多余約束處的撓度或轉(zhuǎn)角滿足該約束的限制條件。例如，在圖9。14（b）中,若將B端的可動鉸支座作為多余約束，則可得到圖914（c）所示的基本靜定梁；且該梁應(yīng)滿足wB=或 wB(wB）q+（wB）FRB=0這就是梁應(yīng)滿足的變形協(xié)調(diào)條件。根據(jù)變形條件和力與變形間的物理關(guān)系可以建立補充方程。由此可以求出多余約束反力,進而求解梁的內(nèi)力、應(yīng)力和變形。這種通過比較多余約束處的變形，建立變形協(xié)調(diào)關(guān)系,求解靜不定梁的方法稱為變形比較法。變形比較法解靜不定梁步驟:第一，去掉多余約束,使靜不定梁變成基本靜定梁,并施加與多余約束對應(yīng)的約束反力；第二,比較多余約束處的變形情況，建立變形協(xié)調(diào)關(guān)系；第三，將力與變形之間的物理關(guān)系代入變形條件,得到補充方程，求出多余約束反力。解靜不定梁時，選擇哪個約束為多余約束并不是固定的，可以根據(jù)方便求解的原則確定。選取的多余約束不同，得到的基本靜定梁的形式和變形條件也不同。例如圖.1（b)所示靜不定梁也可選阻止A端轉(zhuǎn)動的約束為多余約束，相應(yīng)的多余約束反力為力偶矩MA。解除這一多余約束后，固定端將變?yōu)楣潭ㄣq支座；相應(yīng)的基本靜定梁為簡支梁，如圖91所示.該梁應(yīng)滿足的變形關(guān)系為A端的轉(zhuǎn)角為零,即圖9.15最后利用物理關(guān)系得到補充方程,求解可以得到與前面相同的結(jié)果。圖9.16【例97】房屋建筑中某一等截面梁簡化為均布載荷作用下的雙跨梁，如圖。1(a)所示。試求梁的全部約束反力。解：(1）確定基本靜定梁解除C點的約束，加上相應(yīng)的約束反力RC,得到基本靜定梁如圖.1（b）所示.(2)變形協(xié)調(diào)條件C點由于支座的約束,梁的撓度為零,即（）建立補充方程查表中第5、欄可得， 代入變形關(guān)系可得補充方程為解得 （4)列平衡方程,求解其他約束反力解得 在求出梁上作用的全部外力后,就可以進一步分析梁的內(nèi)力、應(yīng)力、強度和變形了。文中如有不足，請您見諒！11 / 11