2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1曲線與方程優(yōu)化練習(xí)新人教A版選修2 .doc

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2.1 曲線與方程 [課時(shí)作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲線(　　) A．關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于x－y＝0對(duì)稱(chēng) 解析：同時(shí)以－x替x，以－y替y，方程不變，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)． 答案：C 2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲線是(　　) 解析：方程x＋|y－1|＝0可化為|y－1|＝－x≥0， ∴x≤0，故選B. 答案：B 3．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P在曲線2x2－y＝0上移動(dòng)，則點(diǎn)A(0，－1)與點(diǎn)P連線中點(diǎn)的軌跡方程是(　　) A．y＝2x2 B．y＝8x2 C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1 解析：設(shè)AP中點(diǎn)為(x，y)，則P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0， ∴2y＝8x2－1. 答案：C 4．設(shè)點(diǎn)A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點(diǎn)的軌跡方程為(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 解析：如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)．連接MA，則MA⊥PA，且|MA|＝1， 又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝＝. 即|PM|2＝2， ∴(x－1)2＋y2＝2. 答案：D 5．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所確定的兩條曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)＞1 B．0＜a＜1 C．0＜a＜1或a＞1 D．a(chǎn)∈? 解析：當(dāng)0＜a≤1時(shí)，兩曲線只有一個(gè)交點(diǎn)(如圖(1))； 當(dāng)a＞1時(shí)，兩曲線有兩個(gè)交點(diǎn)(如圖(2))． 答案：A 6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的圖形為_(kāi)_______． 解析：對(duì)方程左邊配方得(x－2)2＋2(y＋2)2＝0. ∵(x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0， ∴解得 從而方程表示的圖形是一個(gè)點(diǎn)(2，－2)． 答案：一個(gè)點(diǎn)(2，－2) 7．設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則圓心C的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析：設(shè)圓心C(x，y)， 由題意得 ＝y(tǒng)＋1(y>0)， 化簡(jiǎn)得x2＝8y－8. 答案：x2＝8y－8 8．已知l1是過(guò)原點(diǎn)O且與向量a＝(2，－λ)垂直的直線，l2是過(guò)定點(diǎn)A(0,2)且與向量b＝平行的直線，則l1與l2的交點(diǎn)P的軌跡方程是________，軌跡是________． 解析：∵kl1＝，∴l(xiāng)1：y＝x； kl2＝－，l2：y＝－x＋2， ∴l(xiāng)1⊥l2，故交點(diǎn)在以原點(diǎn)(0,0)，A(0,2)為直徑的圓上但與原點(diǎn)不重合， ∴交點(diǎn)的軌跡方程為x2＋(y－1)2＝1(y≠0)． 答案：x2＋(y－1)2＝1(y≠0)　以(0,1)為圓心，1為半徑的圓(不包括原點(diǎn)) 9．已知定長(zhǎng)為6的線段，其端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上移動(dòng)，線段AB的中點(diǎn)為M，求M點(diǎn)的軌跡方程． 解析：作出圖象如圖所示，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知 |OM|＝|AB|＝3. 所以M的軌跡為以原點(diǎn)O為圓心，以3為半徑的圓，故M點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2＝9. 10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(x，y)，PM⊥y軸，垂足為M，點(diǎn)N與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，且＝4，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程． 解析：由已知得M(0，y)，N(x，－y)， ∴＝(x，－2y)， ∴＝(x，y)(x，－2y)＝x2－2y2， 依題意知，x2－2y2＝4， 因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2－2y2＝4. [B組　能力提升] 1．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面積為10，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程是(　　) A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0 C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0 解析：由兩點(diǎn)式，得直線AB的方程是 ＝，即4x－3y＋4＝0， 線段AB的長(zhǎng)度|AB|＝＝5. 設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y)，則5＝10， 即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0. 答案：B 2．“點(diǎn)M在曲線y2＝4x上”是點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程y＝－2的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：點(diǎn)M在曲線y2＝4x上，其坐標(biāo)不一定滿足方程y＝－2，但當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足方程y＝－2時(shí)，則點(diǎn)M一定在曲線y2＝4x上，如點(diǎn)M(4，－4)． 答案：B 3．已知兩點(diǎn)M(－2,0)，N(2,0)，點(diǎn)P滿足＝12，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析：設(shè)P(x，y)，則＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)． 于是＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12， 化簡(jiǎn)得x2＋y2＝16，此即為所求點(diǎn)P的軌跡方程． 答案：x2＋y2＝16 4．直線l：y＝k(x－5)(k≠0)與圓O：x2＋y2＝16相交于A，B兩點(diǎn)，O為圓心，當(dāng)k變化時(shí)，則弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析：設(shè)M(x，y)，易知直線恒過(guò)定點(diǎn)P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2， 所以x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25， 整理得2＋y2＝. 因?yàn)辄c(diǎn)M應(yīng)在圓內(nèi)，故所求的軌跡為圓內(nèi)的部分． 解方程組得兩曲線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x＝，故所求軌跡方程為2＋y2＝. 答案：2＋y2＝ 5．已知等腰三角形的頂點(diǎn)是A(4,2)，底邊一個(gè)頂點(diǎn)是B(3,5)，求另一個(gè)頂點(diǎn)C的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么？ 解析：設(shè)另一頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為(x，y)，依題意，得|AC|＝|AB|， 由兩點(diǎn)間距離公式，得 ＝. 化簡(jiǎn)，得(x－4)2＋(y－2)2＝10. 因?yàn)锳，B，C為三角形的三個(gè)頂點(diǎn)， 所以A，B，C三點(diǎn)不共線， 即點(diǎn)B，C不能重合，且B， C不能為⊙A的一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)． ①因?yàn)锽，C不重合，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)不能為(3,5)， ②又因?yàn)辄c(diǎn)B不能為⊙A的一直徑的兩個(gè)端點(diǎn)， 由＝4，得x＝5. 點(diǎn)C的坐標(biāo)不能為(5，－1)．如圖，故點(diǎn)C的軌跡方程為 (x－4)2＋(y－2)2＝10 . 點(diǎn)C的軌跡是以點(diǎn)A(4,2)為圓心，以為半徑的圓，除去點(diǎn)(3,5)，(5，－1)． 6．已知直線y＝mx＋3m和曲線y＝有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解析：直線y＝m(x＋3)過(guò)定點(diǎn)(－3,0)，曲線y＝即x2＋y2＝4(y≥0)表示半圓，由圖可知m的取值范圍是.