2022年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析(II)

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1、2022年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（理科） 含解析(II) 　 一．選擇題（本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分） 1．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是（　?。? A． B． C． D． 2．定積分（（2x+sinx）dx等于（　?。? A．0 B． C． D． 3．已知命題p：?x∈R，ex+x3+2x2+4≠0，則?p為（　　） A．?x0∈R，使得lnx0+x03+2x02+4=0 B．?x0∈R，使得ex0+x03+2x02+4≠0 C．?x∈R，使得ex+x3+2x2+4=0 D．?x0∈R，使得ex0+x03+2x02+4=0 4．用反證法證明結(jié)論：“曲線y=f（x

2、）與曲線y=g（x）至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”時(shí)，要做的假設(shè)是（　?。? A．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至多有兩個(gè)不同的交點(diǎn) B．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至多有一個(gè)交點(diǎn) C．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn) D．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至少有一個(gè)交點(diǎn) 5．已知直線x+ay=a+2（a∈R）與圓x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0交于M，N兩點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)的最小值為（　?。? A． B． C．2 D． 6．（x+8）（3﹣x）＜0的一個(gè)充分不必要條件是（　?。? A．﹣8＜x＜3 B．x＞8 C．x＜﹣3 D．x＜﹣8或x＞3 7．給出以下五

3、個(gè)結(jié)論： ①經(jīng)過(guò)A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)的直線的方程為； ②以A（x1，y1），B（x2，y2）為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程為（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0； ③平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)2a的點(diǎn)的軌跡是橢圓； ④平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差為常數(shù)2a（2a＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線； ⑤平面上到定點(diǎn)F和到定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線． 其中正確結(jié)論有（　?。? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 8．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1﹣2i）（a+i）是純虛數(shù)，且a+（b﹣1）i＜0（a，b∈R），復(fù)數(shù)z滿足

4、|z|=3，則|z+a﹣bi|的最大值為（　?。? A． B． C． D． 9．在平行四邊形ABCD中，已知C（﹣3，0），D（3，0），點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，且，則點(diǎn)A的軌跡方程是（　?。? A． B． =1（x≥2） C． D． =1（x≥3） 10．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在平面ABCD上，滿足PC1=3PA，則點(diǎn)P的軌跡為（　?。? A．直線 B．一段圓弧 C．橢圓 D．圓 11．點(diǎn)P（1，t）（t＞0）是橢圓上一點(diǎn)，A，B是該橢圓上異于點(diǎn)P的兩個(gè)點(diǎn)，且直線PA，PB的傾斜角分別為72°和108°，則直線AB的斜率為（　?。? A．﹣或 B．tan18° C

5、． D．tan36° 12．觀察下列不等式： ， ， ， ， …． 照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為（　　） A． B． C． D． 　 二．填空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分） 13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8=3，則a2+a3+a6+a7=______． 14．已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax在（3，+∞）單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______． 15．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，己知AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別的棱BB1，CC1上，且滿足AB=BE=3，F(xiàn)C1=2，則平面AEF與平面ABC所成的銳二面角的正切值等于______． 16．

6、設(shè)F是橢圓C： =1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作橢圓C的切線并相交于點(diǎn)P，線段OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓C于點(diǎn)Q，滿足，且，則橢圓C的離心率為______． 　 三．解答題（本題共6個(gè)小題，共70分．要求每道題都必須寫出必要的過(guò)程） 17．已知函數(shù)f（x）=ex（x2﹣3）． （1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程； （2）求函數(shù)y=f（x）的極值． 18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知a=4，c=3，cosA=﹣． （1）求角C的大??； （2）求△ABC的面積． 19．?dāng)?shù)列{an}滿足

7、，且a1=2． （1）寫出a2，a3，a4的值； （2）歸納猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明； （3）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn． 20．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是邊長(zhǎng)為4的正三角形，M為PD的中點(diǎn)，底面ABCD是矩形，CD=3． （1）求異面直線PB與CM所成的角α的余弦值； （2）求直線AC與平面PCM所成的角β的正切值． 21．已知A（0，﹣1）是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，直線AF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，滿足|AF|=5|FB|．以D（﹣1，1）為圓心的⊙D與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，滿

8、足|AM|=|AN|． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求圓心D到直線MN的距離d的值． 22．已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣3x+8． （1）求函數(shù)y=f（x）在[e，e3]（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的值域； （2）設(shè)0＜a＜b，求證：． 　 參考答案與試題解析 　 一．選擇題（本題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分） 1．復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可． 【解答】解：復(fù)數(shù)==． 復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的虛部是：． 故選：B． 　 2．定積分（（2

9、x+sinx）dx等于（　?。? A．0 B． C． D． 【考點(diǎn)】定積分． 【分析】根據(jù)定積分的計(jì)算法則計(jì)算即可． 【解答】解：（2x+sinx）dx=（x2﹣cosx）|=0， 故選：A． 　 3．已知命題p：?x∈R，ex+x3+2x2+4≠0，則?p為（　?。? A．?x0∈R，使得lnx0+x03+2x02+4=0 B．?x0∈R，使得ex0+x03+2x02+4≠0 C．?x∈R，使得ex+x3+2x2+4=0 D．?x0∈R，使得ex0+x03+2x02+4=0 【考點(diǎn)】命題的否定． 【分析】利用全稱命題的否定是特稱命題寫出結(jié)果即可． 【解答】解：因?yàn)槿Q

10、命題的否定是特稱命題，所以，命題p：?x∈R，ex+x3+2x2+4≠0，則?p為：?x∈R，使得ex+x3+2x2+4=0． 故選：C． 　 4．用反證法證明結(jié)論：“曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至少有兩個(gè)不同的交點(diǎn)”時(shí)，要做的假設(shè)是（　?。? A．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至多有兩個(gè)不同的交點(diǎn) B．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至多有一個(gè)交點(diǎn) C．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn) D．曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至少有一個(gè)交點(diǎn) 【考點(diǎn)】反證法的應(yīng)用． 【分析】“至少有兩個(gè)”的反面為“最多有一個(gè)”，據(jù)此直接寫出結(jié)論即可． 【解答】解

11、：∵至少有兩個(gè)”的反面為“最多有一個(gè)”， ∴應(yīng)假設(shè)：曲線y=f（x）與曲線y=g（x）至多有一個(gè)交點(diǎn)． 故選：B． 　 5．已知直線x+ay=a+2（a∈R）與圓x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0交于M，N兩點(diǎn)，則線段MN的長(zhǎng)的最小值為（　?。? A． B． C．2 D． 【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系． 【分析】把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得圓心和半徑，求得弦心距d的最大值，可得|MN|的最小值． 【解答】解：圓x2+y2﹣2x﹣2y﹣7=0，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=9， 表示以C（1，）為圓心、半徑等于3的圓， 要使弦長(zhǎng)最小，只有弦心距最大． ∵直線x+ay=a+2（a∈R

12、）恒過(guò)定點(diǎn)（2，1）， ∴弦心距d的最大值為1， ∴|MN|的最小值為2=4， 故選：A． 　 6．（x+8）（3﹣x）＜0的一個(gè)充分不必要條件是（　?。? A．﹣8＜x＜3 B．x＞8 C．x＜﹣3 D．x＜﹣8或x＞3 【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【分析】由（x+8）（3﹣x）＜0解得x＞3或x＜﹣8．即可判斷出結(jié)論． 【解答】解：由（x+8）（3﹣x）＜0解得x＞3或x＜﹣8． ∴（x+8）（3﹣x）＜0的一個(gè)充分不必要條件是x＞8． 故選：B． 　 7．給出以下五個(gè)結(jié)論： ①經(jīng)過(guò)A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)的直線的方程為； ②以A

13、（x1，y1），B（x2，y2）為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程為（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0； ③平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)2a的點(diǎn)的軌跡是橢圓； ④平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差為常數(shù)2a（2a＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線； ⑤平面上到定點(diǎn)F和到定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線． 其中正確結(jié)論有（　?。? A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè) 【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用． 【分析】利用直線、圓的方程，橢圓，雙曲線、拋物線的定義，即可得出結(jié)論． 【解答】解：①經(jīng)過(guò)A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)的直線的方程為（x1≠

14、x2，y1≠y2），不正確； ②以A（x1，y1），B（x2，y2）為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)的圓的方程為（x﹣x1）（x﹣x2）+（y﹣y1）（y﹣y2）=0，正確； ③平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和為常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡是橢圓，不正確； ④平面上到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)2a（2a＜|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡是雙曲線，不正確； ⑤當(dāng)定點(diǎn)位于定直線時(shí)，此時(shí)的點(diǎn)到軌跡為垂直于直線且以定點(diǎn)為垂足的直線，只有當(dāng)點(diǎn)不在直線時(shí)，軌跡才是拋物線，所以不正確． 故選：D． 　 8．i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)（1﹣2i）（a+i）是純虛數(shù)，且a+（b﹣1）i＜0（a，

15、b∈R），復(fù)數(shù)z滿足|z|=3，則|z+a﹣bi|的最大值為（　　） A． B． C． D． 【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算． 【分析】由題意求出a，b的值，然后數(shù)形結(jié)合求得答案． 【解答】解：∵（1﹣2i）（a+i）=（a+2）+（1﹣2a）i為純虛數(shù)， ∴a=﹣2， 又a+（b﹣1）i＜0（a，b∈R）， ∴b=1， 則﹣a+bi=2+i， |z+a﹣bi|=|z﹣（2+i）|， 又|z|=3， 如圖： ∴|z+a﹣bi|的最大值為3+． 故選：C． 　 9．在平行四邊形ABCD中，已知C（﹣3，0），D（3，0），點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，且，則點(diǎn)A的軌跡方程是（

16、　　） A． B． =1（x≥2） C． D． =1（x≥3） 【考點(diǎn)】軌跡方程． 【分析】設(shè)A（（x，y），則E（， y），F(xiàn)（， y），利用，建立方程，化簡(jiǎn)即可點(diǎn)A的軌跡方程． 【解答】解：設(shè)A（（x，y），則E（， y），F(xiàn)（， y）， ∵， ∴﹣=4， 化簡(jiǎn)得=1（x≥3）， 故選：D． 　 10．棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點(diǎn)P在平面ABCD上，滿足PC1=3PA，則點(diǎn)P的軌跡為（　?。? A．直線 B．一段圓弧 C．橢圓 D．圓 【考點(diǎn)】軌跡方程． 【分析】在底面上建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出P的坐標(biāo)，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)正方體的性質(zhì)，利用PC

17、1=3PA，兩點(diǎn)之間的距離公式，整理出關(guān)于x，y的方程，結(jié)果是一個(gè)圓． 【解答】解：建立如圖所示設(shè)P（x，y，0），A（0，0，0），C1（1，1，1） ∵PC1=3PA， ∴（x﹣1）2+（y﹣1）2+1=9x2+9y2， 化簡(jiǎn)得（x﹣）2+（y﹣）2= 故P點(diǎn)軌跡是圓． 故選：D． 　 11．點(diǎn)P（1，t）（t＞0）是橢圓上一點(diǎn)，A，B是該橢圓上異于點(diǎn)P的兩個(gè)點(diǎn)，且直線PA，PB的傾斜角分別為72°和108°，則直線AB的斜率為（　?。? A．﹣或 B．tan18° C． D．tan36° 【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系． 【分析】將P（1，t）代入橢圓方程，求得t值

18、，設(shè)PB的直線方程為y﹣=k（x﹣1），與橢圓C聯(lián)立方程組，求出B點(diǎn)坐標(biāo)；再設(shè)PA的直線方程為y﹣=﹣k（x﹣1），與橢圓C聯(lián)立方程組，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，由此能求出直線AB的斜率． 【解答】解：將P（1，t）（t＞0）代入橢圓方程， 解得：t=，則P（1，）， 設(shè)PB的直線方程為y﹣=k（x﹣1），將直線方程代入橢圓方程， （3+4k2）x2+4k（3﹣2k）x+4（﹣k）2﹣12=0， 設(shè)A（xA，yA），則xA+1=， xA=， yA=k（xA﹣1）+=kxA﹣k+， 又直線PB與PA的傾斜角互補(bǔ)，在上式中以﹣k代k， 設(shè)B（xB，yB）， 可得xB=， yB=﹣k（xA

19、﹣1）+=kxB+k+， ∴直線AB的斜率為kAB==， ==， ∴直線AB的斜率為． 故選：C． 　 12．觀察下列不等式： ， ， ， ， …． 照此規(guī)律，第五個(gè)不等式為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】歸納推理． 【分析】根據(jù)已知式子尋找右端分母與左側(cè)最后一個(gè)分母的關(guān)系，分子與分母的關(guān)系，得出規(guī)律． 【解答】解： =， =， ==， ==， 由上述式子可發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律： （1）各式右端分母為左端最后一個(gè)分母底數(shù)與其相鄰整數(shù)的乘積的2倍． （2）相鄰兩項(xiàng)分子的差為以5為公差的等差數(shù)列， 照此規(guī)律可以得到： =． 故選A． 　 二．填

20、空題（本題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分） 13．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S8=3，則a2+a3+a6+a7=　?。? 【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和． 【分析】等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S8=3，可得a1+a8，再利用a2+a3+a6+a7=2（a1+a8）即可得出． 【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S8=3， ∴=3， 解得a1+a8= 則a2+a3+a6+a7=2（a1+a8）=2×=． 故答案為：． 　 14．已知函數(shù)f（x）=ex﹣ax在（3，+∞）單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　（﹣∞，e3]?。? 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單

21、調(diào)性． 【分析】函數(shù)f（x）=ex﹣ax在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增?函數(shù)f′（x）=ex﹣a≥0在區(qū)間（1，+∞）上恒成立， ?a≤[ex]min在區(qū)間（1，+∞）上成立． 【解答】解：f′（x）=ex﹣a， ∵函數(shù)f（x）=ex﹣ax在區(qū)間（3，+∞）上單調(diào)遞增， ∴函數(shù)f′（x）=ex﹣a≥0在區(qū)間（3，+∞）上恒成立， ∴a≤[ex]min在區(qū)間（3，+∞）上成立． 而ex＞e3， ∴a≤e3． 故答案為：（﹣∞，e3]． 　 15．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，己知AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別的棱BB1，CC1上，且滿足AB=BE=3，F(xiàn)C1=2，則平面AE

22、F與平面ABC所成的銳二面角的正切值等于　?。? 【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法． 【分析】建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，求出平面AEF與平面ABC的法向量，利用向量法進(jìn)行求解即可． 【解答】解：建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖： ∵AA1=8，AB=BE=3，F(xiàn)C1=2， ∴A（0，0，0），B（3，0，0），E（3，0，3），F(xiàn)（3，3，6）， 則平面ABC的一個(gè)法向量=（0，0，1）， 設(shè)平面AEF的法向量為為=（x，y，z）， 則=（3，0，3），=（3，3，6）， 由得，即， 令x

23、=1，則z=﹣1，y=1， 則=（1，1，﹣1）， cos＜，＞===﹣， ∴面AEF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值cosθ=， 則sinθ==， 則tanθ===， 故答案為：． 　 16．設(shè)F是橢圓C： =1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B作橢圓C的切線并相交于點(diǎn)P，線段OP（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）交橢圓C于點(diǎn)Q，滿足，且，則橢圓C的離心率為　?。? 【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)． 【分析】由，可取Q，由于，可得P．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得過(guò)點(diǎn)A，B的切線方程分別為： =1， +=1．聯(lián)立解得P．設(shè)直線AB的方程為：y=k

24、（x+c），可得xP=﹣=﹣，于是=﹣，即可得出． 【解答】解：∵，∴可取Q， ∵滿足，∴=， ∴P． 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）， 可得過(guò)點(diǎn)A，B的切線方程分別為： =1， +=1． 聯(lián)立解得P． 設(shè)直線AB的方程為：y=k（x+c）， ∴xP=﹣=﹣， ∴=﹣， 解得e==． 故答案為：． 　 三．解答題（本題共6個(gè)小題，共70分．要求每道題都必須寫出必要的過(guò)程） 17．已知函數(shù)f（x）=ex（x2﹣3）． （1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程； （2）求函數(shù)y=f（x）的極值． 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲

25、線上某點(diǎn)切線方程． 【分析】（1）求導(dǎo)，f′（0）=﹣3，直線斜率為﹣3，且過(guò)點(diǎn)（0，﹣3），利用點(diǎn)斜式方程，求得切線方程； （2）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值． 【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=ex（x2﹣3）， 則f′（x）=ex（x2+2x﹣3）=ex（x+3）（x﹣1）， 故f′（0）=﹣3，又f（0）=﹣3， 故曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為：y+3=﹣3x，即3x+y+3=0； （2）由（1）知f′（x）=0可得：x=1或x=﹣3， 如下表：令f′（x）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1；此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增； 令f′（x）＜0，解得﹣3＜x

26、＜1，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞遞減． x （﹣∞，﹣3） ﹣3 （﹣3，1） 1 （1，+∞） f′（x） + 0 ﹣ 0 + f（x） 遞增 極大值 遞減 極小值 遞增 當(dāng)x=﹣3時(shí)取極大值，極大值為：f（﹣3）=6e﹣3， 當(dāng)x=1取極小值為f（1）=﹣2e． 　 18．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知a=4，c=3，cosA=﹣． （1）求角C的大小； （2）求△ABC的面積． 【考點(diǎn)】余弦定理． 【分析】（1）利用正弦定理即可得出； （2）利用和差公式與三角形的面積計(jì)算公式即可得出． 【解答】解：（1）在△AB

27、C中，由題可知角A為鈍角，故角C為銳角． ∵sinA==， 故，即，得C=45°； （2）由 （1）得， 故△ABC的面積為． 　 19．?dāng)?shù)列{an}滿足，且a1=2． （1）寫出a2，a3，a4的值； （2）歸納猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明； （3）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn． 【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)列遞推式． 【分析】（1）由a1=2，，分別令n=1，2，3，即可得出； （2）由（1）猜想：an=3﹣，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可， （3）先求出bn=﹣，裂項(xiàng)求和即可． 【解答】解：（1）{an}滿足，且a1=2， ∴a2===，a3==，a

28、3==， （2）可以猜想an=3﹣， 證明如下：①當(dāng)n=1時(shí)，猜想當(dāng)然顯然成立； ②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N+）時(shí)猜想成立， 即ak=3﹣，則ak+1====3﹣， 故當(dāng)然n=k+1時(shí)猜想成立， 由①②可知，猜想成立； （3）由（2）知bn==﹣， 故Tn=（﹣）=1﹣=． 　 20．如圖，四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是邊長(zhǎng)為4的正三角形，M為PD的中點(diǎn)，底面ABCD是矩形，CD=3． （1）求異面直線PB與CM所成的角α的余弦值； （2）求直線AC與平面PCM所成的角β的正切值． 【考點(diǎn)】直線與平面所成的角；異面直線及其所成的角． 【

29、分析】（1）可取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)N，并連接OP，ON，根據(jù)條件可以說(shuō)明ON，OD，OP三直線兩兩垂直，從而分別以這三直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可求出圖形上各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可求出向量的坐標(biāo)，這樣根據(jù)cosα=即可求出異面直線PB與CM所成的角α的余弦值； （2）根據(jù)條件可以說(shuō)明AM⊥平面PCM，從而得出為平面PCM的一條法向量，可求出向量的坐標(biāo)，這樣根據(jù)求出sinβ，從而求出cosβ，從而得出tanβ的值． 【解答】解：如圖， 取AD中點(diǎn)O，BC中點(diǎn)N，連接OP，ON，由題知OP⊥AD，ON⊥AD； ∵平面PAD⊥平面ABCD； ∴OP⊥平面ABCD，∴ON，OD，O

30、P兩兩垂直； 因此可以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)N，OD，OP三直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則： A（0，﹣2，0），B（3，﹣2，0），C（3，2，0），，D（0，2，0），； ∴（1）； ∴=； 即異面直線PB與CM所成的角α的余弦值為； （2）平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD； ∴CD⊥平面PAD，AM?平面PAD； ∴AM⊥CD，△PAD為正三角形，M為PD的中點(diǎn)； ∴AM⊥PD，PD∩CD=D； ∴AM⊥平面PCD，即AM⊥平面PCM； ∴為平面PCM的一條法向量； 又； ∴=，∴； ∴； 即直線AC與平面PCM所

31、成的角β的正切值為． 　 21．已知A（0，﹣1）是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C的右焦點(diǎn)，直線AF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為B，滿足|AF|=5|FB|．以D（﹣1，1）為圓心的⊙D與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，滿足|AM|=|AN|． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求圓心D到直線MN的距離d的值． 【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；點(diǎn)到直線的距離公式． 【分析】（1）由題意設(shè)橢圓C：，且F（c，0），由此利用橢圓性質(zhì)能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程． （2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），且E（x0，y0）為MN的中點(diǎn)，利用點(diǎn)差法求出，．由此能求出圓心D到直線MN的距離． 【解答】

32、解：（1）由題意設(shè)橢圓C：，且F（c，0）， 則由|AF|=5|FB|，知B（），代入橢圓C的方程并化簡(jiǎn)得2a2=3c2=3（a2﹣1），即a2=3， 故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程： =1． （2）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），且E（x0，y0）為MN的中點(diǎn)， 則=1， =1． 兩式相減得，故2x0+6y0?kMN=0． ∵|AM|=|AN|，故點(diǎn)A在線段MN的中垂線上．又點(diǎn)D在線段MN的中垂線上， ∴A，E，D三點(diǎn)共線，且AD⊥MN．kAD=﹣2，∴，從而． ∵，解得，． ∴圓心D到直線MN的距離d=|DE|=． 　 22．已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣3x+8． （1）

33、求函數(shù)y=f（x）在[e，e3]（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的值域； （2）設(shè)0＜a＜b，求證：． 【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用． 【分析】（1）法一：求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（e），f（e2），f（e3）的值，從而求出函數(shù)的值域；法二：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的值域即可； （2）令g（b）=2f（a）+f（b）﹣3f（），通過(guò)討論函數(shù)的單調(diào)性，證明即可． 【解答】解：（1）法一：由題易知f′（x）=lnx﹣2，由f′（x）=0可得x=e2． 因?yàn)閒（e）=8﹣2e，f（e2）=8﹣e2，f（e3）=8， 故函數(shù)y=f

34、（x）在[e，e3]的值域?yàn)閇8﹣e2，8]； 法二：由題易知f′（x）=lnx﹣2，由f′（x）＞0可得x＞e2， 由f′（x）＜0可得0＜x＜e2， 故函數(shù)y=f（x）在（0，e2）遞減，在（e2，+∞）遞增， 從而y=f（x）在[e，e2）遞減，在[e2，e3]遞增， 因?yàn)閒（e）=8﹣2e，f（e2）=8﹣e2，f（e3）=8， 故函數(shù)y=f（x）在[e，e3]的值域?yàn)閇8﹣e2，8]； （2）令， 則， 故g（b）在（a，+∞）遞增，得g（b）＞g（a）=0， 令h（b）=g（b）﹣（b﹣a）ln3， 則h'（b）=g'（b）﹣ln3=， 故函數(shù)h（b）在（a，+∞）遞減， 得h（b）＜h（a）=0， 故g（b）＜（b﹣a）ln3， 綜上可知0＜g（b）＜（b﹣a）ln3， 即． 　 xx9月19日