浙江省2019高考數(shù)學(xué) 精準(zhǔn)提分練 解答題滾動練2.docx

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解答題滾動練2 1.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以x軸正半軸為始邊的銳角α與鈍角β的終邊與單位圓分別交于A，B兩點，x軸正半軸與單位圓交于M，已知S△OAM＝，點B的縱坐標(biāo)是. (1)求cos(α－β)的值； (2)求2α－β的值． 解　(1)由S△OAM＝和α為銳角， ∴sin α＝，cosα＝. 又點B的縱坐標(biāo)是， ∴sin β＝，cosβ＝－. ∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sin αsin β＝＋＝－. (2)∵cos 2α＝2cos2α－1＝22－1＝－， sin 2α＝2sin αcosα＝2＝， ∴2α∈. ∵β∈，∴2α－β∈. ∵sin(2α－β)＝sin 2αcosβ－cos 2αsin β＝－， ∴2α－β＝－. 2．如圖，在三棱錐P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝PC＝2，AC＝4，∠PBC＝，點E在BC上，且BE＝EC. (1)求證：平面PAB⊥平面PBC； (2)求AE與平面PAB所成角的正弦值． (1)證明　因為PC⊥平面ABC，AB，BC?平面ABC， 所以PC⊥AB，PC⊥BC. 又因為在△PBC中，PC＝2，∠PBC＝，所以BC＝2， 而AB＝2，AC＝4，所以AC2＝AB2＋BC2， 所以AB⊥BC. 又AB⊥PC，PC∩BC＝C，PC，BC?平面PBC， 所以AB⊥平面PBC，又AB?平面PAB， 所以平面PAB⊥平面PBC. (2)解　設(shè)AE與平面PAB所成的角為θ. 因為BE＝EC， 所以點E到平面PAB的距離dE＝dC(dC表示點C到平面PAB的距離)． 過C作CF⊥PB于點F， 由(1)知CF⊥平面PAB， 易得dC＝CF＝，所以dE＝dC＝. 又AE＝＝， 所以sinθ＝＝. 3．已知數(shù)列{an}的各項均為非負(fù)數(shù)，其前n項和為Sn，且對任意的n∈N*，都有an＋1≤. (1)若a1＝1，a505＝2017，求a6的最大值； (2)若對任意n∈N*，都有Sn≤1，求證：0≤an－an＋1≤. (1)解　由題意知an＋1－an≤an＋2－an＋1， 設(shè)di＝ai＋1－ai(i＝1,2，…，504)， 則d1＋d2＋d3＋…＋d504＝a505－a1＝2016， ∵≤＝， ∴d1＋d2＋…＋d5≤20， ∴a6＝a1＋(d1＋d2＋…＋d5)≤21， ∴a6的最大值為21. (2)證明　若存在k∈N*，使得ak0時，g(x)在(－∞，lna)上單調(diào)遞減， 在(lna，＋∞)上單調(diào)遞增． (2)當(dāng)x＞0時，x2－x≤ex－ax－1， 即a≤－x－＋1. 令h(x)＝－x－＋1(x＞0)， 則h′(x)＝(x>0)． 令F(x)＝ex(x－1)－x2＋1(x＞0)， 則F′(x)＝x(ex－2)(x>0)． 當(dāng)x∈(0，ln 2)時，F(xiàn)′(x)＜0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(ln 2，＋∞)時，F(xiàn)′(x)＞0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增． 又F(0)＝0，F(xiàn)(1)＝0，所以當(dāng)x∈(0,1)時，F(xiàn)(x)＜0， 即h′(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減； 當(dāng)x∈(1，＋∞)時，F(xiàn)(x)＞0， 即h′(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增． 所以h(x)min＝h(1)＝e－1， 所以a∈(－∞，e－1]．