浙江省2019高考數(shù)學(xué) 精準(zhǔn)提分練 解答題通關(guān)練3 數(shù)列.docx

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3.數(shù)　列 1．在等差數(shù)列{an}中，a1＝－2，a12＝20. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an； (2)若bn＝，求數(shù)列{3bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解　(1)因?yàn)閍n＝－2＋(n－1)d，所以a12＝－2＋11d＝20，于是d＝2，所以an＝2n－4(n∈N*)． (2)因?yàn)閍n＝2n－4，所以a1＋a2＋…＋an＝＝n(n－3)，于是 bn＝＝n－3，令cn＝，則cn＝3n－3， 顯然數(shù)列{cn}是等比數(shù)列，且c1＝3－2，公比q＝3， 所以數(shù)列{3bn}的前n項(xiàng)和Sn＝＝(n∈N*)． 2．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝，＝＋2(n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明：a＋a＋a＋…＋a<. (1)解　由條件可知數(shù)列為等差數(shù)列，且首項(xiàng)為2，公差為2，所以＝2＋(n－1)2＝2n， 故an＝(n∈N*)． (2)證明　依題意可知a＝2＝<＝，n≥2，n∈N*. 又因?yàn)閍＝， 所以a＋a＋a＋…＋a<＝<2＝. 故a＋a＋a＋…＋a<. 3．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝1，S9＝81.記bn＝[log5an]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.9]＝0，[log516]＝1. (1)求b1，b14，b61； (2)求數(shù)列{bn}的前200項(xiàng)和． 解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d， 由已知S9＝81，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S9＝9a5＝9(a1＋4d)＝81， ∴a1＋4d＝9. ∵a1＝1，∴d＝2， ∴an＝2n－1， ∴b1＝[log51]＝0，b14＝[log527]＝2，b61＝[log5121]＝2. (2)當(dāng)1≤n≤2時(shí)，1≤an≤3(an∈N*)，bn＝[log5an]＝0，共2項(xiàng)； 當(dāng)3≤n≤12時(shí)，5≤an≤23，bn＝[log5an]＝1，共10項(xiàng)； 當(dāng)13≤n≤62時(shí)，25≤an≤123，bn＝[log5an]＝2，共50項(xiàng)； 當(dāng)63≤n≤200時(shí)，125≤an≤399，bn＝[log5an]＝3，共138項(xiàng)． ∴數(shù)列{bn}的前200項(xiàng)和為20＋101＋502＋1383＝524. 4．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝1，Sn＝2an＋1，其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和(n∈N*)． (1)求S1，S2及數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足bn＝，且{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，≤|Tn|≤. (1)解　數(shù)列{an}滿(mǎn)足Sn＝2an＋1， 則Sn＝2an＋1＝2(Sn＋1－Sn)，即3Sn＝2Sn＋1， 所以＝， 所以S2＝，S1＝a1＝1， 即數(shù)列{Sn}是以1為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列． 所以Sn＝n－1(n∈N*)． (2)證明　在數(shù)列{bn}中，bn＝＝－1，{bn}的前n項(xiàng)和的絕對(duì)值 |Tn|＝ ＝， 而當(dāng)n≥2時(shí)， 1－≤≤＝， 即≤|Tn|≤. 5．設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝a，an＋1＝(a>0且a≠1，n∈N*)． (1)證明：當(dāng)n≥2時(shí)，anb. 證明　(1)由an＋1＝知，an與a1的符號(hào)相同， 而a1＝a>0，所以an>0， 所以an＋1＝≤1， 當(dāng)且僅當(dāng)an＝1時(shí)，an＋1＝1， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①因?yàn)閍>0且a≠1，所以a2<1， ＝>1，即有a21，即ak＋1ak＋1>ak≥b； 若aka2k－1>a2k－1＝a2k－1≥a2. 因?yàn)閗≥＋1， 所以(k－1)＋1≥＋1＝， 所以ak＋1>b. 6．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝2，點(diǎn)(an，an＋1)在直線y＝3x＋2上．?dāng)?shù)列{bn}滿(mǎn)足b1＝2，＝＋＋…＋. (1)求b2的值； (2)求證數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，并求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (3)求證：2－≤…<. (1)解　由已知得a2＝3a1＋2＝8， 所以＝，＝， 解得b2＝4. (2)解　由條件得an＋1＝3an＋2， 則＝＝3， 所以數(shù)列{an＋1}是以3為公比的等比數(shù)列． an＋1＝(a1＋1)3n－1＝3n， 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－1. (3)證明　由題設(shè)＝＋＋…＋，① 知＝＋＋…＋(n≥2)，② ①－②得－＝， 則＝，即＝(n≥2)． 當(dāng)n＝1時(shí)，2－＝，1＋＝<， 所以原不等式成立； 當(dāng)n≥2時(shí)，…＝… ＝…(1＋bn)＝…(1＋bn) ＝(1＋bn)＝3＝3 ＝3， 先證明不等式左邊， 因?yàn)椋?， 所以3≥3 ＝3＝2－. 再證明不等式右邊，當(dāng)n≥2時(shí)， ＝＝≤， 3≤3 ＝3＝3<. 所以2－≤…<成立． 綜上所述，不等式成立．