高中數(shù)學 第二章 平面向量 1 從位移、速度、力到向量 北師大版必修4

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1、1 1 從位移、速度、力到向量第二章平面向量學習目標1.能結(jié)合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數(shù)量的區(qū)別.2.會用有向線段作向量的幾何表示，了解有向線段與向量的聯(lián)系與區(qū)別，會用字母表示向量.3.理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量及向量的模等概念，會辨識圖形中這些相關(guān)的概念.題型探究問題導學內(nèi)容索引當堂訓練問題導學思考1知識點一向量的概念在日常生活中有很多量，如面積、質(zhì)量、速度、位移等，這些量有什么區(qū)別？答案答案答案面積、質(zhì)量只有大小，沒有方向；而速度和位移既有大小又有方向.思考2兩個數(shù)量可以比較大小，那么兩個向量能比較大小嗎？答案答案答案數(shù)量之間可以比較大小

2、，而兩個向量不能比較大小.向量與數(shù)量(1)向量：既有 ，又有 的量統(tǒng)稱為向量.(2)數(shù)量：只有 ，沒有 的量稱為數(shù)量.梳理梳理大小方向大小方向思考1知識點二向量的表示方法向量既有大小又有方向，那么如何形象、直觀地表示出來？答案答案答案可以用一條有向線段表示.思考20的模長是多少？0有方向嗎？答案答案答案 0的模長為0，方向任意.思考3單位向量的模長是多少？答案答案答案單位向量的模長為1個單位長度.梳理梳理(1)向量的表示具有 和長度的線段叫作有向線段，以A為起點，以B為終點的有向線段記作 ，線段AB的長度也叫作有向線段 的長度，記作 .向量可以用 來表示.有向線段的長度表示 ，即長度(也稱模)

3、.箭頭所指的方向表示 . 向 量 也 可 以 用 黑 體 小 寫 字 母 如 a ， b ， c ， 來 表 示 ， 書 寫用 來表示.(2) 的向量叫作零向量，記作 ；_ 的向量，叫作a方向上的單位向量，記作a0.有向線段向量的大小向量的方向長度為0與向量a同方向，且長度為單位1方向思考1知識點三相等向量與共線向量已知A，B為平面上不同兩點，那么向量 和向量 相等嗎？它們共線嗎？答案答案答案因為向量 和向量 方向不同，所以二者不相等.又表示它們的有向線段在同一直線上，所以兩向量共線.思考2向量平行、共線與平面幾何中的直線、線段平行、共線相同嗎？答案答案答案不相同，由相等向量定義可知，向量可以

4、任意移動.由于任意一組平行向量都可以移動到同一直線上，所以平行向量也叫作共線向量.因此共線向量所在的直線可以平行，也可以重合.思考3若ab，bc，那么一定有ac嗎？答案答案答案不一定.因為當b0時，a，c可以是任意向量.梳理梳理(1)相等向量： 且 的向量叫作相等向量.(2)平行向量：如果表示兩個向量的有向線段所在的直線 ，則稱這兩個向量平行或共線.記法：a與b平行或共線，記作 .規(guī)定：零向量與 平行.長度相等方向相同平行或重合ab任一向量題型探究 例例1下列說法正確的是A.向量 與向量 的長度相等B.兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的終點相同C.零向量沒有方向D.任意兩個單位向量都相等

5、類型一向量的概念解解析析兩個有共同起點，且長度相等的向量，它們的方向不一定相同，終點也不一定相同；零向量的方向不確定，并不是沒有方向；任意兩個單位向量只有長度相等，方向不一定相同，故B，C，D都錯誤，A正確.故選A.答案解析解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量要特別注意方向問題.反思與感悟解解析析錯誤.|a|b|僅說明a與b的模相等，不能說明它們方向的關(guān)系.錯誤.共線向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求兩個向量 、 必須在同一直線上，因此點A、B、C、D不一定在同一條直線上.正確.向量 和 是長度相等，方向相反的兩個向量.跟蹤訓練跟蹤訓練1下列說法正確的有_.若|a|b|

6、，則ab或ab；向量 與 是共線向量，則A、B、C、D四點必在同一條直線上；向量 與 是平行向量.答案解析例例2如圖所示，ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC、AB、BC的中點.類型二共線向量與相等向量(1)寫出與 共線的向量；解答解解因為E、F分別是AC、AB的中點，又因為D是BC的中點，(2)寫出與 的模大小相等的向量；解答(3)寫出與 相等的向量.解答(1)非零向量共線是指向量的方向相同或相反.(2)共線的向量不一定相等，但相等的向量一定共線.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練2如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心.解解與 的模相等的線段是六條邊和六條半徑(如OB)，而每一條線段可以有

7、兩個向量，所以這樣的向量共有23個.(2)是否存在與 長度相等、方向相反的向量？若存在，有幾個？解解存在.(1)與 的模相等的向量有多少個？由正六邊形的性質(zhì)可知，BCAOEF，解答解解由(2)知，BCOAEF，線段OD，AD與OA在同一條直線上，(3)與 共線的向量有哪些？解答例例3一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100 km到達B點，然后又改變方向，向西偏北50的方向走了200 km到達C點，最后又改變方向，向東行駛了100 km到達D點.類型三向量的表示及應用解答(2)求| |.解答在四邊形ABCD中，AB綊CD，四邊形ABCD為平行四邊形，準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方

8、向，然后根據(jù)向量的大小確定向量的終點.反思與感悟跟蹤訓練跟蹤訓練3在如圖的方格紙上，已知向量a，每個小正方形的邊長為1.解答解解根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長度相等(作圖略).(1)試以B為終點畫一個向量b，使ba；解解由平面幾何知識可知，所有這樣的向量c的終點的軌跡是以A為圓心， 為半徑的圓(作圖略).(2)在圖中畫一個以A為起點的向量c，使|c| ，并說出向量c的終點的軌跡是什么？當堂訓練1.下列結(jié)論正確的個數(shù)是溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量；向量的模是一個正實數(shù)；向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；若|a|b|，則ab.A.0 B.1 C.2 D.32341答案

9、解析2341解析解析溫度沒有方向，所以不是向量，故錯；向量的模也可以為0，故錯；向量不可以比較大小，故錯；若a，b中有一個為零向量，則a與b必共線，故a與b不共線，則應均為非零向量，故對.2.下列說法錯誤的是A.若a0，則|a|0B.零向量是沒有方向的C.零向量與任一向量平行D.零向量的方向是任意的答案2341解析解析零向量的長度為0，方向是任意的，它與任一向量都平行，所以B是錯誤的.解析3.如圖所示，梯形ABCD為等腰梯形，則兩腰上的向量 與 的關(guān)系是2341答案解析解析| |與| |表示等腰梯形兩腰的長度，故相等.解析4.如圖所示，在以12方格紙中的格點(各線段的交點)為起點和終點的向量中.2341解答(1)寫出與 、 相等的向量；2341解答(2)寫出與 的模相等的向量.規(guī)律與方法1.向量是既有大小又有方向的量，從其定義可以看出向量既有代數(shù)特征又有幾何特征，因此借助于向量，我們可以將某些代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，又將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，故向量能起到數(shù)形結(jié)合的橋梁作用.2.共線向量與平行向量是一組等價的概念.兩個共線向量不一定要在一條直線上.當然，同一直線上的向量也是平行向量.3.注意兩個特殊向量零向量和單位向量，零向量與任何向量都平行，單位向量有無窮多個，起點相同的所有單位向量的終點在平面內(nèi)形成一個單位圓.本課結(jié)束