數(shù)學(xué)建模概率模型案例ppt課件

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1、,單擊此處編輯母版文本樣式,第二級(jí),第三級(jí),第四級(jí),第五級(jí),*,單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式,概率模型,概率模型,1,概率模型,（一）傳送系統(tǒng)的效率問題,（二）,報(bào)童的訣竅,（三）航空公司的超額訂票問題,概率模型（一）傳送系統(tǒng)的效率問題,2,確定性因素和隨機(jī)性因素,隨機(jī)因素可以忽略,隨機(jī)因素影響可以簡(jiǎn)單地以平均值的作用出現(xiàn),隨機(jī)因素影響必須考慮,概率模型,統(tǒng)計(jì)回歸模型,馬氏鏈模型,隨機(jī)模型,確定性模型,隨機(jī)性模型,確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡(jiǎn)單地,3,數(shù)學(xué)期望,離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布為,則隨機(jī)變量 X 的數(shù)學(xué)期望值為,連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的概率密度函數(shù)為,則隨機(jī)

2、變量 X 的數(shù)學(xué)期望值為,期望值反映了隨機(jī)變量取值的“平均”意義！,數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量 X 的概率分布為則隨機(jī)變量 X 的數(shù),4,傳送系統(tǒng)的效率,在機(jī)械化生產(chǎn)車間里，你可以看到這樣的情景：排列整齊的工作臺(tái)旁工人們緊張的生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，工作臺(tái)上方一條傳送帶在運(yùn)轉(zhuǎn)，帶上若干個(gè)鉤子，工人們將產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的鉤子上帶走，當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入,穩(wěn)態(tài),后，請(qǐng)大家構(gòu)造一個(gè)衡量傳送系統(tǒng),效率,的指標(biāo)，并建立模型描述此指標(biāo)與工人數(shù)量、鉤子數(shù)量等參數(shù)的關(guān)系。,傳送系統(tǒng)的效率在機(jī)械化生產(chǎn)車間里，你可以看到這樣的情景,5,效率：工人所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)，,傳送系統(tǒng)帶走的產(chǎn)品數(shù)，,穩(wěn)態(tài)：工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的時(shí)間長(zhǎng)短相同，即，生產(chǎn)

3、周期相同，,當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，工人生產(chǎn)一件產(chǎn)品的時(shí)刻再一個(gè)周期那是等可能，,工人的生產(chǎn)是相互獨(dú)立的。,鉤子均勻排列，到達(dá)第一個(gè)工作臺(tái)上方的鉤子為空鉤。,效率：工人所生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)，,6,模型的建立：工人人數(shù)n個(gè),鉤子個(gè)數(shù) m個(gè),帶走的產(chǎn)品數(shù)s個(gè),定義：當(dāng)生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，衡量傳送系統(tǒng) 效率的指標(biāo)，在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi),D帶走的產(chǎn)品數(shù)/生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù),s/n,模型的建立：工人人數(shù)n個(gè),7,S的確定：與空鉤個(gè)數(shù)有關(guān),從工人角度：每個(gè)工人能將自己的產(chǎn)品掛 上鉤子的概率與工人位置有關(guān)。,從鉤子的角度：鉤子無次序，處于同等地位，在一周期內(nèi)，m個(gè)鉤子求出非空的概率p，則s=mp,S的確定：與空鉤個(gè)數(shù)有關(guān),8,P的確

4、定,任一只鉤子被一名工人觸到的概率：,任一只鉤子不被一名工人觸到的概率：,工人相互獨(dú)立，任一只鉤子不被n名工人掛產(chǎn)品的概率：,任一只鉤子非空的概率為,P的確定,9,則傳送系統(tǒng)效率為：d=s/n=mp/n,=,當(dāng)n10,m=40,則傳送系統(tǒng)效率為：d=s/n=mp/n當(dāng)n10,m=40,10,報(bào)童的訣竅,問題：報(bào)童每天清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒有賣掉的報(bào)紙退回。設(shè)報(bào)紙每份的購(gòu)進(jìn)價(jià)為,b,，零售價(jià)為,a,，退回價(jià)為,c,，假設(shè),abc,。即報(bào)童售出一份報(bào)紙賺,a,-,b,，退回一份賠,b,-,c,。報(bào)童每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙?zhí)?，賣不完會(huì)賠錢；購(gòu)進(jìn)太少，不夠賣會(huì)少掙錢。試為報(bào)童籌劃一下每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的數(shù)

5、量，以獲得最大收入。,報(bào)童的訣竅問題：報(bào)童每天清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒有賣,11,1.確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量,2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式,每天的總收入為目標(biāo)變量,每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的份數(shù)為設(shè)計(jì)變量,3.尋找約束條件,尋找設(shè)計(jì)變量與目,標(biāo)變量之間的關(guān)系,設(shè)計(jì)變量所受的限制,問題分析,1.確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式每天的總收,12,若每天購(gòu)進(jìn) 0 份，,則,收入為 0。,若每天購(gòu)進(jìn) 1 份，,售出，則,收入為,a,-,b,。,退回，則,收入為,(,b,-,c)。,若每天購(gòu)進(jìn) 2 份，,售出1份，則,收入為,a,-,b,(,b,-c),。,退回，,則,收入為,2,(,b,-,c)

6、。,售出2份，則,收入為 2(,a,-,b,),。,收入還與每天的需求量有關(guān)，而需求量是隨機(jī)變量,則收入也是隨機(jī)變量，通常用均值，即期望表示。,若每天購(gòu)進(jìn) 0 份，則收入為 0。若每天購(gòu)進(jìn) 1 份，售出，,13,1 設(shè)每天購(gòu)進(jìn),n,份，,日平均收入為,G,(,n,),每天需求量為,r,的概率,f,(,r,),r,=0,1,2,2 售出一份賺,a,-,b,；退回一份賠,b,-,c,模型假設(shè)與符號(hào)說明,1 設(shè)每天購(gòu)進(jìn) n 份，日平均收入為 G(n)每天需求量為,14,求,n,使,G,(,n,),最大,每天的收入函數(shù)記為,U,(,n,)，則,收入函數(shù)的期望值為,建模,求 n 使 G(n)最大每天的收

7、入函數(shù)記為U(n)，則收入,15,將,r,視為連續(xù)變量,模型求解,將r視為連續(xù)變量模型求解,16,使報(bào)童日平均收入達(dá)到最大的購(gòu)進(jìn)量,應(yīng)滿足上式。,因?yàn)?使報(bào)童日平均收入達(dá)到最大的購(gòu)進(jìn)量應(yīng)滿足上式。因?yàn)?17,售完的概率,因?yàn)楫?dāng)購(gòu)進(jìn),份報(bào)紙時(shí)，,是需求量,不超過,的概率,是需求量 超過,的概率,售不完的概率,上式意義為：購(gòu)進(jìn)的份數(shù),之比，恰好等于賣出一份賺的錢,與退回一份賠的錢,之比。,應(yīng)該使賣不完與賣完,的概率,售完的概率因?yàn)楫?dāng)購(gòu)進(jìn)份報(bào)紙時(shí)，是需求量不超過的概率是需求量,18,根據(jù)需求量的概率密度,的圖形可以確定購(gòu)進(jìn)量,在圖中用,分別表示曲線,下的兩塊面積，則,O,n r,當(dāng)報(bào)童與報(bào)社簽訂的合

8、同使報(bào)童每份賺錢與賠錢之比越大時(shí)，報(bào)童購(gòu)進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。,結(jié)論,求解的幾何意義,根據(jù)需求量的概率密度的圖形可以確定購(gòu)進(jìn)量在圖中用分別表示曲線,19,注意,求解技巧：,連續(xù)化,建模方法：,從特殊到到一般,歸納抽象,2019年B題 災(zāi)情巡視路線,單旅行商到多旅行商,2019年B題 鉆井布局,網(wǎng)格的平行移動(dòng)到旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),2000年B題 鋼管的訂購(gòu)與運(yùn)輸,線形到樹形,2000年C題 飛越北極,球形到橢球形,人口模型，戰(zhàn)爭(zhēng)模型,隨機(jī)變量的目標(biāo)函數(shù)：,期望值,航空公司的超額訂票模型,注意求解技巧：連續(xù)化建模方法：從特殊到到一般歸納抽象2019,20,利用上述模型計(jì)算，若每份報(bào)紙的購(gòu)進(jìn)價(jià)為0.75元，售出

9、價(jià)為1元，退回價(jià)為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報(bào)童每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)多少份報(bào)紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？,舉例,利用上述模型計(jì)算，若每份報(bào)紙的購(gòu)進(jìn)價(jià)為0.75元，售,21,查概率積分表得,查概率積分表得,22,航空公司的,航空公司的,23,1 問題的提出,航空公司為了提高經(jīng)濟(jì)效益開展了一項(xiàng)預(yù)訂票業(yè)務(wù)。隨之帶來一系列的問題：若預(yù)訂票的數(shù)量恰等于飛機(jī)的容量，則由于總會(huì)有部分已訂票的乘客不按時(shí)前來登機(jī)，致使飛機(jī)因不滿員而利潤(rùn)降低，或虧本；若不限制訂票的數(shù)量，那些,本已訂好了某家航空公司的某趟航班的乘客，卻被意外地告知此趟航班已滿，公司不管以什么方式補(bǔ)救總會(huì)引起乘客的抱

10、怨，導(dǎo)致榮譽(yù)受損。,試建立航空公司訂票決策的數(shù)學(xué)模型，解決以上的問題。,1 問題的提出航空公司為了提高經(jīng)濟(jì)效益開展了一項(xiàng)預(yù)訂票業(yè)務(wù),24,2 問題分析,公司的經(jīng)濟(jì)利益,公司的社會(huì)聲譽(yù),利潤(rùn)=收入,-,成本,-,賠償金,已訂票但被擠掉的乘客的數(shù)量,怎樣確定預(yù)訂票數(shù)量限額，使得利潤(rùn)最大，同時(shí)被擠掉的乘客的數(shù)量盡可能小。,問題轉(zhuǎn)化為,以預(yù)訂票數(shù)量為決策變量的雙目標(biāo)隨機(jī)規(guī)劃問題。,訂票策略：,為了航空公司的經(jīng)濟(jì)利益與社會(huì)聲譽(yù)，確定預(yù)訂票的最佳數(shù)量。,2 問題分析公司的經(jīng)濟(jì)利益公司的社會(huì)聲譽(yù)利潤(rùn)=收入-成,25,3 模型假設(shè),飛機(jī)容量為常數(shù) n，機(jī)票價(jià)格為常數(shù) g，飛行 費(fèi)用為常數(shù) r。,機(jī)票價(jià)格按照

11、來制訂，其中 是利潤(rùn)調(diào)節(jié)因子，如 表示飛機(jī)60%滿員就不虧本。,預(yù)訂票數(shù)量的限額為常數(shù) m(n)，每位乘客不按時(shí)前來登機(jī)的概率為,p,，各位乘客是否按時(shí)登機(jī)是相互獨(dú)立的。,每位被擠掉的乘客獲得的賠償金為常數(shù)b。,3 模型假設(shè)飛機(jī)容量為常數(shù) n，機(jī)票價(jià)格為常數(shù) g，飛行,26,4 模型建立,先不考慮社會(huì)聲譽(yù)的影響。,公司的經(jīng)濟(jì)利益用平均利潤(rùn)（數(shù)學(xué)期望）,S,來衡量,訂票的總?cè)藬?shù)是,，,有可能超出,航空公司可能從航班中得到的利潤(rùn)為,當(dāng)有,個(gè)人誤機(jī)時(shí)，,4 模型建立先不考慮社會(huì)聲譽(yù)的影響。訂票的總?cè)藬?shù)是，有可,27,個(gè)人誤機(jī)的概率是 ，,平均利潤(rùn) 即(數(shù)學(xué)期望值)，,設(shè)有,由,得,當(dāng) 給定后，可以求

12、 m 使 最大。,個(gè)人誤機(jī)的概率是 ，平均利潤(rùn) 即(,28,數(shù)學(xué)建模概率模型案例ppt課件,29,考慮到社會(huì)聲譽(yù)，應(yīng)該要求被擠掉的乘客不能太多。,而由于被擠掉者的數(shù)量是隨機(jī)的。,用被擠掉的乘客數(shù)超過若干人的概率作為衡量標(biāo)準(zhǔn)。,設(shè)被擠掉的乘客數(shù)超過 人的概率為 ，則,被擠掉的乘客數(shù)超過 j 人等價(jià)于m位預(yù)訂票的乘客中不按時(shí)前來登機(jī)的不超過 m,-,n,-,j 人。,從社會(huì)聲譽(yù)和經(jīng)濟(jì)利益兩方面考慮,n,m,-,n,j,m-n-j,考慮到社會(huì)聲譽(yù)，應(yīng)該要求被擠掉的乘客不能太多。被擠掉的乘客數(shù),30,所建模型為雙目標(biāo)的優(yōu)化模型,模型變形,航空公司綜合考慮大量的因素，得出,的臨界人數(shù)大約是航班載客量的6

13、0%，即,所建模型為雙目標(biāo)的優(yōu)化模型模型變形航空公司綜合考慮大量的因素,31,數(shù)學(xué)建模概率模型案例ppt課件,32,計(jì)算一架載客量為300的飛機(jī)所能得到的預(yù)期利潤(rùn)，假設(shè),5 模型求解,m,300,302,304,306,308,310,312,314,316,P5,0,0,0,0,0,0.0005,0.0044,0.0232,0.0791,J1,0.5833,0.5939,0.6044,0.6150,0.6254,0.6355,0.6445,0.6519,0.6568,m,318,320,322,324,326,328,330,332,334,P5,0.1931,0.3627,0.5558,0

14、.7295,0.8565,0.9335,0.9730,J1,0.6594,0.6600,0.6592,0.6577,0.6558,0.6537,0.6517,計(jì)算一架載客量為300的飛機(jī)所能得到的預(yù)期利潤(rùn)，假設(shè) 5 模,33,結(jié)果表明：當(dāng)超額訂票的乘客數(shù)分別為20和36時(shí)，可以達(dá)到,最大的預(yù)期利潤(rùn)。有超過5名乘客發(fā)生座位沖撞的概率分別為,36%和54%。,當(dāng)超額訂票的乘客數(shù)分別為18和36時(shí)，可以達(dá)到較大的預(yù)期利潤(rùn)。有超過5名乘客發(fā)生座位沖撞的概率卻分別為20%和30%。,m,300,302,304,306,308,310,312,314,316,P5,0,0,0,0,0,0,0,0,0,J2

15、,0.5000,0.5100,0.5200,0.5300,0.5400,0.5500,0.5600,0.5700,0.5800,318,320,322,324,326,328,330,332,334,336,0,0.0002,0.0008,0.0030,0.0093,0.0243,0.0547,0.1074,0.1869,0.2922,0.5900,0.5999,0.6097,0.6193,0.6283,0.6365,0.6436,0.6492,0.6533,0.6559,結(jié)果表明：當(dāng)超額訂票的乘客數(shù)分別為20和36時(shí)，可以達(dá)到m3,34,6 模型推廣,1）酒店,酒店接受房間預(yù)訂主要是建立在誠(chéng)

16、信之上，因此通常不會(huì)再,接受有過失信記錄的顧客的預(yù)訂。一些酒店在接受預(yù)訂時(shí)會(huì),要求顧客交納押金，以此來確保顧客住房的概率（施行這種,方案的一般是低價(jià)酒店，因?yàn)樗鼈兊闹苻D(zhuǎn)資金往往不多），,而另一些酒店則可能會(huì)給長(zhǎng)期訂房或是預(yù)付房費(fèi)的顧客打折。,這種多價(jià)格系統(tǒng)的經(jīng)營(yíng)方式是可以考慮的。,6 模型推廣1）酒店,35,3）圖書館,圖書館都有可能購(gòu)買一些暢銷書籍的多種版本。特別是在,學(xué)院或大學(xué)圖書館里，時(shí)常購(gòu)買一系列課本。某些版本極,有可能僅限在圖書館內(nèi)，以方便學(xué)生們的使用。可以嘗試,建立書籍使用的模型。,2）汽車出租公司,汽車出租公司一般會(huì)保留固定數(shù)量的汽車（至少在短期內(nèi)）,以出租給顧客。出租公司可能會(huì)為頻繁租借汽車的顧客打折，以此來確保公司能有最低量的收入。而一些長(zhǎng)期出租品（一,次出租一周或一個(gè)月）也會(huì)標(biāo)上優(yōu)惠的價(jià)格，因?yàn)檫@給出了一個(gè)至少確定了未來的一段日子會(huì)有收入的策略。在預(yù),測(cè)一些車輛的預(yù)訂可能會(huì)被取消的情況下，一間公司有可,能充分地留出比它們計(jì)劃中要多的汽車。,3）圖書館2）汽車出租公司,36,求解雙（多）目標(biāo)的優(yōu)化模型,根據(jù)對(duì)多目標(biāo)的偏好程度，通過加權(quán)組合形式，化為單目標(biāo)規(guī)劃問題。,把