2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 考點(diǎn)58 直線系方程與圓系方程庖丁解題 新人教A版必修2.doc

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考點(diǎn)58 直線系方程與圓系方程 要點(diǎn)闡述 1．與直線l:Ax+By+C=0平行的直線系方程為Ax+By+m=0； 2．與直線l:Ax+By+C=0平行的直線系方程為Bx–Ay+m=0； 3．過定點(diǎn)（，）的直線系方程：（A,B不同時(shí)為0）； 4．過直線n：（不同時(shí)為0）與：（不同時(shí)為0）交點(diǎn)的直線系方程為：（，為參數(shù)）； 5．過直線Ax+By+C=0與圓 x 2 + y 2 +Dx + Ey +F= 0 的交點(diǎn)的圓系方程x 2 + y 2 +Dx + Ey +F+λ（Ax+By+C）=0； 6．過和交點(diǎn)的圓系方程為． 典型例題 【例】求過兩圓 x 2 + y 2 －4x + 2y = 0 和 x 2 + y 2 －2y －4 = 0 的交點(diǎn)，且圓心在直線 2x + 4y = 1上的圓方程_____________，此時(shí)圓心到x軸的距離_____________． 【答案】 x 2 + y 2 －3x + y －1 = 0， 【解題技巧】在遇到過圓與圓交點(diǎn)的圓有關(guān)問題時(shí)，靈活應(yīng)用圓系方程，可簡化繁雜的解題過程． 小試牛刀 1．已知點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，則方程表示（ ） A．過點(diǎn)且與垂直的直線 B．過點(diǎn)且與平行的直線 C．不過點(diǎn)且與垂直的直線 D．不過點(diǎn)且與平行的直線 【答案】D 【解析】 2．求經(jīng)過點(diǎn)，且與直線垂直的直線的方程_____________． 【答案】． 【解析】設(shè)與直線垂直的直線系方程為，因?yàn)榻?jīng)過點(diǎn)，所以，故所求直線方程為． 【解題技巧】對已知兩直線垂直和其中一條直線方程求另一直線方程問題，常用垂直直線系法，可以簡化計(jì)算． 3．不論k為何實(shí)數(shù)，直線（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通過一個(gè)定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)是_____________． 【答案】 【解析】 4．設(shè)直線l經(jīng)過2x–3y+2=0和3x–4y–2=0的交點(diǎn),且與兩坐標(biāo)軸圍成等腰直角三角形,求直線l的方程_____________． 【答案】x–y–4=0,或x+y–24=0． 【解析】設(shè)所求的直線方程為(2x–3y+2)+λ(3x–4y–2)=0, 整理得(2+3λ)x–(4λ+3)y–2λ+2=0,由題意,得=1,解得λ=–1,或λ=–． 所以所求的直線方程為x–y–4=0,或x+y–24=0． 【易錯(cuò)易混】對求過定點(diǎn)（，）的直線方程問題，常用過定點(diǎn)直線法，即設(shè)直線方程為: ，注意的此方程表示的是過點(diǎn)的所有直線（即直線系），應(yīng)用這種直線方程可以不受直線的斜率、截距等因素的限制，在實(shí)際解答問題時(shí)可以避免分類討論，有效地防止解題出現(xiàn)漏解或錯(cuò)解的現(xiàn)象． 5．求經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直的直線的方程_____________． 【答案】 考題速遞 1．已知直線與直線平行，則直線在軸上的截距為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由已知得，得，則直線在軸上的截距為,故選B． 2．平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】依題可設(shè)所求切線方程為，則有，解得，所以所求切線的直線方程為或，故選D． 3．過直線 2x + y + 4 = 0 和圓 x 2 + y 2 + 2x －4y + 1 = 0 的交點(diǎn)，面積最小的圓方程_____________，圓的面積為_____________． 【答案】5x 2 + 5y 2 + 26x －12y + 37 = 0 4．已知平行四邊形兩邊所在直線的方程為x+y+2=0和3x–y+3=0,對角線的交點(diǎn)是(3,4),求其他兩邊所在直線的方程． 【解析】由得一頂點(diǎn)為． 因?qū)蔷€交點(diǎn)是(3,4),則已知頂點(diǎn)的相對頂點(diǎn)為． 設(shè)與x+y+2=0平行的對邊所在直線方程為x+y+m=0, 因?yàn)樵撝本€過, 所以m=–16． 設(shè)與3x–y+3=0平行的對邊所在直線方程為 3x–y+n=0, 同理可知過點(diǎn), 得n=–13． 故所求直線的方程為x+y–16=0和3x–y–13=0． 數(shù)學(xué)文化 平行直線系 兩條平行的直線永遠(yuǎn)不會有交集