2018高中數(shù)學 第2章 推理與證明 2.2.1 直接證明學案 蘇教版選修1 -2.doc
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2．2.1 直接證明 [學習目標] 1.了解直接證明的兩種基本方法——綜合法和分析法.2.理解綜合法和分析法的思考過程、特點，會用綜合法和分析法證明數(shù)學問題． [知識鏈接] 1．綜合法與分析法的推理過程是合情推理還是演繹推理？ 答 綜合法與分析法的推理過程是演繹推理，因為綜合法與分析法的每一步推理都是嚴密的邏輯推理，從而得到的每一個結論都是正確的，不同于合情推理中的“猜想”． 2．必修5中基本不等式≥(a>0，b>0)是怎樣證明的？ 答 要證≥， 只需證a＋b≥2， 只需證a＋b－2≥0， 只需證(－)2≥0， 因為(－)2≥0顯然成立，所以原不等式成立． [預習導引] 1．直接證明 直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明通常稱為 直接證明．綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法，也是解決數(shù)學問題時常用的思維方式． 2．綜合法 從已知條件出發(fā)，以已知的定義、公理、定理為依據(jù)，逐步下推，直到推出要證明的結論為止，這種證明方法通常稱為綜合法． 3．分析法 從問題的結論出發(fā)，追溯導致結論成立的條件，逐步上溯，直到使結論成立的條件和已知條件或已知事實吻合為止，這種證明方法通常稱為分析法. 要點一 綜合法的應用 例1 已知a，b是正數(shù)，且a＋b＝1，求證：＋≥4. 證明 方法一 ∵a，b是正數(shù)且a＋b＝1， ∴a＋b≥2，∴≤，∴＋＝＝≥4. 方法二 ∵a，b是正數(shù)，∴a＋b≥2>0， ＋≥2>0， ∴(a＋b)≥4. 又a＋b＝1，∴＋≥4. 方法三?。剑?＋＋＋1≥2＋2＝4.當且僅當a＝b時，取“＝”． 規(guī)律方法 利用綜合法證明問題的步驟： (1)分析條件選擇方向：仔細分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結論之間的聯(lián)系與區(qū)別，選擇相關的公理、定理、公式、結論，確定恰當?shù)膬?yōu)化解法． (2)轉化條件組織過程：把題目的已知條件，轉化成解題所需要的語言，主要是文字、符號、圖形三種語言之間的轉化，組織過程時要有嚴密的邏輯，簡潔的語言，清晰的思路． (3)適當調(diào)整回顧反思：解題后回顧解題過程，可對部分步驟進行調(diào)整，并對一些語言進行適當?shù)男揎?，反思總結優(yōu)化解法． 跟蹤演練1 在△ABC中，三個內(nèi)角A、B、C對應的邊分別為a、b、c，且A、B、C成等差數(shù)列，a、b、c成等比數(shù)列，求證：△ABC為等邊三角形． 證明 由A、B、C成等差數(shù)列，有2B＝A＋C.① 因為A、B、C為△ABC的內(nèi)角，所以A＋B＋C＝π.② 由①②，得B＝.③ 由a、b、c成等比數(shù)列，有b2＝ac.④ 由余弦定理及③， 可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac. 再由④，得a2＋c2－ac＝ac， 即(a－c)2＝0，因此a＝c， 從而有A＝C.⑤ 由②③⑤，得A＝B＝C＝.所以△ABC為等邊三角形． 要點二 分析法的應用 例2 設a，b為實數(shù)，求證：≥(a＋b)． 證明 當a＋b≤0時，∵≥0， ∴≥(a＋b)成立． 當a＋b>0時，用分析法證明如下： 要證≥(a＋b)， 只需證()2≥2， 即證a2＋b2≥(a2＋b2＋2ab)，即證a2＋b2≥2ab. ∵a2＋b2≥2ab對一切實數(shù)恒成立， ∴≥(a＋b)成立．綜上所述，不等式得證． 規(guī)律方法 分析法格式與綜合法正好相反，它是從要求證的結論出發(fā)，倒著分析，由未知想需知，由需知逐漸地靠近已知(已知條件、已經(jīng)學過的定義、定理、公理、公式、法則等)．這種證明的方法關鍵在于需保證分析過程的每一步都是可以逆推的．它的常見書寫表達式是“要證……只需……”或“?”． 跟蹤演練2 如圖所示，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，過A作SB的垂線，垂足為E，過E作SC的垂線，垂足為F. 求證：AF⊥SC. 證明 要證AF⊥SC， 只需證SC⊥平面AEF， 只需證AE⊥SC(因為EF⊥SC)， 只需證AE⊥平面SBC， 只需證AE⊥BC(因為AE⊥SB)， 只需證BC⊥平面SAB， 只需證BC⊥SA(因為AB⊥BC)． 由SA⊥平面ABC可知上式成立，所以AF⊥SC. 要點三 綜合法和分析法的綜合應用 例3 已知a、b、c是不全相等的正數(shù)，且0
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