考點45 隨機事件的概率、古典概型、幾何概型

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1、考點45 隨機事件的概率、古典概型、幾何概型 一、選擇題 1.(·新課標全國卷Ⅰ理科·T4)投籃測試中,每人投3次,至少投中2次才干通過測試.已知某同窗每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃與否投中互相獨立,則該同窗通過測試的概率為　(　　) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 【解題指南】至少兩次投中通過測試提成兩種狀況,一是投3次有兩次投中通過測試,二是投3次都投中通過測試. 【解析】選A.根據獨立反復實驗公式得,該同窗通過測試的概率為0.62×0.4+0.63=0.648. 2.(

2、·新課標全國卷Ⅰ文科·T4)如果3個正整數可作為一種直角三角形三條邊的邊長,則稱這3個數為一組勾股數,從1,2,3,4,5中任取3個不同的數,則這3個數構成一組勾股數的概率為　(　　) A. B. C. D. 【解析】選C.從1,2,3,4,5中任取3個不同的數有(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5), (1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),共10種,其中(3,4,5)為一組勾股數,共一種,因此3個數構成一組勾股數的概率為. 3.(·山東高考文科·T7)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一種

3、數x,則事件“”發(fā)生的概率為　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】本題是以對數函數為背景的長度之比型幾何概型的計算. 【解析】選A. 由得，即，故所求概率為. 4. (·陜西高考理科·T11)設復數z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為　(　　) A.+ B.- C.- D.+ 【解題指南】由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,分別求面積可得. 【解析】選B.由于復數z=(x-1)+yi(

4、x,y∈R)且|z|≤1,因此|z|=≤1,即(x-1)2+y2≤1,即點(x,y)在以(1,0)為圓心、1為半徑的圓及其內部,而y≥x表達直線y=x左上方的部分(圖中陰影弓形),因此所求概率為弓形的面積與圓的面積之比, 即P==-. 5. (·陜西高考文科·T12)設復數z=(x-1)+yi(x,y∈R),若|z|≤1,則y≥x的概率為　(　　) A.+ B.+ C.- D.- 【解題指南】由題意易得所求概率為弓形的面積與圓的面積之比,分別求面積可得. 【解析】選C.由于復數z=(x-1)+yi(x,y∈R)且|z|≤1, 因此|z|=≤1,即(x-

5、1)2+y2≤1, 即點(x,y)在以(1,0)為圓心、1為半徑的圓及其內部, 而y≥x表達直線y=x左上方的部分(圖中陰影弓形), 因此所求概率為弓形的面積與圓的面積之比, 即P==-. 6. (·湖北高考理科·T7)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數x,y,記p1為事件“x+y≥”的概率,p2為事件“|x-y|≤”的概率,p3為事件“xy≤”的概率,則　(　　) A.p1

6、+dx=(1+ln2), S=1×1=1,由圖知,則p1<

7、在矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標為(1,0),且點C與點D在函數f(x)=的圖象上.若在矩形ABCD內隨機取一點,則此點取自陰影部分的概率等于　(　　) A. B. C. D. 【解題指南】求出點C和點D的坐標,轉化成面積型幾何概型的概率計算. 【解析】選B.由于四邊形ABCD為矩形,B(1,0)且點C和點D分別在直線y=x+1和y=-x+1上,因此C(1,2)和D(-2,2),因此陰影部分三角形的面積S=×3×1=,S矩形=3×2=6,故此點取自陰影部分的概率P==. 9. (·廣東高考文科·T7)已知5件產品中有2件次品,其他為合格品.現(xiàn)從這5件產品

8、中任取2件,恰有一件次品的概率為　(　　) A.0.4 B.0.6 C.0.8 D.1 【解題指南】先對產品標號,然后列舉出也許浮現(xiàn)的成果,根據古典概型概率公式求出所求的概率. 【解析】選B.5件產品中有2件次品,記為a,b,有3件合格品,記為c,d,e,從這5件產品中任取2件,有10種,分別是(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e),恰有一件次品,有6種,分別是(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),設事件A=“恰有一件次品”,則P(A)==0.6. 二、填空題

9、 10. (·江蘇高考·T5)袋中有形狀、大小都相似的4只球,其中1只白球,1只紅球,2只黃球,從中一次隨機摸出2只球,則這2只球顏色不同的概率為　　　　. 【解題指南】列出基本領件,運用古典概型的概率公式求解. 【解析】設4只球分別為白、紅、黃1、黃2,從中一次隨機摸出2只球,所有基本領件為(白,紅)、(白,黃1)、(白,黃2)、(紅,黃1)、(紅,黃2)、(黃1,黃2),共6個,顏色不同的有(白,紅)、(白,黃1)、(白,黃2)、(紅,黃1)、(紅,黃2),共5個,因此2只球顏色不同的概率為. 答案: 11. （·重慶高考文科·Ｔ15）在區(qū)間上隨機地選擇一種數，則方程有兩個負根的

10、概率為_________. 【解題指南】一方面根據題意列出方程有兩個負根滿足的條件求出的取值范疇，然后根據幾何概型的概率計算公式求解. 【解析】方程有兩個負根，則 ，解得或 又由于，根據幾何概型的概率計算公式可知 方程有兩個負根的概率為 答案： 三、解答題 12．（·安徽高考文科·T17）某公司為理解下屬某部門對本公司職工的服務狀況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區(qū)間為 （1）求頻率分布圖中的值； （2）估計該公司的職工對該部門評分不低于80的概率； （3）從評分在的受訪職工中，隨機抽取2人，求此

11、2人評分都在的概率. 【解題指南】對的辨認頻率分布直方圖分別求出概率,本題屬于容易題. 【解析】（1）由頻率分布直方圖可知：（0.004+a+0.018+0.0222+0028）10=1,解得a=0.006; （2）由頻率分布直方圖可知，評分不低于80分的頻率為：（0.022+0.018）10=0.4， 因此該公司的職工對該部門評分不低于80的概率為0.4. （3）受訪職工中評分在的有;(人)，記為; 受訪職工中評分在的有;(人)，記為。 從這5名受訪職工中隨機抽取2人，所有也許的成果共有10種，它們是受訪職工中評分在的有;(人)，記為，，,, ,,,,,,,又由于所 抽

12、取2人的評分都在的成果有1種，即，故所求的概率為。 13. (·北京高考文科·T17)(13分)某超市隨機選用1000位顧客,記錄了她們購買甲、乙、丙、丁四種食品的狀況,整頓成如下登記表,其中“√”表達購買,“×”表達未購買. 商品 顧客人數 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估計顧客同步購買乙和丙的概率. (2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同步購買3種商品的概率. (3)如果顧客購買了

13、甲,則該顧客同步購買乙、丙、丁中哪種商品也許性最大? 【解析】(1)1000位顧客中有200位同步購買乙和丙,因此估計顧客同步購買乙和丙的概率為 . (2)1000位顧客中有100位同步購買甲丙丁,200位同步購買甲乙丙,因此估計1000人中同步購買3種商品的概率為。 (3)購買了甲的顧客有100+200+300+85=685位. 則顧客同步購買乙概率為, 同步購買丙的概率為， 同步購買丁的概率為. 因此,顧客購買了甲,則該顧客同步購買丙的也許性最大. 14.(·四川高考文科·T17)一種小客車有5個座位,其座位號為1,2,3,4,5,乘客P1,P2,P3,P4,P5的座位號為

14、1,2,3,4,5,她們按照座位號順序先后上車,乘客P1因身體因素沒有坐自己座位號,這時司機規(guī)定余下的乘客按如下規(guī)則就座:如果自己的座位空著,就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就座,就在這5個座位的剩余空位中選擇座位. (1)若乘客P1坐到了3號座位,其她乘客按規(guī)則就座,則此時共有4種坐法.下表給出其中兩種坐法,請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就座的座位號填入表中空格處). 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 (2)若乘客P1坐到了2號座位,其她乘客按規(guī)則

15、就座,求乘客P5坐到5號座位的概率. 【解析】(1)當乘客P1坐在3號位置上,此時P2的位置沒有被占,只能坐在2位置,P3位置被占,可選剩余的任何一種座位,即可選1,4,5:①當P3選1位置,P4位置沒被占,只能選4位置,P5選剩余的,只有一種狀況; ②當P3選4位置,P4可選5位置也可選1位置,P5選剩余的,有兩種狀況; ③當P3選5位置,P4只可選4位置,P5選剩余的,有一種狀況.填表如下: 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位號 3 2 1 4 5 3 2 4 5 1 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1

16、 (2)狀況比較復雜,需要列表,當P1坐2位置時,P2位置被占,可選剩余的1,3,4,5座位,下表列出了所有也許 乘 客 P1 P2 P3 P4 P5 P1 P2 P3 P4 P5 分別的座位號 座 位 號 2 1 3 4 5 2,1,3,4,5 3 4 5 1 2,3,4,5,1 1 5 2,3,4,1,5 1 4 5 2,3,1,4,5 5 4 1 2,3,5,4,1 4 3 1

17、5 2,4,3,1,5 5 1 2,4,3,5,1 5 3 4 1 2,5,3,4,1 綜上,共有8種狀況,P5坐在5號位置上的狀況有4種,所求概率. 15.(·山東高考文科·T16)(本小題滿分12分) 某中學調查了某班所有45名同窗參與書法社團和演講社團的狀況,數據如表(單位:人) 參與書法社團 未參與書法社團 參與演講社團 8 5 未參與演講社團 2 30 (1)從該班隨機選1名同窗,求該同窗至少參與上述一種社團的概率. (2)在既參與書法社團又參與演講社團的8名同窗中,有5名男同窗,3名女同窗.現(xiàn)從這5名男同窗和3名女同窗中各隨機選1人,

18、求A1被選中且B1未被選中的概率. 【解題指南】將符合規(guī)定的基本領件一一列出. 【解析】(1)記“該同窗至少參與上述一種社團為事件A”,則 因此該同窗至少參與上述一種社團的概率為. (2)從5名男同窗和3名女同窗中各隨機選1人的所有基本領件有,,, ,共15個,其中A1被選中且B1未被選中的有(A1,B2),(A1,B3)共2個,因此A1被選中且B1未被選中的概率為 16.(·天津高考文科·T15)(本小題滿分13分)設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運動員人數分別為27,9,18,先采用分層抽樣的措施從這三個協(xié)會中抽取6名運動員參與比賽. (1)求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數

19、. (2)將抽取的6名運動員進行編號,編號分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6,從這6名運動員中隨機抽取2名參與雙打比賽. ①用所給編號列出所有也許的成果; ②設A為事件“編號為A5,A6的兩名運動員至少有一人被抽到”,求事件A發(fā)生的概率. 【解題指南】(1)由分層抽樣措施可知應從甲、乙、丙這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數分別為3,1,2. (2)①一一列舉,共15種;②符合條件的成果有9種,因此 【解析】(1)應從甲、乙、丙這三個協(xié)會中分別抽取的運動員人數分別為3,1,2. (2)①從這6名運動員中隨機抽取2名參與雙打比賽,所有也許的成果為,,,,,,,,,,,,,,,共1

20、5種. ②編號為的兩名運動員至少有一人被抽到的成果為,, ,, ,,,,,共9種,因此事件A發(fā)生的概率 17.(·福建高考文科·T18)(本小題滿分12分)全網傳播的融合指數是衡量電視媒體在中國網民中影響力的綜合指標.根據有關報道提供的全網傳播某全國性大型活動的“省級衛(wèi)視新聞臺”融合指數的數據,對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數進行分組記錄,成果如表所示. 組號 分組 頻數 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4 [7,8] 3 (1)現(xiàn)從融合指數在[4,5)和[7,8]內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家進行調研,求至少有

21、1家的融合指數在[7,8]內的概率. (2)根據分組登記表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融臺指數的平均數. 【解題指南】(1)列出所有的基本領件,至少有1組在[7,8]組所涉及的基本領件與總的基本領件的比值就是所求.(2)平均數等于每組的中點值與相應的頻率乘積之和. 【解析】措施一:(1)融合指數在內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為A1,A2,A3;融合指數在內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為B1,B2,從融合指數在和內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家的所有基本領件是: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{

22、A3,B2},{B1,B2}共10個.其中,至少有1家融合指數在內的基本領件是: {A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1}{A3,B2},共9個. 因此所求的概率P=. (2)這20家“省級衛(wèi)視新聞臺”的融合指數平均數等于 4.5×+5.5×+6.5×+7.5×=6.05. 措施二:(1)融合指數在內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為A1,A2,A3,融合指數在內的“省級衛(wèi)視新聞臺”記為B1,B2,從融合指數在和內的“省級衛(wèi)視新聞臺”中隨機抽取2家的所有基本領件是: {A1,A2},{A1,A3},{A2,

23、A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2}共10個.其中,沒有1家融合指數在內的基本領件是:{B1,B2},共1個. 因此所求的概率P=1-=. (2)同措施一. 18. (·陜西高考文科·T19)隨機抽取一種年份,對西安市該年4月份的天氣狀況進行記錄,成果如下: 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天氣 晴 雨 陰 陰 陰 雨 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19

24、 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天氣 晴 陰 雨 陰 陰 晴 陰 晴 晴 晴 陰 晴 晴 晴 雨 (1)在4月份任取一天,估計西安市在該天不下雨的概率. (2)西安市某學校擬從4月份的一種晴天開始舉辦持續(xù)兩天的運動會,估計運動會期間不下雨的概率. 【解題指南】(1)運用頻率估計概率,即得所求. (2)運用前一天為晴天的互鄰日期對有16對,其中后一天不下雨的有14個,由頻率估計概率得值. 【解析】(1)在容量為30的樣本中,不下雨的天數是26,以頻率估計概率,4月份任選一天,西安市不下雨的概率是. (2)稱相鄰兩個日期為“互鄰日期對”(如1日與2日,2日與3日等),這樣在4月份中,前一天為晴天的互鄰日期對有16對,其中后一天不下雨的有14對,因此晴天的次日不下雨的頻率為,以頻率估計概率,運動會期間不下雨的概率為. 關閉Word文檔返回原板塊