2019版中考數(shù)學(xué) 第一部分 基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 第四章 圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形 第18講 直角三角形與三角函數(shù)課件.ppt

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第18講直角三角形與三角函數(shù) 總綱目錄 泰安考情分析 基礎(chǔ)知識(shí)過關(guān) 知識(shí)點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)和判定1 直角三角形的性質(zhì) 1 直角三角形的兩個(gè)銳角 互余 2 在直角三角形中 30 的角所對(duì)的直角邊等于斜邊的 一半 3 勾股定理 直角三角形兩條直角邊的平方和等于 斜邊的平方 4 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的 一半 2 直角三角形的判定 1 有兩個(gè)銳角 互余的三角形是直角三角形 2 如果三角形的兩直角邊長(zhǎng)為a b 斜邊長(zhǎng)為c 且滿足 a2 b2 c2 那么這個(gè)三角形是直角三角形 溫馨提示 1 勾股定理闡述的是直角三角形中三邊之間的數(shù)量關(guān)系 即在直角三角形中 已知兩邊長(zhǎng)度能夠運(yùn)用勾股定理求第三邊的長(zhǎng)度 2 勾股定理逆定理的作用 可以判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形 證明兩條線段垂直 知識(shí)點(diǎn)二銳角三角函數(shù)1 銳角三角函數(shù)的定義如圖 在Rt ABC中 C 90 A B C的對(duì)邊分別為a b c 則 A的正弦sinA A的余弦cosA A的正切tanA 溫馨提示 1 sinA cosA tanA表示的是一個(gè)整體 是指兩條線段的比 沒有單位 2 銳角三角函數(shù)的大小僅與角的大小有關(guān) 與該角所處的直角三角形的大小無關(guān) 2 特殊角的三角函數(shù)值 溫馨提示30 45 60 角的正弦值的分母都是2 分子分別是1 由此可知 隨著角 的度數(shù)的增大 正弦值逐漸增大 同理可得 隨著角 的度數(shù)的增大 余弦值逐漸減小 3 三角函數(shù)之間的關(guān)系 1 同角三角函數(shù)之間的關(guān)系 sin2 cos2 1 tan 2 互余兩角的三角函數(shù)之間的關(guān)系 若 A B 90 則sinA cosB sinB cosA 知識(shí)點(diǎn)三解直角三角形1 解直角三角形的定義 由直角三角形中除直角外的已知元素 求出所有未知元素的過程 叫做解直角三角形 2 直角三角形的邊角關(guān)系在Rt ABC中 C 90 A B C的對(duì)邊分別為a b c 1 三邊之間的關(guān)系 a2 b2 c2 2 兩個(gè)銳角之間的關(guān)系 A B 90 3 邊角之間的關(guān)系 sinA cosA tanA sinB cosB tanB 溫馨提示解直角三角形的思路可概括為 有斜 斜邊 用弦 正弦 余弦 無斜用切 正切 寧乘勿除 取原避中 知識(shí)點(diǎn)四解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用1 解直角三角形應(yīng)用中常見的術(shù)語 2 解直角三角形在實(shí)際問題中應(yīng)用的一般步驟 1 將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題 畫出平面圖形 轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題 2 根據(jù)條件的特點(diǎn) 適當(dāng)選用銳角三角函數(shù)解直角三角形 泰安考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)和判定例1如圖 在直角O的內(nèi)部有一滑動(dòng)桿AB 當(dāng)端點(diǎn)A沿直線AO向下滑動(dòng)時(shí) 端點(diǎn)B會(huì)隨之自動(dòng)地沿直線OB向左滑動(dòng) 如果滑動(dòng)桿從圖中AB處滑動(dòng)到A B 處 那么滑動(dòng)桿的中點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑是 B A 直線的一部分B 圓的一部分C 雙曲線的一部分D 拋物線的一部分 解析連接OC OC 如圖 AOB 90 C為AB中點(diǎn) OC AB A B OC 當(dāng)端點(diǎn)A沿直線AO向下滑動(dòng)時(shí) AB的中點(diǎn)C到O的距離始終為定長(zhǎng) 滑動(dòng)桿的中點(diǎn)C所經(jīng)過的路徑是一段圓弧 故選B 考點(diǎn)二銳角三角函數(shù)例2如圖 在 ABC中 C 90 AB 5 BC 3 則cosA的值是 D A B C D 解析根據(jù)銳角的余弦等于鄰邊比斜邊求解即可 AB 5 BC 3 AC 4 cosA 故選D 變式2 1在 ABC中 若角A B滿足 1 tanB 2 0 則 C的大小是 D A 45 B 60 C 75 D 105 解析由題意得 cosA tanB 1 則 A 30 B 45 則 C 180 30 45 105 故選D 考點(diǎn)三解直角三角形例3 2016泰安 如圖 輪船沿正南方向以30海里 時(shí)的速度勻速航行 在M處觀測(cè)到燈塔P在西偏南68 方向上 航行2小時(shí)后到達(dá)N處 觀測(cè)燈塔P在西偏南46 方向上 若該船繼續(xù)向南航行至離燈塔最近位置 則此時(shí)輪船離燈塔的距離約為 由科學(xué)計(jì)算器得到sin68 0 9272 sin46 0 7193 sin22 0 3746 sin44 0 6947 B A 22 48海里B 41 68海里C 43 16海里D 55 63海里 解析過點(diǎn)P作PG MN于G 依題意可知MN 60海里 PMN 22 PNG 44 MPN PMN NP MN 60海里 在Rt PNG中 sin PNG PG PN sin PNG PN sin44 60 0 6947 41 68 海里 此時(shí)輪船離燈塔的距離約為41 68海里 故選B 變式3 1如圖 輪船從B處以每小時(shí)60海里的速度沿南偏東20 方向勻速航行 在B處觀測(cè)燈塔A位于南偏東50 方向上 輪船航行40分鐘到達(dá)C處 在C處觀測(cè)燈塔A位于北偏東10 方向上 則C處與燈塔A的距離是 D A 20海里B 40海里C 海里D 海里 解析如圖 作AM BC于M 由題意得 DBC 20 DBA 50 BC 60 40海里 NCA 10 則 ABC DBA DBC 50 20 30 BD CN BCN DBC 20 ACB ACN BCN 10 20 30 ACB ABC 30 AB AC AM BC于M CM BC 20海里 在Rt ACM中 AMC 90 ACM 30 AC 海里 故選D 溫馨提示根據(jù)例題和變式訓(xùn)練可以發(fā)現(xiàn) 一般解直角三角形類題目的處理 可以看做是 割補(bǔ) 思想的拓展 即把原圖形通過 割補(bǔ) 處理成有 公共邊 的兩個(gè)直角三角形 具體題目中 再根據(jù)公共邊的 已知 或 未知 決定進(jìn)行直接運(yùn)算或者設(shè)未知數(shù)x 一 選擇題1 2017浙江溫州 如圖 一輛小車沿傾斜角為 的斜坡向上行駛13米 已知cos 則小車上升的高度是 A A 5米B 6米C 6 5米D 12米 隨堂鞏固訓(xùn)練 2 如圖 在 ABC中 C 90 B 30 AD是 ABC的角平分線 DE AB 垂足為E DE 1 則BC C A B 2C 3D 2 3 2018泰安 如圖 M的半徑為2 圓心M的坐標(biāo)為 3 4 點(diǎn)P是 M上的任意一點(diǎn) PA PB 且PA PB與x軸分別交于A B兩點(diǎn) 若點(diǎn)A 點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱 則AB的最小值為 C A 3B 4C 6D 8 二 填空題4 2018泰安 如圖 在矩形ABCD中 AB 6 BC 10 將矩形ABCD沿BE折疊 點(diǎn)A落在A 處 若EA 的延長(zhǎng)線恰好過點(diǎn)C 則sin ABE的值為 解析由折疊知AB A B 6 在Rt A BC中 根據(jù)勾股定理得A C 8 設(shè)AE x 則A E x 在Rt DEC中 DE2 DC2 EC2 即 10 x 2 62 8 x 2 解得x 2 即AE的長(zhǎng)為2 在Rt AEB中 求得sin ABE 5 2018濱州 在 ABC中 C 90 若tanA 則sinB 解析如圖所示 C 90 tanA 設(shè)BC x 則AC 2x 故AB x 則sinB 三 解答題6 2018德州 如圖 兩座建筑物的水平距離BC為60m 從C點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角 為53 從A點(diǎn)測(cè)得D點(diǎn)的俯角 為37 求兩座建筑物的高度 參考數(shù)據(jù) sin37 cos37 tan37 sin53 4 cos53 tan35 解析過點(diǎn)D作DE AB于點(diǎn)E 則DE BC 60m 在Rt ABC中 tan53 AB 80m 在Rt ADE中 tan37 AE 45m BE CD AB AE 35m 答 兩座建筑物的高度分別為80m和35m