2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章圓錐曲線與方程2.1曲線與方程優(yōu)化練習(xí)新人教A版選修2 .doc

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2.1 曲線與方程 [課時作業(yè)] [A組　基礎(chǔ)鞏固] 1．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲線(　　) A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱 C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于x－y＝0對稱 解析：同時以－x替x，以－y替y，方程不變，所以方程xy2－x2y＝2x所表示的曲線關(guān)于原點對稱． 答案：C 2．方程x＋|y－1|＝0表示的曲線是(　　) 解析：方程x＋|y－1|＝0可化為|y－1|＝－x≥0， ∴x≤0，故選B. 答案：B 3．已知動點P在曲線2x2－y＝0上移動，則點A(0，－1)與點P連線中點的軌跡方程是(　　) A．y＝2x2 B．y＝8x2 C．2y＝8x2－1 D．2y＝8x2＋1 解析：設(shè)AP中點為(x，y)，則P(2x,2y＋1)在2x2－y＝0上，即2(2x)2－(2y＋1)＝0， ∴2y＝8x2－1. 答案：C 4．設(shè)點A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|＝1，則P點的軌跡方程為(　　) A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4 C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2 解析：如圖，設(shè)P(x，y)，圓心為M(1,0)．連接MA，則MA⊥PA，且|MA|＝1， 又∵|PA|＝1， ∴|PM|＝＝. 即|PM|2＝2， ∴(x－1)2＋y2＝2. 答案：D 5．已知方程y＝a|x|和y＝x＋a(a＞0)所確定的兩條曲線有兩個交點，則a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)＞1 B．0＜a＜1 C．0＜a＜1或a＞1 D．a(chǎn)∈? 解析：當(dāng)0＜a≤1時，兩曲線只有一個交點(如圖(1))； 當(dāng)a＞1時，兩曲線有兩個交點(如圖(2))． 答案：A 6．方程x2＋2y2－4x＋8y＋12＝0表示的圖形為________． 解析：對方程左邊配方得(x－2)2＋2(y＋2)2＝0. ∵(x－2)2≥0,2(y＋2)2≥0， ∴解得 從而方程表示的圖形是一個點(2，－2)． 答案：一個點(2，－2) 7．設(shè)圓C與圓x2＋(y－3)2＝1外切，與直線y＝0相切，則圓心C的軌跡方程為________． 解析：設(shè)圓心C(x，y)， 由題意得 ＝y(tǒng)＋1(y>0)， 化簡得x2＝8y－8. 答案：x2＝8y－8 8．已知l1是過原點O且與向量a＝(2，－λ)垂直的直線，l2是過定點A(0,2)且與向量b＝平行的直線，則l1與l2的交點P的軌跡方程是________，軌跡是________． 解析：∵kl1＝，∴l(xiāng)1：y＝x； kl2＝－，l2：y＝－x＋2， ∴l(xiāng)1⊥l2，故交點在以原點(0,0)，A(0,2)為直徑的圓上但與原點不重合， ∴交點的軌跡方程為x2＋(y－1)2＝1(y≠0)． 答案：x2＋(y－1)2＝1(y≠0)　以(0,1)為圓心，1為半徑的圓(不包括原點) 9．已知定長為6的線段，其端點A、B分別在x軸、y軸上移動，線段AB的中點為M，求M點的軌跡方程． 解析：作出圖象如圖所示，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知 |OM|＝|AB|＝3. 所以M的軌跡為以原點O為圓心，以3為半徑的圓，故M點的軌跡方程為x2＋y2＝9. 10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知動點P(x，y)，PM⊥y軸，垂足為M，點N與點P關(guān)于x軸對稱，且＝4，求動點P的軌跡方程． 解析：由已知得M(0，y)，N(x，－y)， ∴＝(x，－2y)， ∴＝(x，y)(x，－2y)＝x2－2y2， 依題意知，x2－2y2＝4， 因此動點P的軌跡方程為x2－2y2＝4. [B組　能力提升] 1．已知A(－1,0)，B(2,4)，△ABC的面積為10，則動點C的軌跡方程是(　　) A．4x－3y－16＝0或4x－3y＋16＝0 B．4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0 C．4x－3y＋16＝0或4x－3y＋24＝0 D．4x－3y＋16＝0或4x－3y－24＝0 解析：由兩點式，得直線AB的方程是 ＝，即4x－3y＋4＝0， 線段AB的長度|AB|＝＝5. 設(shè)C的坐標(biāo)為(x，y)，則5＝10， 即4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0. 答案：B 2．“點M在曲線y2＝4x上”是點M的坐標(biāo)滿足方程y＝－2的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：點M在曲線y2＝4x上，其坐標(biāo)不一定滿足方程y＝－2，但當(dāng)點M的坐標(biāo)滿足方程y＝－2時，則點M一定在曲線y2＝4x上，如點M(4，－4)． 答案：B 3．已知兩點M(－2,0)，N(2,0)，點P滿足＝12，則點P的軌跡方程為________． 解析：設(shè)P(x，y)，則＝(－2－x，－y)，＝(2－x，－y)． 于是＝(－2－x)(2－x)＋y2＝12， 化簡得x2＋y2＝16，此即為所求點P的軌跡方程． 答案：x2＋y2＝16 4．直線l：y＝k(x－5)(k≠0)與圓O：x2＋y2＝16相交于A，B兩點，O為圓心，當(dāng)k變化時，則弦AB的中點M的軌跡方程為________． 解析：設(shè)M(x，y)，易知直線恒過定點P(5,0)，再由OM⊥MP，得|OP|2＝|OM|2＋|MP|2， 所以x2＋y2＋(x－5)2＋y2＝25， 整理得2＋y2＝. 因為點M應(yīng)在圓內(nèi)，故所求的軌跡為圓內(nèi)的部分． 解方程組得兩曲線交點的橫坐標(biāo)為x＝，故所求軌跡方程為2＋y2＝. 答案：2＋y2＝ 5．已知等腰三角形的頂點是A(4,2)，底邊一個頂點是B(3,5)，求另一個頂點C的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么？ 解析：設(shè)另一頂點C的坐標(biāo)為(x，y)，依題意，得|AC|＝|AB|， 由兩點間距離公式，得 ＝. 化簡，得(x－4)2＋(y－2)2＝10. 因為A，B，C為三角形的三個頂點， 所以A，B，C三點不共線， 即點B，C不能重合，且B， C不能為⊙A的一直徑的兩個端點． ①因為B，C不重合，所以點C的坐標(biāo)不能為(3,5)， ②又因為點B不能為⊙A的一直徑的兩個端點， 由＝4，得x＝5. 點C的坐標(biāo)不能為(5，－1)．如圖，故點C的軌跡方程為 (x－4)2＋(y－2)2＝10 . 點C的軌跡是以點A(4,2)為圓心，以為半徑的圓，除去點(3,5)，(5，－1)． 6．已知直線y＝mx＋3m和曲線y＝有兩個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍． 解析：直線y＝m(x＋3)過定點(－3,0)，曲線y＝即x2＋y2＝4(y≥0)表示半圓，由圖可知m的取值范圍是.