《理論力學(xué)》動(dòng)力學(xué)典型習(xí)題+答案.doc

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《動(dòng)力學(xué)I》第一章 運(yùn)動(dòng)學(xué)部分習(xí)題參考解答 1－3 解： 運(yùn)動(dòng)方程：，其中。 將運(yùn)動(dòng)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并將代入得 1－6 x y o 證明：質(zhì)點(diǎn)做曲線運(yùn)動(dòng),所以, 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的速度為,由圖可知: ，所以: 將， 代入上式可得 x y o 證畢 1－7 證明：因?yàn)椋? 所以： 證畢 1－10 解：設(shè)初始時(shí),繩索AB的長(zhǎng)度為,時(shí)刻時(shí)的長(zhǎng)度 為,則有關(guān)系式： ，并且 將上面兩式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得： ， 由此解得： （a） (a)式可寫成：，將該式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得： (b) 將(a)式代入(b)式可得：（負(fù)號(hào)說明滑塊A的加速度向上） A O A O B R 1－11 解：設(shè)B點(diǎn)是繩子AB與圓盤的切點(diǎn)，由于繩子相對(duì)圓盤無滑動(dòng)，所以，由于繩子始終處于拉直狀態(tài)，因此繩子上A、B兩點(diǎn)的速度在 A、B兩點(diǎn)連線上的投影相等，即： （a） 因?yàn)? （b） 將上式代入（a）式得到A點(diǎn)速度的大小為： （c） 由于，（c）式可寫成：，將該式兩邊平方可得： 將上式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得： 將上式消去后，可求得： 由上式可知滑塊A的加速度方向向左，其大小為 1－13 解：動(dòng)點(diǎn)：套筒A； 動(dòng)系：OA桿； 定系：機(jī)座； 運(yùn)動(dòng)分析： 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)； 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 根據(jù)速度合成定理 有：，因?yàn)锳B桿平動(dòng)，所以， 由此可得，OC桿的角速度為，，所以 當(dāng)時(shí)，OC桿上C點(diǎn)速度的大小為 x 1－15 解：動(dòng)點(diǎn)：銷子M 動(dòng)系1：圓盤 動(dòng)系2：OA桿 定系：機(jī)座； 運(yùn)動(dòng)分析： 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：曲線運(yùn)動(dòng) 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng) 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 根據(jù)速度合成定理有 ， 由于動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度與動(dòng)系的選取無關(guān)，即，由上兩式可得： (a) 將（a）式在向在x軸投影,可得： 由此解得： 1－17 解：動(dòng)點(diǎn)：圓盤上的C點(diǎn)； 動(dòng)系：OA桿； 定系：機(jī)座； 運(yùn)動(dòng)分析：絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)（平行于O1A桿）； 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 根據(jù)速度合成定理有 （a） 將（a）式在垂直于O1A桿的軸上投影以及在O1C軸上投影得： ， ，， 根據(jù)加速度合成定理有 （b） 將（b）式在垂直于O1A桿的軸上投影得 其中：，， 由上式解得： 1－19 解：由于ABM彎桿平移，所以有 取：動(dòng)點(diǎn)：套筒M； 動(dòng)系：OC搖桿； 定系：機(jī)座； 運(yùn)動(dòng)分析： 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)； 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 根據(jù)速度合成定理 可求得：，， 根據(jù)加速度合成定理 將上式沿方向投影可得： 由于，，，根據(jù)上式可得： ， 1-20 M O A B 解：取小環(huán)為動(dòng)點(diǎn)，OAB桿為動(dòng)系 運(yùn)動(dòng)分析 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：直線運(yùn)動(dòng)； 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。 由運(yùn)動(dòng)分析可知點(diǎn)的絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度的方向如圖所示， 其中： 根據(jù)速度合成定理： 可以得到： ， M O A B 加速度如圖所示，其中： ， 根據(jù)加速度合成定理： 將上式在軸上投影，可得：,由此求得： 1－21 O x’ y’ 解：求汽車B相對(duì)汽車A的速度是指以汽車 A為參考系觀察汽車B的速度。 取：動(dòng)點(diǎn)：汽車B； 動(dòng)系：汽車A（Ox’y’）； 定系：路面。 運(yùn)動(dòng)分析 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)：圓周運(yùn)動(dòng)； 牽連運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)（汽車A繞O做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)） 求相對(duì)速度，根據(jù)速度合成定理 將上式沿絕對(duì)速度方向投影可得： O x’ y’ 因此 其中：， 由此可得： 求相對(duì)加速度，由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)， 相對(duì)速度的大小為常值，因此有： 2-1 x 解：當(dāng)摩擦系數(shù)足夠大時(shí)，平臺(tái)AB 相對(duì)地面無滑動(dòng)，此時(shí)摩擦力 取整體為研究對(duì)象，受力如圖， 系統(tǒng)的動(dòng)量： 將其在軸上投影可得： 根據(jù)動(dòng)量定理有： 即：當(dāng)摩擦系數(shù)時(shí)，平臺(tái)AB的加速度為零。 當(dāng)摩擦系數(shù)時(shí)，平臺(tái)AB將向左滑動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)量為： 將上式在軸投影有： 根據(jù)動(dòng)量定理有： 由此解得平臺(tái)的加速度為：（方向向左） 2-2 x 取彈簧未變形時(shí)滑塊A的位置為x坐標(biāo)原點(diǎn)，取整體為研究對(duì)象，受力如圖所示,其中為作用在滑塊A上的彈簧拉力。系統(tǒng)的動(dòng)量為： 將上式在x軸投影： 根據(jù)動(dòng)量定理有： 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為： 2－4 取提起部分為研究對(duì)象，受力如圖(a)所示，提起部分的質(zhì)量為，提起部分的速度為，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)可知質(zhì)點(diǎn)并入的相對(duì)速度為，方向向下，大小為（如圖a所示）。 y （a） (b) 根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有： 將上式在y軸上投影有： 由于，所以由上式可求得：。 再取地面上的部分為研究對(duì)象，由于地面上的物體沒有運(yùn)動(dòng)，并起與提起部分沒有相互作用力，因此地面的支撐力就是未提起部分自身的重力，即： x 3－5 將船視為變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)，取其為研究對(duì)象， 受力如圖。根據(jù)變質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)方程有： 船的質(zhì)量為：，水的阻力為 將其代入上式可得： 將上式在x軸投影：。應(yīng)用分離變量法可求得 由初始條件確定積分常數(shù)，并代入上式可得： 2-8 圖a所示水平方板可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動(dòng)，板對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)沿半徑為的圓周運(yùn)動(dòng)，其相對(duì)方板的速度大小為（常量）。圓盤中心到轉(zhuǎn)軸的距離為。質(zhì)點(diǎn)在方板上的位置由確定。初始時(shí)，，方板的角速度為零，求方板的角速度與角的關(guān)系。 o M 圖a 圖 b 解：取方板和質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，作用在研究對(duì)象上的外力對(duì)轉(zhuǎn)軸z的力矩為零，因此系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒。下面分別計(jì)算方板和質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩。 設(shè)方板對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為，其角速度為，于是有 設(shè)質(zhì)點(diǎn)M對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為，取方板為動(dòng)系，質(zhì)點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，其牽連速度和相對(duì)速度分別為。相對(duì)速度沿相對(duì)軌跡的切線方向，牽連速度垂直于OM連線。質(zhì)點(diǎn)M相對(duì)慣性參考系的絕對(duì)速度。它對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩為 其中： 系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為。初始時(shí)，，此時(shí)系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為 當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到圖8-12位置時(shí)，系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩為 由于系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩守恒。所以有，因此可得： 由上式可計(jì)算出方板的角速度為 2－11 取鏈條和圓盤為研究對(duì)象，受力如圖（鏈條重力未畫），設(shè)圓盤的角速度為，則系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩為： P 根據(jù)動(dòng)量矩定理有： 整理上式可得： 由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系可知：，因此有：。上式可表示成： 令，上述微分方程可表示成：，該方程的通解為： 根據(jù)初始條件：可以確定積分常數(shù)，于是方程的解為： 系統(tǒng)的動(dòng)量在x軸上的投影為： 系統(tǒng)的動(dòng)量在y軸上的投影為： 根據(jù)動(dòng)量定理： 由上式解得：， 2－14 取整體為研究對(duì)象，系統(tǒng)的動(dòng)能為： 其中：分別是AB桿的速度和楔塊C的速度。 若是AB桿上的A點(diǎn)相對(duì)楔塊C的速度，則根據(jù) 復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理可知：， 因此系統(tǒng)的動(dòng)能可表示為：，系統(tǒng)在能夠過程中，AB桿的重力作功。根據(jù)動(dòng)能定理的微分形式有：，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示成： 由上式解得：， 2－17 質(zhì)量為的均質(zhì)物塊上有一半徑為的半圓槽，放在光滑的水平面上如圖A所示。質(zhì)量為光滑小球可在槽內(nèi)運(yùn)動(dòng)，初始時(shí)，系統(tǒng)靜止，小球在A處。求小球運(yùn)動(dòng)到B處時(shí)相對(duì)物塊的速度、物塊的速度、槽對(duì)小球的約束力和地面對(duì)物塊的約束力。 A B A B 圖A 圖B 解：取小球和物塊為研究對(duì)象，受力如圖B所示，由于作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力均為有勢(shì)力，水平方向無外力，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，水平動(dòng)量守恒。設(shè)小球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，物塊為動(dòng)系，設(shè)小球相對(duì)物塊的速度為，物塊的速度為，則系統(tǒng)的動(dòng)能為 設(shè)為勢(shì)能零點(diǎn)，則系統(tǒng)的勢(shì)能為 根據(jù)機(jī)械能守恒定理和初始條件有，即 系統(tǒng)水平方向的動(dòng)量為： 根據(jù)系統(tǒng)水平動(dòng)量守恒和初始條件有 由此求出，將這個(gè)結(jié)果代入上面的機(jī)械能守恒式,且最后求得： 下面求作用在小球上的約束力和地面對(duì)物塊的約束力。分別以小球和物塊為研究對(duì)象，受力如圖C，D所示。設(shè)小球的相對(duì)物塊的加速度為，物塊的加速度為，對(duì)于小球有動(dòng)力學(xué)方程 A B A B （a） 圖C 圖 D 對(duì)于物塊，由于它是平移，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)方程有 （b） 將方程（a）在小球相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的法線方向投影，可得 其中相對(duì)加速度為已知量，。將方程（b）在水平方向和鉛垂方向投影，可得 領(lǐng)，聯(lián)立求解三個(gè)投影可求出 2－18 取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，兩個(gè)小球?qū)ΨQ下滑， 設(shè)圓環(huán)的半徑為R。每個(gè)小球應(yīng)用動(dòng)能定理有： （a） 將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并簡(jiǎn)化可得： (b ) 每個(gè)小球的加速度為 取圓環(huán)與兩個(gè)小球?yàn)檠芯繉?duì)象，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 將上式在y軸上投影可得： 將(a),(b)兩式代入上式化簡(jiǎn)后得 時(shí)對(duì)應(yīng)的值就是圓環(huán)跳起的臨界值，此時(shí)上式可表示成 上述方程的解為：， 圓環(huán)脫離地面時(shí)的值為 而也是方程的解，但是時(shí)圓環(huán)已脫離地面，因此不是圓環(huán)脫離地面時(shí)的值。 z 2－19 取圓柱、細(xì)管和小球?yàn)檠芯繉?duì)象。作用于系統(tǒng)上的外力或平行于鉛垂軸或其作用線通過鉛垂軸。根據(jù)受力分析可知：系統(tǒng)對(duì)鉛垂軸的動(dòng)量矩守恒。設(shè)小球相對(duì)圓柱的速度為，牽連速度為系統(tǒng)對(duì)z軸的動(dòng)量矩守恒，有： 其中：，則上式可表示成： 由此解得： 其中：， 根據(jù)動(dòng)能定理積分式，有： 其中：，將其代入動(dòng)能定理的積分式，可得： 將代入上式，可求得： 由可求得： 2－20 取鏈條為研究對(duì)象，設(shè)鏈條單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為 應(yīng)用動(dòng)量矩定理，鏈條對(duì)O軸的動(dòng)量矩為： 外力對(duì)O軸的矩為： 因?yàn)椋?，所以上式可表示成? 積分上式可得： 由初始條件確定積分常數(shù)，最后得： 動(dòng)力學(xué)第三章部分習(xí)題解答 3－3 取套筒B為動(dòng)點(diǎn)，OA桿為動(dòng)系 根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理 可得：， 研究AD桿，應(yīng)用速度投影定理有： ， 再取套筒D為動(dòng)點(diǎn)，BC桿為動(dòng)系，根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理 將上式在x軸上投影有：， 3－4 AB構(gòu)件（灰色物體）作平面運(yùn)動(dòng)， 已知A點(diǎn)的速度 C AB的速度瞬心位于C，應(yīng)用速度瞬心法有： ， 設(shè)OB桿的角速度為，則有 設(shè)P點(diǎn)是AB構(gòu)件上與齒輪I的接觸點(diǎn)， 該點(diǎn)的速度： 齒輪I的角速度為： 3－6 AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn) 根據(jù)基點(diǎn)法公式有： 將上式在AB連線上投影，可得 因此， 因?yàn)锽點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，此時(shí)速度為零， 因此只有切向加速度（方向如圖）。 根據(jù)加速度基點(diǎn)法公式 將上式在AB連線上投影，可得 ， x y （瞬時(shí)針） 3－7 齒輪II作平面運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn)有 將上式在x 投影有： 由此求得： x y 再將基點(diǎn)法公式在y軸上投影有： ，由此求得 再研究齒輪II上的圓心，取A為基點(diǎn) 將上式在y軸上投影有 ， 由此解得： 再將基點(diǎn)法公式在x軸上投影有： 由此解得：，又因?yàn)? 由此可得： 3－9 卷筒作平面運(yùn)動(dòng)，C為速度瞬心， 其上D點(diǎn)的速度為，卷筒的角速度為 角加速度為 卷筒O點(diǎn)的速度為： O點(diǎn)作直線運(yùn)動(dòng)，其加速度為 O C B 研究卷筒，取O為基點(diǎn)，求B點(diǎn)的加速度。 將其分別在x,y軸上投影 同理，取O為基點(diǎn)，求C點(diǎn)的加速度。 將其分別在x,y軸上投影 P 3－10 圖示瞬時(shí)，AB桿瞬時(shí)平移，因此有： AB桿的角速度： 圓盤作平面運(yùn)動(dòng)，速度瞬心在P點(diǎn)，圓盤的 的角速度為： 圓盤上C點(diǎn)的速度為： AB桿上的A、B兩點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，取A為基點(diǎn) 根據(jù)基點(diǎn)法公式有 將上式在x軸上投影可得： 因此： 由于任意瞬時(shí)，圓盤的角速度均為： B C 將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有：，由于，所以圓盤的角加速度。 圓盤作平面運(yùn)動(dòng)，取B為基點(diǎn)，根據(jù)基點(diǎn)法公式有： P 3－13 滑塊C的速度及其加速度就是DC桿的速度 和加速度。AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心為P， AB桿的角速度為： 桿上C點(diǎn)的速度為： 取AB桿為動(dòng)系，套筒C為動(dòng)點(diǎn)， 根據(jù)點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)速度合成定理有： 其中：，根據(jù)幾何關(guān)系可求得： AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其A點(diǎn)加速度為零， B點(diǎn)加速度鉛垂，由加速度基點(diǎn)法公式可知 由該式可求得 由于A點(diǎn)的加速度為零，AB桿上各點(diǎn)加速度的分布如同定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的加速度分布，AB桿中點(diǎn)的加速度為： 再去AB桿為動(dòng)系，套筒C為動(dòng)點(diǎn)， 根據(jù)復(fù)合運(yùn)動(dòng)加速度合成定理有： 其中牽連加速度就是AB桿上C點(diǎn)的加速度 即： 將上述公式在垂直于AB桿的軸上投影有： 科氏加速度，由上式可求得： 3-14：取圓盤中心為動(dòng)點(diǎn)，半圓盤為動(dòng)系，動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)；相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為直線平移。由速度合成定理有： O A B 圖 A 速度圖如圖A所示。由于動(dòng)系平移，所以， 根據(jù)速度合成定理可求出： 由于圓盤A在半圓盤上純滾動(dòng)，圓盤A相對(duì)半圓盤 的角速度為： 由于半圓盤是平移，所以圓盤的角速度就是其相對(duì)半圓盤的角速度。 再研究圓盤，取為基點(diǎn)根據(jù)基點(diǎn)法公式有： O A B 圖 B O 圖 C 為求B點(diǎn)的加速度，先求點(diǎn)的加速度和圓盤的角加速度。取圓盤中心為動(dòng)點(diǎn)，半圓盤為動(dòng)系，根據(jù)加速度合成定理有 （a） 其加速度圖如圖C所示，，， 將公式（a）在和軸上投影可得： 由此求出：，圓盤的角加速度為： 下面求圓盤上B點(diǎn)的加速度。取圓盤為研究對(duì)象，為基點(diǎn)，應(yīng)用基點(diǎn)法公式有： （b） O B 圖 D 將（b）式分別在軸上投影： 其中：， 由此可得： 3－15（b） 取BC桿為動(dòng)系（瞬時(shí)平移）， 套筒A為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。 根據(jù)速度合成定理有： 由上式可解得： 因?yàn)锽C桿瞬時(shí)平移，所以有： P y x 3－15（d） 取BC桿為動(dòng)系（平面運(yùn)動(dòng)）， 套筒A為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。 BC桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心為P，設(shè)其角速度為 根據(jù)速度合成定理有： 根據(jù)幾何關(guān)系可求出： 將速度合成定理公式在x,y軸上投影:: 由此解得: DC桿的速度 3-16(b) BD桿作平面運(yùn)動(dòng),根據(jù)基點(diǎn)法有: 由于BC桿瞬時(shí)平移,,上式可表示成: 將上式在鉛垂軸上投影有: 由此解得: 再研究套筒A,取BC桿為動(dòng)系（平面運(yùn)動(dòng)），套筒A為動(dòng)點(diǎn)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）。 y (a) 其中:為科氏加速度,因?yàn)?所以 動(dòng)點(diǎn)的牽連加速度為: 由于動(dòng)系瞬時(shí)平移,所以, 牽連加速度為,(a)式可以表示成 將上式在y軸上投影: 由此求得: y x 3－16(d) 取BC桿為動(dòng)系，套筒A為動(dòng)點(diǎn)， 動(dòng)點(diǎn)A的牽連加速度為 動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)加速度為 其中為動(dòng)點(diǎn)A的科氏加速度。 將上式在y軸上投影有 上式可寫成 (a) 其中：（見3－15d）為BC桿的角加速度。 再取BC桿上的C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，套筒為動(dòng)系，由加速度合成定理有 其中，上式可表示為 y x 將上式在y軸投影有： 該式可表示成： （b） 聯(lián)立求解(a),(b)可得 3－17 AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心位于P， P O R 可以證明：任意瞬時(shí)，速度瞬心P均在以O(shè)為 圓心，R為半徑的圓周上，并且A、O、P在同 一直徑上。由此可得AB桿任何時(shí)刻的角速度均 為 桿上B點(diǎn)的速度為： AB桿的角加速度為： O R x y 取A為基點(diǎn)，根據(jù)基點(diǎn)法有 將上式分別在x,y軸上投影有 x y 3－18 取DC桿上的C點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)件AB為動(dòng)系 根據(jù)幾何關(guān)系可求得： 再取DC桿上的D點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，構(gòu)件AB為動(dòng)系 由于BD桿相對(duì)動(dòng)系平移，因此 將上式分別在x,y軸上投影可得 x y 求加速度：研究C點(diǎn)有 將上式在y軸投影有 由此求得 再研究D點(diǎn) 由于BD桿相對(duì)動(dòng)系平移，因此 將上式分別在x,y軸上投影有 3－21 由于圓盤純滾動(dòng)，所以有 根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有： 根據(jù)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有 求解上式可得： ， 若圓盤無滑動(dòng)，摩擦力應(yīng)滿足，由此可得： 當(dāng)：時(shí)， 3－22 研究AB桿，BD繩剪斷后，其受力如圖所示， 由于水平方向沒有力的作用，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理可知 AB桿質(zhì)心C的加速度鉛垂。 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有： 根據(jù)相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理有： 剛體AB作平面運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)初始時(shí)，角速度為零。 P A點(diǎn)的加速度水平，AB桿的加速度瞬心位于P點(diǎn)。 有運(yùn)動(dòng)關(guān)系式 求解以上三式可求得： A R 3－35 設(shè)板和圓盤中心O的加速度分別為 ，圓盤的角加速度為，圓盤上與板 的接觸點(diǎn)為A，則A點(diǎn)的加速度為 將上式在水平方向投影有 （a） 取圓盤為研究對(duì)象，受力如圖，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有 (b) 應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理有 (c) 再取板為研究對(duì)象，受力如圖，應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理有 (d ) 作用在板上的滑動(dòng)摩擦力為： (e) 由上式可解得： 3－29 解：由于系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中，只有AB桿的重力作功，因此應(yīng)用動(dòng)能定理，可求出有關(guān)的速度和加速度。系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到一般位置時(shí)，其動(dòng)能為AB桿的動(dòng)能與圓盤A的動(dòng)能之和： P 其中： 因此系統(tǒng)的動(dòng)能可以表示成： 系統(tǒng)從位置運(yùn)動(dòng)到任意角位置， AB桿的重力所作的功為： 根據(jù)動(dòng)能定理的積分形式 初始時(shí)系統(tǒng)靜止，所以，因此有 將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得： 將上式中消去可得： 根據(jù)初始條件，可求得初始瞬時(shí)AB桿的角加速度 因?yàn)椋訟B桿的角加速度為順時(shí)針。初始瞬時(shí)AB桿的角速度為零，此時(shí)AB桿的加速度瞬心在點(diǎn)，由此可求出AB桿上A點(diǎn)的加速度： C 3－33 設(shè)碰撞后滑塊的速度、AB桿的角速度如圖所示 根據(jù)沖量矩定理有： (a) 其中：為AB桿質(zhì)心的速度，根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)關(guān)系有 (b) 再根據(jù)對(duì)固定點(diǎn)的沖量矩定理： 系統(tǒng)對(duì)固定點(diǎn)A（與鉸鏈A重合且相對(duì)地面不動(dòng)的點(diǎn)）的動(dòng)量矩為滑塊對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩和AB桿對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩，由于滑塊的動(dòng)量過A點(diǎn)，因此滑塊對(duì)A點(diǎn)無動(dòng)量矩，AB桿對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩（也是系統(tǒng)對(duì)A點(diǎn)的動(dòng)量矩）為 將其代入沖量矩定理有： (c) 由（a,b,c）三式求解可得： (滑塊的真實(shí)方向與圖示相反) 3－34 研究整體，系統(tǒng)對(duì)A軸的動(dòng)量矩為： 其中：AC桿對(duì)A軸的動(dòng)量矩為 設(shè)為BC桿的質(zhì)心，BC 桿對(duì)A軸的動(dòng)量矩為 根據(jù)沖量矩定理 可得： B C （a） 再研究BC桿，其對(duì)與C點(diǎn)重合的固定點(diǎn)的動(dòng)量矩為 根據(jù)沖量矩定理有： （b） 聯(lián)立求解（a）,(b) 可得 3－35 碰撞前，彈簧有靜變形 第一階段：與通過完全塑性碰撞后一起向下運(yùn)動(dòng)， 不計(jì)常規(guī)力，碰撞前后動(dòng)量守恒，因此有： 碰撞結(jié)束時(shí)兩物體向下運(yùn)動(dòng)的速度為 第二階段：與一起向下運(yùn)動(dòng)后再回到碰撞結(jié)束時(shí) 的初始位置，根據(jù)機(jī)械能守恒可知：此時(shí)的速度向上， 大小仍然為 第三階段：與一起上升到最高位置，此時(shí)彈簧 被拉長(zhǎng)。根據(jù)動(dòng)能定理有： 上式可表示成： 若使脫離地面，彈簧的拉力必須大于其重力，因此有，將代入上式求得：。若，則 B A 注：上述結(jié)果是在假設(shè)與始終粘連在一起的條件下得到的，若與之間沒有粘著力，答案應(yīng)為，如何求解，請(qǐng)思考。 3－36 取AB桿為研究對(duì)象，初始時(shí)，桿上的A點(diǎn) 與水平桿上的O點(diǎn)重合，當(dāng)時(shí)系統(tǒng)靜止， AB桿上A點(diǎn)的速度為，角速度為，初始時(shí)受到 沖擊力的作用，應(yīng)用對(duì)固定點(diǎn)O的沖量矩定理可得 其中： B A 由此解得 當(dāng)時(shí)，滑塊A以加速度向右運(yùn)動(dòng)， 取AB桿為研究對(duì)象，應(yīng)用相對(duì)動(dòng)點(diǎn)A的動(dòng)量矩定理有： 將上式積分并簡(jiǎn)化可得： 其中C是積分常數(shù)由初始條件確定出。上式可表示成 若AB桿可轉(zhuǎn)動(dòng)整圈，則應(yīng)有，因此。若的最小值大于零，則AB桿就可以完成整圈轉(zhuǎn)動(dòng)。下面求的極值。 將上式求導(dǎo)令其為零有求得極值點(diǎn)為 當(dāng)， 函數(shù)取最大值 當(dāng)， 函數(shù)取最小值，若使最小值大于零，則有 由此求得 動(dòng)力學(xué)第四章部分習(xí)題解答 P 4－6 圖示瞬時(shí)，AB桿的加速度瞬心位于P點(diǎn)， 設(shè)其角加速度為，則質(zhì)心加速度為： 根據(jù)動(dòng)靜法有： 4－7 （1）取AB桿和滑塊C為研究對(duì)象 AB桿平移，質(zhì)心加速度如圖所示 根據(jù)動(dòng)靜法有： （2）滑塊C無水平方向的作用力， 其加速度鉛垂向下，AB桿平移， 其加速度垂直于AD，如圖所示。 兩者加速度的關(guān)系為 根據(jù)動(dòng)靜法有 由此求得： （3） 先研究滑塊C 根據(jù)約束可知： 根據(jù)動(dòng)靜法有： 因?yàn)椋?，所以有關(guān)系式 即： 再研究整體，應(yīng)用動(dòng)靜法有 上式可表示成： 由上式解得： ， ， 4－8 （1）研究AB桿，將慣性力向桿的質(zhì)心簡(jiǎn)化， 根據(jù)動(dòng)靜法有： ， ， （2）若，必有，因此當(dāng)， 4－9 設(shè)OA桿和AB桿的角加速度分別為 。將各桿的慣性力向各自質(zhì)心簡(jiǎn)化。 研究整體，根據(jù)動(dòng)靜法有： ， 研究AB桿，根據(jù)動(dòng)靜法有： 上述平衡方程可簡(jiǎn)化為 求解該方程組可得： A B C 4－10 取圓盤A的角加速度為，AB桿的角加速度為 設(shè)AB桿的質(zhì)心為C，其加速度為 將慣性力分別向各剛體的質(zhì)心簡(jiǎn)化。 作用于AB桿質(zhì)心C的慣性力為： P A B C ，， ， 研究整體， （a） 研究AB桿， (b) 將(a)－(b)得： 上式化簡(jiǎn)為 還可寫成： 即： 將上式積分可得： 再根據(jù)初始條件：確定，由此可得 根據(jù)動(dòng)能定理有： （C） 其中： 再利用（c）式可表示成 (d) 當(dāng), , P A C 再將(d)式求導(dǎo),然后銷去,最后可得 當(dāng),可求得, 又因?yàn)?， 當(dāng)AB桿鉛垂時(shí)，。 再取圓盤為研究對(duì)象，應(yīng)用動(dòng)靜法有 P A ， 再研究整體，利用動(dòng)靜法有 4－12 此瞬時(shí)AB桿作瞬時(shí)平移，所以 因?yàn)锳B桿的角速度為零，且A點(diǎn)的加速度為零， 取A為基點(diǎn)，有 又因?yàn)锽點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)，所以 將該式在鉛垂軸上投影： 由此解得： AB桿質(zhì)心C的加速度垂直于AB桿， 其大小為： 應(yīng)用動(dòng)靜法： ， ，， P 4－14 圖示瞬時(shí)，AB桿瞬時(shí)平移，其加速度瞬心 位于P點(diǎn)。設(shè)OA、AB桿的質(zhì)心分別為。 各點(diǎn)加速度如圖所示，其大小為 ， P ， 有關(guān)的慣性力為： 應(yīng)用動(dòng)靜法和虛位移原理，有 因?yàn)椋?，上式可表示? 因?yàn)椋? ， P 由此解得 研究AB桿及滑塊B， 由此解得：