2018年秋高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角學案 新人教A版必修4.doc
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1.1.1 任意角 學習目標：1.理解任意角的概念.2.掌握終邊相同角的含義及其表示．(重點、難點)3.掌握軸線角、象限角及區(qū)間角的表示方法．(難點、易錯點) [自 主 預(yù) 習探 新 知] 1．角的概念：角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所形成的圖形． 2．角的表示：如圖111， 圖111 (1)始邊：射線的起始位置OA， (2)終邊：射線的終止位置OB， (3)頂點：射線的端點O. 這時，圖中的角α可記為“角α”或“∠α”或簡記為“α”． 3．任意角的分類 (1)按旋轉(zhuǎn)方向分 (2)按角的終邊位置分 ①前提：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合 ②分類： [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)第二象限角大于第一象限角．( ) (2)第二象限角是鈍角．( ) (3)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同．( ) (4)終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差360的整數(shù)倍．( ) [解析] (1)錯誤．如第二象限角100小于第一象限角361. (2)錯誤．如第二象限角－181不是鈍角． (3)(4)都正確． [答案] (1) (2) (3)√ (4)√ 2．50角的始邊與x軸的非負半軸重合，把終邊按順時針方向旋轉(zhuǎn)2周，所得角是________． －670 [由題意知，所得角是50－2360＝－670.] 3．已知0≤α＜360，且α與600角終邊相同，則α＝________，它是第________象限角． 240 三 [因為600＝360＋240，所以240角與600角終邊相同，且0≤240＜360，故α＝240，它是第三象限角．] [合 作 探 究攻 重 難] 任意角和象限角的概念 (1)給出下列說法： ①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負角；③小于180的角是鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角． 其中正確說法的序號為________(把正確說法的序號都寫上)． (2)已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，作出下列各角，并指出它們是第幾象限角． ①420.②855.③－510. 【導(dǎo)學號：84352000】 (1)① [(1)①銳角是大于0且小于90的角，終邊落在第一象限，是第一象限角，所以①正確； ②－350角是第一象限角，但它是負角，所以②錯誤； ③0角是小于180的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯誤； ④360角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯誤．] (2)作出各角的終邊，如圖所示： 由圖可知： ①420是第一象限角． ②855是第二象限角． ③－510是第三象限角． [規(guī)律方法] 1.判斷角的概念問題的關(guān)鍵與技巧： (1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念． (2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可． 2．象限角的判定方法： (1)在坐標系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限． (2)第一步，將α寫成α＝k360＋β(k∈Z,0≤β<360)的形式； 第二步，判斷β的終邊所在的象限； 第三步，根據(jù)β的終邊所在的象限，即可確定α的終邊所在的象限． 提醒：理解任意角這一概念時，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負”，“旋轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對值大小”． [跟蹤訓(xùn)練] 1．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{銳角}，C＝{小于90的角}，則下面關(guān)系正確的是( ) A．A＝B＝C B．A?C C．A∩C＝B D．B∪C?C D [由已知得BC，所以B∪C＝C，故D正確．] 2．給出下列四個命題：①－75是第四象限角；②225是第三象限角；③475是第二象限角；④－315是第一象限角．其中正確的命題有( ) 【導(dǎo)學號：84352001】 A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 D [－90＜－75＜0，180＜225＜270， 360＋90＜475＜360＋180，－360＜－315＜－270.所以這四個命題都是正確的．] 終邊相同的角的表示及應(yīng)用 (1)將－885化為k360＋α(0≤α＜360，k∈Z)的形式是________． (2)寫出與α＝－1 910終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式－720≤β＜360的元素β寫出來． [思路探究] (1)根據(jù)－885與k360，k∈Z的關(guān)系確定k. (2)先寫出與α終邊相同的角k360＋α，k∈Z，再由已知不等式確定k的可能取值． (1)(－3)360＋195 [(1)－885＝－1 080＋195＝(－3)360＋195.] (2)與α＝－1 910終邊相同的角的集合為 {β|β＝k360－1 910，k∈Z}． ∵－720≤β＜360，即－720≤k360－1 910＜360(k∈Z)， ∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6. k＝4時，β＝4360－1 910＝－470； k＝5時，β＝5360－1 910＝－110； k＝6時，β＝6360－1 910＝250. [規(guī)律方法] 1.在0到360范圍內(nèi)找與給定角終邊相同的角的方法 (1)一般地，可以將所給的角α化成k360＋β的形式(其中0≤β＜360，k∈Z)，其中的β就是所求的角． (2)如果所給的角的絕對值不是很大，可以通過如下方法完成：當所給角是負角時，采用連續(xù)加360的方式；當所給角是正角時，采用連續(xù)減360的方式，直到所得結(jié)果達到要求為止． 2．運用終邊相同的角的注意點 所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)可以用式子k360＋α，k∈Z表示，在運用時需注意以下四點： (1)k是整數(shù)，這個條件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k360與α之間用“＋”連接，如k360－30應(yīng)看成k360＋(－30)，k∈Z. (4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同，終邊相同的角有無數(shù)個，它們相差周角的整數(shù)倍． 提醒：表示終邊相同的角，k∈Z這一條件不能少． [跟蹤訓(xùn)練] 3．下面與－85012′終邊相同的角是( ) A．23012′ B．22948′ C．12948′ D．13012′ B [與－85012′終邊相同的角可表示為α＝－85012′＋k360(k∈Z)，當k＝3時，α＝－85012′＋1 080＝22948′.] 4．在－360～360之間找出所有與下列各角終邊相同的角，并判斷各角所在的象限． ①790；②－20. 【導(dǎo)學號：84352002】 [解]?、佟?90＝2360＋70＝3360－290， ∴在－360～360之間與它終邊相同的角是70和－290，它們都是第一象限的角． ②∵－20＝－360＋340， ∴在－360～360之間與它終邊相同的角是－20和340，它們都是第四象限的角． 任意角終邊位置的確定和表示 [探究問題] 1．若射線OA的位置是k360＋10，k∈Z，射線OA繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90經(jīng)過的區(qū)域為D，則終邊落在區(qū)域D(包括邊界)的角的集合應(yīng)如何表示？ 提示：終邊落在區(qū)域D包括邊界的角的集合可表示為{α|k360＋10≤α≤k360＋100，k∈Z}． 2．若角α與β的終邊關(guān)于x軸、y軸、原點、直線y＝x對稱，則角α與β分別具有怎樣的關(guān)系？ [提示] (1)關(guān)于x軸對稱：若角α與β的終邊關(guān)于x軸對稱，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋k360，k∈Z. (2)關(guān)于y軸對稱：若角α與β的終邊關(guān)于y軸對稱，則角α與β的關(guān)系是β＝180－α＋k360，k∈Z. (3)關(guān)于原點對稱：若角α與β的終邊關(guān)于原點對稱，則角α與β的關(guān)系是β＝180＋α＋k360，k∈Z. (4)關(guān)于直線y＝x對稱：若角α與β的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，則角α與β的關(guān)系是β＝－α＋90＋k360，k∈Z. (1)若α是第一象限角，則－是( ) A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 (2)已知，如圖112所示． 圖112 ①分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合． ②寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合. [思路探究] (1)→→ (2)①→ ② → (1)D [(1)因為α是第一象限角，所以k360＜α＜k360＋90，k∈Z， 所以k180＜＜k180＋90，k∈Z， 所以是第一、三象限角， 又因為－與的終邊關(guān)于x軸對稱， 所以－是第二、四象限角．] (2)①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90＋45＋k360，k∈Z}＝{α|α＝135＋k360，k∈Z}； 終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30＋k360，k∈Z}． ②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于[－30，135]之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為{α|－30＋k360≤α≤135＋k360，k∈Z}． 母題探究：1.若將本例(2)改為如圖113所示的圖形，那么終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合如何表示？ 圖113 [解] 在0～360范圍內(nèi)，終邊落在陰影部分(包括邊界)的角為60≤β＜105與240≤β＜285，所以所有滿足題意的角β為{β|k360＋60≤β＜k360＋105，k∈Z}∪{β|k360＋240≤β＜k360＋285，k∈Z} ＝{β|2k180＋60≤β＜2k180＋105，k∈Z}∪{β|(2k＋1)180＋60≤β＜(2k＋1)180＋105，k∈Z} ＝{β|n180＋60≤β＜n180＋105，n∈Z}． 故角β的取值集合為{β|n180＋60≤β＜n180＋105，n∈Z}． 2．若將本例(2)改為如圖114所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？ 圖114 [解] 在0～360范圍內(nèi)，陰影部分(包括邊界)表示的范圍可表示為：150≤β≤225，則所有滿足條件的角β為{β|k360＋150≤β≤k360＋225，k∈Z}． [規(guī)律方法] 1.表示區(qū)間角的三個步驟： 第一步：先按逆時針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界； 第二步：按由小到大分別標出起始和終止邊界對應(yīng)的－360～360范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡區(qū)間{x|α下載提示(請認真閱讀)
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