考點43 獨立性檢驗

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1、 記錄案例 理解獨立性檢查（只規(guī)定2×2列聯(lián)表）的基本思想、措施及其簡樸應(yīng)用，并能解決某些實際問題. 1．列聯(lián)表 設(shè)X，Y為兩個變量，它們的取值分別為和，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(列聯(lián)表)如下： 總計 a b a＋b c d c＋d 總計 a＋c b＋d 2．獨立性檢查 運用隨機變量(也可表達為)(其中為樣本容量)來判斷“兩個變量有關(guān)系”的措施稱為獨立性檢查． 3．獨立性檢查的一般環(huán)節(jié) (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出列聯(lián)表； (2)計算隨機變量的觀測值k，查下表擬定臨界值k0：

2、 (3)如果，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷出錯誤的概率不超過；否則，就覺得在出錯誤的概率不超過的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”． 【注意】(1)一般覺得時，樣本數(shù)據(jù)就沒有充足的證據(jù)顯示“X與Y有關(guān)系”． (2)獨立性檢查得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一種結(jié)論，因此才浮現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下擬定性結(jié)論，否則就也許對記錄計算的成果作出錯誤的解釋． (3)獨立性檢查是對兩個變量有關(guān)系的可信限度的判斷，而不是對其與否有關(guān)系的判斷． 考向一 兩類變量有關(guān)性的判斷 已知分類變量的數(shù)據(jù)

3、，判斷兩類變量的有關(guān)性．可根據(jù)數(shù)據(jù)及公式計算，然后作出判斷． 典例1 運用獨立性檢查來考察兩個分類變量和與否有關(guān)系時,通過查閱下表來擬定“和有關(guān)系”的可信度.如果,那么就有把握覺得“和有關(guān)系”的比例為 A． B． C． D． 【答案】D 【名師點睛】本題考察獨立性檢查的應(yīng)用，屬于基本題，根據(jù)所給的觀測值，與所給的臨界值表中的數(shù)據(jù)進行比較，而在觀測值表中相應(yīng)于5.024的是0.025，從而得到成果． 典例2 有人發(fā)現(xiàn)，多看電視容易使人變冷漠，

4、下表是一種調(diào)査機構(gòu)對此現(xiàn)象的調(diào)查成果： 附表： 則覺得多看手機與人冷漠有關(guān)系的把握大概為 A． B． C． D． 【答案】A 【名師點睛】本題重要考察獨立性檢查，旨在考察學生對該知識的掌握水平和解決實際問題的能力.把所給的數(shù)據(jù)代入求獨立性檢查的觀測值的公式，求出觀測值，把觀測值同獨立性檢查的臨界值表進行比較，得到所求的值不小于10.828，得到有99.9%的把握覺得看電視與人變冷漠有關(guān)系． 1．為理解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機構(gòu)隨機抽取60名高中生做問卷調(diào)查

5、，得到如下數(shù)據(jù)： 作文成績優(yōu)秀 作文成績一般 總計 課外閱讀量較大 22 10 32 課外閱讀量一般 8 20 28 總計 30 30 60 由以上數(shù)據(jù)，計算得到的觀測值，根據(jù)臨界值表，如下說法對的的是 附： P(K2≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.05 0.010 0.005 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 A．在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)” B．在

6、出錯誤的概率不超過0.001的前提下，覺得作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān) C．在出錯誤的概率不超過0.05的前提下，覺得作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān) D．在出錯誤的概率不超過0.005的前提下，覺得作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān) 考向二 獨立性檢查與概率記錄的綜合 獨立性檢查是一種記錄案例，是高考命題的一種熱點，多以解答題的形式浮現(xiàn)，試題難度不大，多為中檔題，高考中常常是將獨立性檢查與概率記錄相綜合進行命題，解題核心是根據(jù)獨立性檢查的一般環(huán)節(jié)，作出判斷，再根據(jù)概率記錄的有關(guān)知識求解問題. 典例3 某中學對高三甲、乙兩個同類班級進行“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘數(shù)學應(yīng)用

7、題’得分率作用”的實驗，其中甲班為實驗班(加強語文閱讀理解訓(xùn)練)，乙班為對比班(常規(guī)教學，無額外訓(xùn)練)，在實驗前的測試中，甲、乙兩班學生在數(shù)學應(yīng)用題上的得分率基本一致，實驗結(jié)束后，記錄幾次數(shù)學應(yīng)用題測試的平均成績(均取整數(shù))如下表所示： 現(xiàn)規(guī)定平均成績在80分以上(不含80分)的為優(yōu)秀. （1）試分別估計兩個班級的優(yōu)秀率; （2）由以上記錄數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表，并問與否有的把握覺得“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘數(shù)學應(yīng)用題’得分率”有協(xié)助？ 參照公式及數(shù)據(jù)： ，其中. 【答案】（1）甲、乙兩班的優(yōu)秀率分別為和；

8、（2）列聯(lián)表見解析，沒有的把握覺得“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘數(shù)學應(yīng)用題’得分率”有協(xié)助. （2）列聯(lián)表如下： 由于， 因此由參照數(shù)據(jù)知，沒有的把握覺得“加強‘語文閱讀理解’訓(xùn)練對提高‘數(shù)學應(yīng)用題’得分率”有協(xié)助. 2．高中生在被問及“家，朋友匯集的地方，個人空間”三個場合中“感到最幸福的場合在哪里？”這個問題時，從中國某都市的高中生中隨機抽取了55人，從美國某都市的高中生中隨機抽取了45人進行答題.中國高中生答題狀況是：選擇家的占、朋友匯集的地方占、個人空間占.美國高中生答題狀況是：朋友匯集的地方占、家占、個人空間占.如下表： 在家里最幸福 在其她場合幸福

9、 合計 中國高中生 美國高中生 合計 （1）請將列聯(lián)表補充完整，試判斷能否有的把握覺得“戀家”與否與國別有關(guān)； （2）從被調(diào)查的不“戀家”的美國學生中，用分層抽樣的措施選出4人接受進一步調(diào)查，再從4人中隨機抽取2人到中國交流學習，求2人中具有在“個人空間”感到幸福的學生的概率. 附：，其中. 0.050 0.025 0.010 0.001 3.841 5.024 6.635 10.828 1．觀測如圖所示的等高條形圖，其中最有把握覺得兩個分類變量x，y之間有關(guān)系的是 A． B． C．

10、 D． 2．在研究打酣與患心臟病之間的關(guān)系中，通過收集數(shù)據(jù)、整頓分析數(shù)據(jù)得“打酣與患心臟病有關(guān)”的結(jié)論，并且有以上的把握覺得這個結(jié)論是成立的.下列說法中對的的是 A．100個心臟病患者中至少有99人打酣 B．1個人患心臟病，那么這個人有99%的概率打酣 C．在100個心臟病患者中一定有打酣的人 D．在100個心臟病患者中也許一種打酣的人都沒有 3．已知兩個記錄案例如下： ①為了探究患肺炎與吸煙的關(guān)系，調(diào)查了名歲以上的人，調(diào)查成果如下表： 患肺炎 未患肺炎 總計 吸煙 43 162 205 不吸煙 13 121 134 總計 56 283

11、 339 ②為理解某地媽媽與女兒身高的關(guān)系，隨機測得10對母女的身高如下表： 媽媽身高(cm) 159 160 160 163 159 154 159 158 159 157 女兒身高(cm) 158 159 160 161 161 155 162 157 162 156 則對這些數(shù)據(jù)的解決所應(yīng)用的記錄措施是 A．①回歸分析，②取平均值 B．①獨立性檢查，②回歸分析 C．①回歸分析，②獨立性檢查 D．①獨立性檢查，②取平均值 4．某村莊對該村內(nèi)50名老年人、年輕人每年與否體檢的狀況進行了調(diào)查，記錄數(shù)據(jù)如表所示： 每年體檢

12、 每年未體檢 合計 老年人 7 年輕人 6 合計 50 已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完畢上面的列聯(lián)表數(shù)據(jù)錯誤的是 A． B． C． D． 5．為理解某班學生愛慕打籃球與否與性別有關(guān)，對本班人進行了問卷調(diào)查得到了下表： 愛慕打籃球 不愛慕打籃球 合計 男生 女生 合計 參照公式： ，其中. 臨界值表： 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)你覺得愛慕打籃球與性別之間有關(guān)系的把握是 A． B．

13、 C． D． 6．為了普及環(huán)保知識，增強環(huán)保意識，某大學從理工類專業(yè)的A班和文史類專業(yè)的B班各抽取20名同窗參與環(huán)保知識測試．記錄得到成績與專業(yè)的列聯(lián)表： 優(yōu)秀 非優(yōu)秀 總計 A班 14 6 20 B班 7 13 20 總計 21 19 40 附：參照公式及數(shù)據(jù)： (1)記錄量： ，其中. (2)獨立性檢查的臨界值表： P(K2≥k0) 0.050 0.010 k0 3.841 6.635 則下列說法對的的是 A．有99%的把握覺得環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān) B．有99%的把握覺得環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關(guān) C．有9

14、5%的把握覺得環(huán)保知識測試成績與專業(yè)有關(guān) D．有95%的把握覺得環(huán)保知識測試成績與專業(yè)無關(guān) 7．假設(shè)有兩個分類變量和的列聯(lián)表為： 總計 總計 對同同樣本，如下數(shù)據(jù)能闡明與有關(guān)系的也許性最大的一組為 A． B． C． D． 參照公式：，其中. 8．某學校為判斷高三學生選修文科與否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下列聯(lián)表： 理科 文科 合計 男 13 10 23 女 7 20 27 合計 20 30 50 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得到，已知，

15、．現(xiàn)作出結(jié)論“選修文科與性別有關(guān)”，估計這種判斷出錯的也許性約為 A． B． C． D． 9．某學校為了制定治理學校門口上學、放學期間家長接送孩子亂停車現(xiàn)象的措施，對全校學生家長進行了問卷調(diào)查.根據(jù)從中隨機抽取的50份調(diào)查問卷，得到了如下的列聯(lián)表： 批準限定區(qū)域停車 不批準限定區(qū)域停車 合計 男 20 5 25 女 10 15 25 合計 30 20 50 則覺得“與否批準限定區(qū)域停車與家長的性別有關(guān)”的把握約為__________． 附：，其中. 0.50 0.40 0.25 0.15 0.

16、10 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 10．已知下列命題： ①在線性回歸模型中，有關(guān)指數(shù)表達解釋變量對于預(yù)報變量的奉獻率，越接近于1，表達回歸效果越好； ②兩個變量有關(guān)性越強，則有關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1； ③在回歸直線方程中，當解釋變量每增長一種單位時，預(yù)報變量平均減少0.5個單位； ④對分類變量與，它們的隨機變量的觀測值來說， 越小，“與有關(guān)系”的把握限度越大． 其中對的命題的序號是___

17、_______． 11．一則“清華大學規(guī)定從級學生開始，游泳達到一定原則才干畢業(yè)”的消息在體育界和教育界引起了巨大反響.其實，已有不少高校將游泳列為必修內(nèi)容.某中學擬在高一下學期開設(shè)游泳選修課，為了理解高一學生喜歡游泳與否與性別有關(guān)，該學校對100名高一新生進行了問卷調(diào)查，得到如下列聯(lián)表: 喜歡游泳 不喜歡游泳 合計 男生 40 女生 30 合計 已知在這100人中隨機抽取1人，抽到喜歡游泳的學生的概率為. （1）請將上述列聯(lián)表補充完整，并判斷與否可以在出錯誤的概率不超過0.001的前提下覺得喜歡游泳與性別有關(guān). （2）已知在被調(diào)查的學生

18、中有6名來自高一(1)班，其中4名喜歡游泳，現(xiàn)從這6名學生中隨機抽取2人，求恰有1人喜歡游泳的概率. 附： 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 12．隨著資我市場的強勢進入，互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風來”，遍及了一二線都市的大街小巷.為理解共享單車在市的使用狀況，某調(diào)查機構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進行抽樣分析，得到表格：（單位：

19、人） 常常使用 偶爾或不用 合計 30歲及如下 70 30 100 30歲以上 60 40 100 合計 130 70 200 （1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在出錯誤的概率不超過0.15的前提下覺得市使用共享單車狀況與年齡有關(guān)？ （2）現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中運用分層抽樣的措施再抽取5人. （i）分別求這5人中常常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù)； （ii）從這5人中，再隨機選出2人贈送一件禮物，求選出的2人中至少有1人常常使用共享單車的概率. 參照公式：，其中. 參照數(shù)據(jù)： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010

20、2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 1．(高考新課標Ⅱ卷)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖措施的產(chǎn)量對比，收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）， 其頻率分布直方圖如下： （1）記A表達事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計A的概率； （2）填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷與否有99%的把握覺得箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖措施有關(guān)； 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 （3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對這兩種養(yǎng)殖措施的優(yōu)劣進行比較.

21、 附： P（） 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 . 2．(高考新課標Ⅲ卷)某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動，提出了完畢某項生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選用40名工人，將她們隨機提成兩組，每組20人.第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完畢生產(chǎn)任務(wù)的工作時間（單位：min）繪制了如下莖葉圖： （1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并闡明理由； （2）求40名工人完畢生產(chǎn)任務(wù)所需時間的中位數(shù)，并將完畢生產(chǎn)任務(wù)所

22、需時間超過和不超過的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表： 超過 不超過 第一種生產(chǎn)方式 第二種生產(chǎn)方式 （3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握覺得兩種生產(chǎn)方式的效率有差別？ 附：， 變式拓展 1．【答案】D 【解析】由于根據(jù)臨界值表，9.643>7.879，因此在出錯誤的概率不超過0.005的前提下，覺得作文成績優(yōu)秀與課外閱讀量大有關(guān)．故選D. 【名師點睛】本題考察卡方含義，考察基本求解能力.根據(jù)臨界值表，擬定出錯誤的概率即可. 2．【答案】（1）見解析；（2）. 【解析】（1

23、）由已知得： 在家里最幸福 在其她場合幸福 合計 中國高中生 22 33 55 美國高中生 9 36 45 合計 31 69 100 ∴， ∴有的把握覺得“戀家”與否與國別有關(guān). 【思路點撥】（1）根據(jù)題意填寫列聯(lián)表，計算觀測值，對照臨界值表得出結(jié)論； （2）用分層抽樣措施抽出4人，其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3人，在“個人空間”感到幸福的有1人，分別設(shè)為，再設(shè)“具有在‘個人空間’感到幸福的學生”為事件，求出基本領(lǐng)件數(shù)，即可求得概率值. 考點沖關(guān) 1．【答案】D 【解析】在等高條形圖中，x1，x2所占比例相差越大，分類變量x，y有

24、關(guān)系的把握越大. 故答案為D 【名師點睛】（1）本題重要考察通過等高條形圖判斷兩個分類變量與否有關(guān)系，旨在考察學生對該知識的掌握水平和分析推理能力. （2）在等高條形圖中，如果兩個分類變量所占的比例差距越大，則闡明兩個分類變量有關(guān)系的把握越大. 2．【答案】D 【名師點睛】獨立性檢查得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能完全肯定一種結(jié)論，因此才浮現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點，不可對某個問題下擬定性結(jié)論，否則就也許對記錄計算的成果作出錯誤的解釋． 3．【答案】B 【解析】常用獨立性檢查研究兩個分類變量之間與否有關(guān)系，常用回歸分析研究兩個具有

25、有關(guān)關(guān)系的變量的有關(guān)限度，綜上可知選B. 4．【答案】D 【解析】由于， 因此. 故選D. 【名師點睛】本題考察列聯(lián)表有關(guān)概念，考察基本求解能力.先根據(jù)列聯(lián)表列方程組，解得a,b,c,d,e,f再判斷各選項. 5．【答案】A 【解析】由已知可得， 由臨界值表可知，因此根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可以覺得愛慕打籃球與性別之間有關(guān)系的把握是，故選A. 6．【答案】C 【解析】由于，因此3.841

26、.5% 【解析】由于K2= ≈8.333，且P（K2≥7.789）=0.005=0.5%． 因此，我們有99.5%的把握覺得與否批準限定區(qū)域停車與家長的性別有關(guān)． 故答案為99.5%. 【名師點睛】本題考察獨立性檢查知識，考察學生的計算能力，考察學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．運用公式求得K2，與臨界值比較，即可得到結(jié)論. 10．【答案】①②③ 11．【答案】（1）列聯(lián)表見解析，可以；（2）. 【解析】（1）根據(jù)條件可知喜歡游泳的人數(shù)為人. 完畢列聯(lián)表： 喜歡游泳 不喜歡游泳 合計 男生 40 10 50 女生 20 30 50 合計

27、60 40 100 根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算 因此可以在出錯誤的概率不超過0.001的前提下覺得喜歡游泳與性別有關(guān). （2）設(shè)“恰有一人喜歡游泳”為事件A，設(shè)4名喜歡游泳的學生為，不喜歡游泳的學生為，基本領(lǐng)件總數(shù)有15種：， 其中恰有一人喜歡游泳的基本領(lǐng)件有8種：， 因此. 【名師點睛】本題考察了獨立性檢查與運算求解能力，同步考察通過列舉法求概率的應(yīng)用，屬于中檔題. （1）根據(jù)題意計算喜歡游泳的學生人數(shù)，求出女生、男生多少人，完善列聯(lián)表，再計算觀測值，對照臨界值表即可得出結(jié)論； （2）設(shè)“恰有一人喜歡游泳”為事件A，設(shè)4名喜歡游泳的學生為，不喜歡游泳的學生為，通過列舉法即可得到答

28、案. 12．【答案】（1）能在出錯誤的概率不超過0.15的前提下覺得市使用共享單車狀況與年齡有關(guān)； （2）（i）常常使用共享單車的有3人，偶爾或不用共享單車的有2人；（ii）. （2）（i）依題意可知，所抽取的5名30歲以上的網(wǎng)友中，常常使用共享單車的有（人），偶爾或不用共享單車的有（人）. （ii）設(shè)這5人中，常常使用共享單車的3人分別記為，，；偶爾或不用共享單車的2人分別記為，. 則從5人中選出2人的所有也許成果為：，，，，，，，，，，共10種. 其中沒有1人常常使用共享單車的也許成果為：，共1種， 故選出的2人中至少有1人常常使用共享單車的概率. 直通高考 1

29、．【答案】（1）0.62；（2）列聯(lián)表見解析，有99%的把握覺得箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖措施有關(guān)；（3）新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法. 【解析】（1）舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為 （0.012+0.014+0.024+0.034+0.040）×5=0.62. 因此，事件A的概率估計值為0.62. （2）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表 箱產(chǎn)量＜50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2=. 由于15.705＞6.635，故有99%的把握覺得箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖措施有關(guān). （3）箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表白：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平

30、均值（或中位數(shù)）在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中限度較舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中限度高，因此，可以覺得新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法. 【名師點睛】（1）頻率分布直方圖中小長方形面積等于相應(yīng)概率，所有小長方形面積之和為1. （2）頻率分布直方圖中均值等于組中值與相應(yīng)概率乘積的和. （3）均值大小代表水平高下，方差大小代表穩(wěn)定性. 2．【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高，理由見解析；（2）見解析；（3）能. （iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完畢生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖8上的最多，有關(guān)莖8大體呈對稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完畢生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布在莖7上的最多，有關(guān)莖7大體呈對稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完畢生產(chǎn)任務(wù)所需時間分布的區(qū)間相似，故可以覺得用第二種生產(chǎn)方式完畢生產(chǎn)任務(wù)所需的時間比用第一種生產(chǎn)方式完畢生產(chǎn)任務(wù)所需的時間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高. 以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其她合理理由均可得分. （2）由莖葉圖知. 列聯(lián)表如下： 超過 不超過 第一種生產(chǎn)方式 15 5 第二種生產(chǎn)方式 5 15