2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷 理(含解析).doc

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xx-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷 理(含解析) 一、選擇題：（本題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1.已知集合，則為 A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 因?yàn)椋? 所以=或，故選A。 2.“”是“”的（ ） A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出滿足條件的A的值，再結(jié)合充分必要條件的定義進(jìn)行判斷即可. 【詳解】因?yàn)閟inA=12，所以A=2kπ+π6或A=2kπ+5π6(k∈Z)， 故“sinA=12”是“A=30”的必要不充分條件， 故選D. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)充分條件必要條件的判斷問(wèn)題，涉及到的考點(diǎn)有充分條件必要條件的定義和判斷方法，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是正確解題的關(guān)鍵. 3.已知a,b為非零實(shí)數(shù)，且a>b，則下列不等式成立的是（ ） A. a2>b2 B. 1a<1b C. |a|>|b| D. 2a>2b 【答案】D 【解析】 【分析】 由不等式的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，由于a,b為非零實(shí)數(shù)，故可利用特例進(jìn)行討論得出正確選項(xiàng). 【詳解】A選項(xiàng)不正確，當(dāng)a=1,b=?2時(shí)，不等式就不成立； B選項(xiàng)不正確，因?yàn)閍=1,b=?2時(shí)，不等式就不成立； C選項(xiàng)不正確，因?yàn)閍=1,b=?2時(shí)，不等式就不成立； D選項(xiàng)正確，因?yàn)閥=2x是一個(gè)增函數(shù)，故當(dāng)a>b時(shí)一定有2a>2b， 故選D. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)不等式的性質(zhì)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)于不正確的結(jié)論只要舉出一個(gè)反例即可，再者要熟練掌握不等式的性質(zhì). 4.已知命題p：?x∈R，sinx≤1，則￢p為　　 A. ?x∈R，sinx≥1 B. ?x∈R，sinx≥1 C. ?x∈R，sinx>1 D. ?x∈R，sinx>1 【答案】C 【解析】 【分析】 全稱命題的否定是存在性命題，按規(guī)則寫(xiě)出其否定即可. 【詳解】命題p的否定為：?x∈R,sinx>1.故選C. 【點(diǎn)睛】一般地，全稱命題 “?x∈M,px”的否定為“?x∈M,px”，而存在性命題“?x∈M,px”的否定為“?x∈M,px”. 5.已知命題p:a2≥0(a∈R), 命題q:函數(shù)f(x)=x2-x在區(qū)間[0,+∞)上單調(diào)遞增, 則下列命題中為真命題的是（ ）. A. p∨q B. p∧q C. (p)∧(q) D. (p)∨q 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函數(shù)的性質(zhì)先判斷命題p,q的真假，再利用復(fù)合命題真假的判定方法即可得出. 【詳解】命題p:a2≥0(a∈R)，是真命題，命題q:函數(shù)f(x)=x2?2x=(x?1)2?1在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間[0,+∞)上不單調(diào)，因此是假命題； 則下列命題中位真命題的是p∨q， 故選B. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)合命題的真值表的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有不等式的性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，首先判斷出命題p,q的真值是解題的關(guān)鍵. 6.橢圓x2+4y2=1的離心率為（　 ?。? A. 32 B. 34 C. 22 D. 23 【答案】A 【解析】 解：因?yàn)闄E圓x2+4y2=1?x2+y214=1，a=1,b=12,c=32,則橢圓的離心率為32，選A 7.設(shè)四個(gè)正數(shù)a, b, c, d成等差數(shù)列，則下列各式恒成立的是 （ ） A. a+d2≤bc B. a+d2≥bc C. a+d2>bc D. a+d2b>0)的短軸長(zhǎng)為27，離心率為34. 則橢圓C的方程為（ ） A. x216+y27=1 B. x216+y29=1 C. x264+y228=1 D. x264+y236=1 【答案】A 【解析】 【分析】 首先根據(jù)題中所給的條件，建立相應(yīng)的等量關(guān)系式，列出對(duì)應(yīng)的方程組，從而求得a,b的值，最后求得橢圓的方程. 【詳解】由題意可得2b=27e=ca=34a2=b2+c2，解得a=4,b=7， 所以橢圓的方程為x216+y27=1， 故選A. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)橢圓的方程的求解問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有橢圓的短軸長(zhǎng)為2b，橢圓的離心率e=ca，以及橢圓中a,b,c三者之間的關(guān)系，認(rèn)真審題是正確解題的關(guān)鍵. 11.在△ABC中，(a+c)(a?c)=b(b+c)，則A = A. 30° B. 60° C. 120° D. 150° 【答案】B 【解析】 12.已知F1,F2分別是橢圓x2a2+y2b2=1的左、右焦點(diǎn)，P是以F1F2為直徑的圓與該橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，且∠PF1F2=2∠PF2F1,則這個(gè)橢圓的離心率是（ ） A. 3-1 B. 2?3 C. 3?12 D. 2?32 【答案】A 【解析】 因?yàn)镻是以F1F2為直徑的圓與該橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，所以∠F1PF2=π2，因?yàn)椤螾F1F2=2∠PF2F1，所以∠PF2F1=π6。在RtΔPF1F2中，因?yàn)閨F1F2|=2c，所以|PF1|=c,|PF2|=3c，由橢圓定義可得c+3c=2a，所以e=ca=21+3=3?1。故選A。 【點(diǎn)睛】求離心率的值或范圍就是找a,b,c的值或關(guān)系。由P是以F1F2為直徑的圓與該橢圓的一個(gè)交點(diǎn)，得ΔPF1F2為直角三角形。由∠PF1F2=2∠PF2F1求出兩銳角，根據(jù)斜邊求兩直角邊，再根據(jù)橢圓定義得關(guān)于a,c的關(guān)系式，可求離心率。 二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分） 13.設(shè)橢圓x225+y2b2=1,(00，利用同角的基本關(guān)系可得sinA=1?cos2A=53，再利用三角形內(nèi)角之間的關(guān)系，可得5cosC=sinB=sin(A+C)=53cosC+23sinC即可求出tanC的值； （2）由（1）可知sinC=56，又由正弦定理知：asinA=csinC，故c=3，再對(duì)對(duì)角A運(yùn)用余弦定理：cosA=b2+c2?a22bc=23，解得b=3，再根據(jù)三角形的面積公式即可求出結(jié)果． 試題解析：（1）∵cosA=23>0，∴sinA=1?cos2A=53， 又5cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA=53cosC+23sinC． 整理得：tanC=5． （2）由（1）可知sinC=56． 又由正弦定理知：asinA=csinC，故c=3． ① 對(duì)角A運(yùn)用余弦定理：cosA=b2+c2?a22bc=23．② 解①②得：b=3或b=33（舍去）． ∴△ABC的面積為：S=52． 考點(diǎn)：1．同角的基本關(guān)系；2．正弦定理；3．余弦定理． 19.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=2，a1+a2+a3=12. ⑴ 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； ⑵ 令bn=an?３n (n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的公式. 【答案】（1）2n（2） 【解析】 解:（1）∵a1=2，a1+a2+a3=12 ∴3a1+3d=12，即d=2 ∴an=2+(n?1)?2=2n. （2）由已知：bn=2n?3n ∵Sn=2?3+4?3２+6?3３+…＋2n?3n① ３Sn=2?32+4?33+6?34+…＋2n?3n+1② ①-②得 -2Sn=2?3+2?32+2?33+???+2?3n?2n?3n+1=6(1?3n)1?3?2n?3n+1 ∴Sn=3?3n+12+n?3n+1=32+(n?12)3n+1 20.設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(0,3)，離心率為 12． （1）求橢圓C的方程； （2）設(shè)斜率為1的直線過(guò)橢圓C的左焦點(diǎn)且與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)． 【答案】（1）x24+y23=1（2）(?47,37) 【解析】 【分析】 （1）首先根據(jù)題中所給的橢圓方程，可以判斷得出其為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，根據(jù)其過(guò)的點(diǎn)的坐標(biāo)，從而判斷出b的值，結(jié)合離心率，列出相應(yīng)的等量關(guān)系式，借助于橢圓中a,b,c的關(guān)系，求得結(jié)果； （2）首先根據(jù)題中的條件，寫(xiě)出直線的方程，之后與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得結(jié)果. 【詳解】（1）由橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)可知其焦點(diǎn)在x軸上， 因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)(0,3)，所以b=3， 因?yàn)槠潆x心率e=ca=1?b2a2=12，解得a2=4， 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1； （2）由題意可知：直線方程為y=x+1， 由x24+y23=1y=x+1，整理得7x2+8x?8=0，顯然Δ>0， 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，M(x0,y0)， 由韋達(dá)定理可得x1+x2=?87，y1+y2=x1+1+x2+1=?87+2=67， 所以AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)是(?47,37). 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與橢圓的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有橢圓的短軸端點(diǎn)，橢圓的離心率，橢圓中a,b,c三者之間的關(guān)系，直線方程的點(diǎn)斜式，直線與橢圓的綜合題，韋達(dá)定理以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，認(rèn)真求解時(shí)正確解題的關(guān)鍵. 21.已知兩點(diǎn)A(?2,0),B(2,0)，直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且這兩條直線的斜率之積為?34. (1)求點(diǎn)M的軌跡方程； (2)記點(diǎn)M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，過(guò)點(diǎn)P的斜率不為零且互為相反數(shù)的兩條直線分別交曲線C于Q，R（異于點(diǎn)P），求直線QR的斜率. 【答案】（1）x24+y23=1（2）12 【解析】 【分析】 （1）設(shè)點(diǎn)M(x,y)，通過(guò)kAM?kBM=-34，即可求出曲線C的方程； （2）把x=1代入曲線C的方程，可得P(1,32)，直線PQ與直線PR的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-1)+32，與橢圓方程聯(lián)立，由于x=1是方程的一個(gè)解，所以方程的另一個(gè)解為xQ=4k2-12k-34k2+3，同理xR=4k2+12k-34k2+3，可得直線QR的斜率. 【詳解】(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y)，因?yàn)閗AM?kBM=-34，所以yx+2?yx-2=-34， 整理得點(diǎn)所在的曲線C的方程為：x24+y23=1(x≠2). （2）由題意可得點(diǎn)P(1,32)， 直線PQ與直線PR的斜率互為相反數(shù)，設(shè)直線PQ的方程為y=k(x-1)+32， 與橢圓的方程聯(lián)立消去y，得(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0， 由于x=1是方程的一個(gè)解，所以方程的另一個(gè)解為xQ=4k2-12k-34k2+3， 同理xR=4k2+12k-34k2+3， 故直線RQ的斜率為 kRQ=yR-yQxR-xQ=-k(xR-1)+32-k(xQ-1)-32xR-xQ =-k(8k2-64k2+3-2)24k4k2+3=12. 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)直線與橢圓的綜合題，在解題的過(guò)程中，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的求解問(wèn)題，直線與橢圓相交對(duì)應(yīng)的解題的步驟與解題的思路，注意聯(lián)立方程組是少不了的，注意對(duì)不滿足條件的點(diǎn)的去除問(wèn)題. 22.求證：（其中）； (2)已知（0，+∞），且，求證： 【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析 【解析】 【分析】 （1）直接利用關(guān)系式的恒等變換求出結(jié)果； （2）直接利用關(guān)系式的恒等變換求出結(jié)果. 【詳解】證明：（1）； （2），且， 故 . 【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)不等式的證明問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，需要抓住的是基本不等式成立的條件，第一小題需要對(duì)式子進(jìn)行變形，湊出基本不等式的條件，第二問(wèn)需要結(jié)合題中的條件，對(duì)1進(jìn)行變形，得到結(jié)果.