（名師導學）2020版高考數(shù)學總復習 第十章 直線與圓、圓錐曲線 第69講 曲線與方程練習 理（含解析）新人教A版

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1、第69講　曲線與方程 夯實基礎　【p157】 【學習目標】 1．了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系． 2．理解解析幾何的基本思想和利用坐標法研究幾何問題的基本方法． 3．能熟練地運用直接法、定義法、代數(shù)法、參數(shù)法等方法求曲線的軌跡方程． 【基礎檢測】 1．對?k∈R，則方程x2＋ky2＝1所表示的曲線不可能是(　　) A．兩條直線B．圓 C．橢圓或雙曲線D．拋物線 【解析】由k＝0，1時分別表示直線與圓； 及k>0且k≠1時表示橢圓； k<0時表示雙曲線， 所以方程x2＋ky2＝1不可能為拋物線． 【答案】D 2．當點P在圓x2＋y2＝1上變動時，它與定點Q(3

2、，0)相連，線段PQ的中點M的軌跡方程是(　　) A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1 C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1 【解析】設P(x1，y1)，Q(3，0)，設PQ的中點M的坐標為(x，y)， 則有?x1＝2x－3，y1＝2y， 又點P在圓x2＋y2＝1上，所以(2x－3)2＋(2y)2＝1. 即點M的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1. 【答案】C 3．已知圓O1和圓O2的半徑分別為2和4，且|O1O2|＝8，若動圓M與圓O1內(nèi)切，與圓O2外切，則動圓圓心M的軌跡是(　　) A．圓B．橢圓 C．雙曲線的一支D．拋

3、物線 【解析】設動圓M的半徑為R，由題意得|MO1|＝R－2，|MO2|＝R＋4， 所以|MO2|－|MO1|＝6(常數(shù))，且6<8＝|O1O2|， 所以動圓圓心M的軌跡是以O1，O2為焦點的雙曲線的一支． 【答案】C 4．過圓x2＋y2＝4上一點P作x軸的垂線，垂足為H，則線段PH的中點M的軌跡方程為____________． 【解析】設點M(x，y)，則點P(x，2y)． ∵點P(x，2y)在圓x2＋y2＝4上， ∴x2＋4y2＝4. ∴線段PH的中點M的軌跡方程為x2＋4y2＝4. 【答案】x2＋4y2＝4 5．已知⊙O的方程是x2＋y2－2＝0，⊙O1的方程是x2

4、＋y2－8x＋10＝0，由動點P向⊙O和⊙O1所引的切線長相等，則動點P的軌跡方程是__________． 【解析】設P(x，y)，分別切⊙O、⊙O1于A，B兩點． 則|PA|＝＝， |PB|＝＝， 因為|PA|＝|PB|， 所以＝， 化簡得x＝. 【答案】x＝ 【知識要點】 1．曲線的方程、方程的曲線的定義 如果曲線上的點與方程f(x，y)＝0的實數(shù)解建立了如下關系： (1)曲線上的點的坐標__都是這個方程的解__(稱曲線具備了純粹性)； (2)以這個方程的解為坐標的點__都在曲線上__(稱曲線具備了完備性)． 那么，我們就稱曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程.

5、2．直接法求動點軌跡方程的步驟 (1)建立適當?shù)淖鴺?，用有序?qū)崝?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標； (2)寫出適合條件P的點M的集合P＝{M|P(M)}； (3)用坐標表示條件P(M)，列出方程f(x，y)＝0； (4)化方程f(x，y)＝0為最簡形式； (5)說明方程的解為坐標的點都在曲線上． 3．求軌跡方程的常用方法 (1)直接法：題目中的條件有明顯的等量關系，或者可以利用平面幾何知識推出等量關系，列出含動點(x，y)的解析式． (2)定義法：分析題設幾何條件，根據(jù)圓錐曲線的定義，判斷軌跡是何種類型的曲線，直接求出該曲線的方程． (3)代入法：如果軌跡動點P(x，y

6、)依賴于另一動點Q(a，b)，而Q(a，b)又在某已知曲線上，則可先列出關于x，y，a，b的方程組，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲線方程便得動點P的軌跡方程，這種求軌跡的方法也叫做轉(zhuǎn)移法． (4)參數(shù)法：如果軌跡動點P(x，y)的坐標之間的關系不易找到，也沒有相關點可用時，可先考慮將x，y用一個或幾個參數(shù)來表示，消去參數(shù)得軌跡方程．參數(shù)法中常選角、斜率等為參數(shù)． 4．“軌跡”與“軌跡方程”的區(qū)別與聯(lián)系 一般說來，若是求“軌跡方程”，求得方程就可以了；若是求“軌跡”，求得方程還不夠，還應指出方程所表示的曲線的類型，“軌跡”與“軌跡方程”是兩個有相關性的不同概念． 典例剖析　【

7、p157】 考點1　直接法求軌跡方程 (1)已知△ABC的頂點B(0，0)，C(5，0)，AB邊上的中線長|CD|＝3，則頂點A的軌跡方程為________． 【解析】設A(x，y)，由題意可知D.又∵|CD|＝3， ∴＋＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三點不共線，∴點A不能落在x軸上，即y≠0，∴點A的軌跡方程為(x－10)2＋y2＝36(y≠0)． 【答案】(x－10)2＋y2＝36(y≠0) (2)與y軸相切并與圓C：x2＋y2－6x＝0也外切的圓的圓心的軌跡方程為________． 【解析】若動圓在y軸右側(cè)，設與y軸相切，且與圓x2＋y2－6x＝0外切的

8、圓的圓心為P(x，y)(x>0)，則半徑長為|x|，因為圓x2＋y2－6x＝0的圓心為(3，0)，所以＝|x|＋3，則y2＝12x(x>0)，若動圓在y軸左側(cè)，則y＝0，即圓心的軌跡方程為y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)． 【答案】y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0) 【點評】直接法求曲線方程的關鍵點和注意點 (1)關鍵點：直接法求曲線方程時最關鍵的就是把幾何條件或等量關系翻譯成代數(shù)方程，要注意翻譯的等價性，通常將步驟簡記為建系、設點、列式、代換、化簡、證明這幾個步驟，但最后的證明可以省略． (2)注意點：求出曲線的方程后還需注意檢驗方程的純粹性和完備性． 考點2　定義法

9、求軌跡方程 (1)已知點F，直線l：x＝－，點B是l上的動點．若過B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點M，則點M的軌跡是(　　) A．雙曲線B．橢圓C．圓D．拋物線 【解析】由已知：|MF|＝|MB|.由拋物線定義知，點M的軌跡是以F為焦點，l為準線的拋物線． 【答案】D (2)已知圓M：(x＋1)2＋y2＝1，圓N：(x－1)2＋y2＝9，動圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)切，圓心P的軌跡為曲線C.求C的方程． 【解析】由已知得圓M的圓心為M(－1，0)，半徑r1＝1；圓N的圓心為N(1，0)，半徑r2＝3.設圓P的圓心為P(x，y)，半徑為R.因為圓P與圓M外切并且與圓N內(nèi)

10、切， 所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4>2＝|MN|. 由橢圓的定義可知，曲線C是以M，N為左、右焦點，長半軸長為2，短半軸長為的橢圓(左頂點除外)，其方程為＋＝1(x≠－2)． (3)在△ABC中，||＝4，△ABC的內(nèi)切圓切BC于D點，且||－||＝2，求頂點A的軌跡方程． 【解析】以BC的中點為原點，中垂線為y軸，建立如圖所 示的坐標系，E、F分別為另兩個切點． 則|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|， |AE|＝|AF|，∴|AB|－|AC|＝2<4＝|BC|， ∴點A的軌跡為以B，C為焦點的雙曲線的右支(y≠0)且a＝，c＝2，

11、∴b＝， ∴軌跡方程為－＝1(x>)． 【點評】應用定義法求曲線方程的關鍵在于由已知條件推出關于動點的等量關系式，由等量關系結(jié)合曲線定義判斷是何種曲線，再設出標準方程，用待定系數(shù)法求解． 考點3　代入法求軌跡方程 設直線x－y＝4a與拋物線y2＝4ax交于兩點A，B(a為定值)，C為拋物線上任意一點，求△ABC的重心的軌跡方程． 【解析】設△ABC的重心為G(x，y)， 點C的坐標為(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由方程組： 消去y并整理得：x2－12ax＋16a2＝0. ∴x1＋x2＝12a， y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋

12、x2)－8a＝4a. ∵G(x，y)為△ABC的重心， ∴∴ 又點C(x0，y0)在拋物線上， ∴將點C的坐標代入拋物線的方程得： (3y－4a)2＝4a(3x－12a)，即＝(x－4a)． 又點C與A，B不重合，∴x0≠(6±2)a， ∴△ABC的重心的軌跡方程為 ＝(x－4a). 【點評】“相關點法”的基本步驟： (1)設點：設被動點坐標為(x，y)，主動點坐標為(x1，y1)； (2)求關系式：求出兩個動點坐標之間的關系式 (3)代換：將上述關系式代入已知曲線方程，便可得到所求動點的軌跡方程． 考點4　參數(shù)法求軌跡方程 如圖，在正方形OABC中，O為坐標原點，

13、點A的坐標為(10，0)，點C的坐標為(0，10)，分別將線段OA和AB十等分，分點分別記為A1，A2，…，A9和B1，B2，…，B9，連接OBi，過Ai作x軸的垂線與OBi交于點Pi(i∈N*，1≤i≤9)． (1)求證：點Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一條拋物線上，并求該拋物線E的方程； (2)過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M，N，若△OCM與△OCN的面積比為4∶1，求直線l的方程． 【解析】法一：(1)依題意，過Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x＝i，Bi的坐標為(10，i)， 所以直線OBi的方程為y＝x. 設Pi的坐標為(x，y)，由

14、 得y＝x2，即x2＝10y. 所以點Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x2＝10y. (2)依題意知，直線l的斜率存在， 設直線l的方程為y＝kx＋10. 由得x2－10kx－100＝0， 此時Δ＝100k2＋400>0，直線l與拋物線E恒有兩個不同的交點M，N. 設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則 因為S△OCM∶S△OCN＝4∶1，所以S△OCM＝4S△OCN， 所以|x1|＝4|x2|. 又x1·x2<0，所以x1＝－4x2，③ 把③代入①和②，得 解得k＝±. 所以直線l的方程為y＝±x＋10，即3x－2y＋20＝0或3x

15、＋2y－20＝0. 法二：(1)點Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在拋物線E：x2＝10y上． 證明如下：過Ai(i∈N*，1≤i≤9)且與x軸垂直的直線方程為x＝i，Bi的坐標為(10，i)， 所以直線OBi的方程為y＝x. 由解得Pi的坐標為， 因為點Pi的坐標都滿足方程x2＝10y， 所以點Pi(i∈N*，1≤i≤9)都在同一條拋物線上，且拋物線E的方程為x2＝10y. (2)同法一． 【點評】參數(shù)法求軌跡方程的步驟： (1)選取參數(shù)k，用k表示動點M的坐標． (2)得出動點M的參數(shù)方程 (3)消去參數(shù)k，得M的軌跡方程． (4)由k的范圍確定x，y的范圍． 方法

16、總結(jié)　　【p158】 1．求曲線的方程是解析幾何主要研究的兩類問題之一．要注意求軌跡與求軌跡方程的區(qū)別，求軌跡不僅要求方程，而且還需說明所求軌跡是什么樣的圖形，即圖形的形狀、位置． 2．求軌跡應注意的問題． (1)直接法是求軌跡方程的基本方法；定義法求軌跡的關鍵是緊扣解析幾何中有關曲線的定義，靈活應用定義；用代入法即相關點法求軌跡的關鍵是尋求關系式：x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)，然后代入已知曲線．而求對稱曲線(軸對稱、中心對稱等)方程實質(zhì)上也是用代入法(相關點法)解題． (2)無論用哪種方法求軌跡方程，都應注意軌跡方程的完備性和純粹性．求出的軌跡方程中若有的解不符合軌跡條件，

17、從而使軌跡圖形上有不符合軌跡條件的點存在，則該方程及其曲線不滿足純粹性；求出的軌跡方程所表示的曲線若不是所有適合條件的點的集合，即曲線之外還有適合條件的點存在，則該方程及其曲線不滿足完備性．求解軌跡問題時要避免軌跡方程不滿足純粹性和完備性的錯誤． (3)用幾何法求軌跡，常能減少大量的計算，事半功倍．挖掘圖形的幾何屬性，建立適當?shù)牡攘筷P系，然后聯(lián)系有關的定義，發(fā)展有用的條件，從而簡化計算，這是解題的關鍵． 走進高考　　【p158】 1．(2017·全國卷Ⅱ)設O為坐標原點，動點M在橢圓C：＋y2＝1上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點P滿足＝. (1)求點P的軌跡方程． (2)設點Q在直

18、線x＝－3上，且·＝1.證明：過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 【解析】(1)設P(x，y)，M(x0，y0)，則N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)． 由＝得x0＝x，y0＝y(tǒng). 因為M(x0，y0)在C上，所以＋＝1. 因此點P的軌跡方程為x2＋y2＝2. (2)由題意知F(－1，0)．設Q(－3，t)，P(m，n)，則 ＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－tn， ＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)． 由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0. 所以·＝0，即⊥.又過點P存在唯一直線

19、垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點F. 考點集訓　　【p268】 A組題 1．已知橢圓＋＝1(n>0)與雙曲線－＝1(m>0)有相同的焦點，則動點P(n，m)的軌跡是(　　) A．橢圓的一部分B．雙曲線的一部分 C．拋物線的一部分D．圓的一部分 【解析】∵橢圓＋＝1與雙曲線－＝1有相同的焦點，∴9－n2＝4＋m2，即m2＋n2＝5(0＜n＜3)這是圓的一部分． 【答案】D 2．已知圓O：x2＋y2＝1，P是圓O上任意一點，過點P向x軸作垂線，垂足為P′，點Q在線段PP′上，且＝2，則點Q的軌跡方程是(　　) A．9x2＋y2＝1B．x2＋＝1 C．x2＋

20、9y2＝1D．x2＋＝1 【解析】設點P(x，y)，P′(x，0)，Q(x0，y0)，根據(jù)＝2，因為三點在同一條豎直的線上，故得到y(tǒng)＝3y0，x＝x0，P是圓O上任意一點，將點坐標代入得到x＋9y＝1. 【答案】C 3．已知點P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點，定點M(－1，2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|＝|MQ|，則Q點的軌跡方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0D．2x－y＋5＝0 【解析】由題意知，M為PQ中點，設Q(x，y)，則P為(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0. 【答案】D 4．若

21、動點P(x，y)與兩定點M(－a，0)，N(a，0)的連線的斜率之積為常數(shù)k(ka≠0)，則點P的軌跡一定不可能是(　　) A．除M，N兩點外的圓 B．除M，N兩點外的橢圓 C．除M，N兩點外的雙曲線 D．除M，N兩點外的拋物線 【解析】因為動點P(x，y)與兩定點M(－a，0)，N(a，0)的連線的斜率之積為常數(shù)k， 所以·＝k，整理得y2－kx2＝－ka2， 當k>0時，方程的軌跡為雙曲線； 當k<0，且k≠－1時，方程的軌跡為橢圓； 當k＝－1時，點P的軌跡為圓， ∴拋物線的標準方程中，x或y的指數(shù)必有一個是1， 故P點的軌跡一定不可能是拋物線． 【答案】D 5

22、．已知圓的方程為x2＋y2＝4，若拋物線過點A(－1，0)、B(1，0)且以圓的切線為準線，則拋物線的焦點軌跡方程是________． 【解析】設拋物線焦點為F，過A、B、O作準線的垂線AA1、BB1、OO1，則|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由拋物線定義得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4，故F點的軌跡是以A、B為焦點，長軸長為4的橢圓(去掉長軸兩端點)． 【答案】＋＝1(y≠0) 6．如圖，點F(a，0)(a>0)，點P在y軸上運動，M在x軸上運動，N為動點，且·＝0，＋＝0，則點N的軌跡方程為________． 【解析】由題意，知P

23、M⊥PF且P為線段MN的中點，連接FN，延長FP至點Q使P恰為QF之中點；連接QM，QN，則四邊形FNQM為菱形，且點Q恒在直線l：x＝－a上，故點N的軌跡是以點F為焦點，直線l為準線的拋物線，其方程為：y2＝4ax. 【答案】y2＝4ax 7．已知點P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點P的動直線l與圓C交于A，B兩點，線段AB的中點為M，O為坐標原點． (1)求M的軌跡方程； (2)當|OP|＝|OM|時，求l的方程． 【解析】(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16， 所以圓心為C(0，4)，半徑為4. 設M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)

24、． 由題設知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點P在圓C的內(nèi)部，所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1，3)為圓心，為半徑的圓． 由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上，又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因為ON的斜率為3，所以l的斜率為－，故l的方程為x＋3y－8＝0. 8．如圖，動圓C1：x2＋y2＝t2，1

25、橢圓C2：＋y2＝1，知A1(－3，0)，A2(3，0)． 設點A的坐標為(x0，y0)，由曲線的對稱性， 得B(x0，－y0)， 設點M的坐標為(x，y)， 直線AA1的方程為y＝(x＋3)．① 直線A2B的方程為y＝(x－3)．② 由①②得y2＝(x2－9)．③ 又點A(x0，y0)在橢圓C2上，故y＝1－.④ 將④代入③得－y2＝1(x<－3，y<0)． 因此點M的軌跡方程為－y2＝1(x<－3，y<0)． B組題 1．已知二面角α－l－β的平面角為θ，點P在二面角內(nèi)，PA⊥α，PB⊥β，A，B為垂足，且PA＝4，PB＝5，設A，B到棱l的距離分別為x，y，當θ變化

26、時，點(x，y)的軌跡方程是(　　) A．x2－y2＝9(x≥0) B．x2－y2＝9(x≥0，y≥0) C．y2－x2＝9(y≥0) D．y2－x2＝9(x≥0，y≥0) 【解析】實際上就是求x，y所滿足的一個等式，設平面PAB與二面角的棱的交點是C，則AC＝x，BC＝y(tǒng)，在兩個直角三角形Rt△PAC，Rt△PBC中其斜邊相等，根據(jù)勾股定理即可得到x，y所滿足的關系式．如圖，x2＋42＝y(tǒng)2＋52，即x2－y2＝9(x≥0，y≥0)． 【答案】B 2．如圖，已知橢圓＋＝1的左、右頂點分別為A，B，C為圓x2＋y2＝4上非x軸上的一動點，線段CA，CB與橢圓分別交于點D，E，

27、線段EA與DB相交于點F. (1)當點C在y軸的正半軸上時，求△ADF與△BEF的面積和； (2)求證：直線AF與BF的斜率之積為定值，并求點F的軌跡方程． 【解析】(1)當C在y軸上時，C(0，2)，直線AC的方程為y＝x＋2， 由消去x得3y2－4y＝0，得D， 同理得E， ∴直線BD的方程：y＝(x－2)，∴F(0，1)， ∴S△ADF＝S△ABD－S△ABF＝·4·－·4·1＝， 由對稱性知：∴S△ADF＋S△BEF＝2S△ADF＝. (2)設D(x1，y1)，E(x2，y2)，F(xiàn)(x，y)，＋＝1?y＝， ∴kADkBD＝·＝＝－， 同理∴kEAkEB＝－，

28、 而kACkBC＝－1，∴kFAkFB＝＝－為定值． 即·＝－?＋y2＝1. 點F的軌跡方程為＋y2＝1(y≠0)． 3．已知常數(shù)m>0，向量a＝(0，1)，b＝(m，0)，經(jīng)過點A(m，0)，以λa＋b為方向向量的直線與經(jīng)過點B(－m，0)，以λb－4a為方向向量的直線交于點P，其中λ∈R. (1)求點P的軌跡方程，并指出軌跡E. (2)若點C(1，0)，當m＝2時，M為軌跡E上任意一點，求|MC|的最小值． 【解析】(1)由題意得λa＋b＝(m，λ)， ∴直線AP的方程為y＝－(x－m)，① 又λb－4a＝(λm，－4)， ∴直線BP的方程為y＝(x＋m)，② 由①，

29、②消去參數(shù)λ，得y2＝－(x2－m2)， 整理得＋＝1， 故點P的軌跡方程為＋＝1(m>0)． 當m＝2時，軌跡E是以(0，0)為圓心、半徑為2的圓； 當m>2時，軌跡E是以(±，0)為焦點、長軸長為2m的橢圓； 當0

30、不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E. (1)證明＋為定值，并寫出點E的軌跡方程； (2)設點E的軌跡為曲線C1，直線l交C1于M，N兩點，過B且與l垂直的直線與圓A交于P，Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍． 【解析】(1)因為|AD|＝|AC|，EB∥AC，故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC， 所以|EB|＝|ED|，故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|. 又圓A的標準方程為(x＋1)2＋y2＝16，從而|AD|＝4， 所以|EA|＋|EB|＝4. 由題設得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2，由橢圓定義可得點E的軌跡方程為＋＝1(

31、y≠0)． (2)當l與x軸不垂直時，設l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)． 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0. 則x1＋x2＝，x1x2＝. 所以|MN|＝|x1－x2|＝. 過點B(1，0)且與l垂直的直線m：y＝－(x－1)，A到m的距離為， 所以|PQ|＝2＝4. 故四邊形MPNQ的面積 S＝|MN||PQ|＝12. 可得當l與x軸不垂直時，四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，8)． 當l與x軸垂直時，其方程為x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，四邊形MPNQ的面積為12. 綜上，四邊形MPNQ面積的取值范圍是[12，8)． 16