高考數(shù)學二輪復習 專題七 第1講 幾何證明選講課件 理（選做部分）.ppt

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第1講幾何證明選講 高考定位高考對本內容的考查主要有 1 三角形及相似三角形的判定與性質 2 圓的相交弦定理 切割線定理 3 圓內接四邊形的性質與判定 4 相交弦定理 本內容考查屬B級要求 真題感悟 1 2015 江蘇卷 如圖 在 ABC中 AB AC ABC的外接圓 O的弦AE交BC于點D 求證 ABD AEB 證明因為AB AC 所以 ABD C 又因為 C E 所以 ABD E 又 BAE為公共角 可知 ABD AEB 2 2014 江蘇卷 如圖 AB是圓O的直徑 C D是圓O上位于AB異側的兩點 證明 OCB D 證明因為B C是圓O上的兩點 所以OB OC 故 OCB B 又因為C D是圓O上位于AB異側的兩點 故 B D為同弧所對的兩個圓周角 所以 B D 因此 OCB D 考點整合1 1 相似三角形的判定定理判定定理1 對于任意兩個三角形 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等 那么這兩個三角形相似 判定定理2 對于任意兩個三角形 如果一個三角形的兩邊和另一個三角形的兩邊對應成比例 并且夾角相等 那么這兩個三角形相似 判定定理3 對于任意兩個三角形 如果一個三角形的三條邊和另一個三角形的三條邊對應成比例 那么這兩個三角形相似 2 相似三角形的性質 相似三角形對應高的比 對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比 相似三角形周長的比等于相似比 相似三角形面積的比等于相似比的平方 3 直角三角形的射影定理 直角三角形中 每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影與斜邊的比例中項 斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項 2 1 圓周角定理 圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 2 圓心角定理 圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù) 3 1 圓內接四邊形的性質定理 圓的內接四邊形的對角互補 圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角 2 圓內接四邊形判定定理 如果一個四邊形的對角互補 那么這個四邊形的四個頂點共圓 4 1 圓的切線的性質定理 圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑 2 圓的切線的判定定理 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 3 弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角 4 相交弦定理 圓內的兩條相交弦 被交點分成的兩條線段長的積相等 5 切割線定理 從圓外一點引圓的切線和割線 切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項 5 證明等積式成立 應先把它寫成比例式 找出比例式中給出的線段所在三角形是否相似 若不相似 則進行線段替換或等比替換 6 圓冪定理與圓周角 弦切角聯(lián)合應用時 要注意找相等的角 找相似三角形 從而得出線段的比 由于圓冪定理涉及圓中線段的數(shù)量計算 所以應注意代數(shù)法在解題中的應用 熱點一三角形相似的判定及應用 微題型1 利用弦切角定理證明三角形相似 證明 1 ACE BCD 2 BC2 BE CD 探究提高在證明角或線段相等時 證三角形相似是首選的解題思路 如果涉及弦切角 則需考慮弦切角定理 微題型2 利用圓周角 圓心角定理證明三角形相似 例1 2 如圖 已知圓O是 ABC的外接圓 AB BC AD是BC邊上的高 AE是圓O的直徑 過點C作圓O的切線交BA的延長線于點F 探究提高在證明線段的乘積相等時 通常用三角形相似或圓的切割線定理 同時 要注意等量的代換 訓練1 已知AB為半圓O的直徑 AB 4 C為半圓上一點 過點C作半圓的切線CD 過點A作AD CD于D 交半圓于點E DE 1 1 求證 AC平分 BAD 2 求BC的長 1 證明連接OC 因為OA OC 所以 OAC OCA CD為半圓的切線 OC CD AD CD OC AD OCA CAD OAC CAD AC平分 BAD 2 解連接CE 由 1 得 OAC CAD 由同圓或等圓中圓周角相等所對弧及弦也相等可知BC CE 熱點二四點共圓的判定及性質 微題型1 四點共圓的判定 例2 1 如圖 已知 ABC的兩條角平分線AD和CE相交于H B 60 F在AC上 且AE AF 證明 1 B D H E四點共圓 2 EC平分 DEF 證明 1 在 ABC中 因為 B 60 所以 BAC BCA 120 因為AD CE是角平分線 所以 HAC HCA 60 故 AHC 120 于是 EHD AHC 120 因為 EBD EHD 180 所以B D H E四點共圓 2 連接BH 則BH為 ABC的平分線 得 HBD 30 由 1 知B D H E四點共圓 所以 CED HBD 30 又 AHE EBD 60 由已知可得EF AD 可得 CEF 30 所以EC平分 DEF 探究提高 1 如果四點與一定點距離相等 那么這四點共圓 2 如果四邊形的一組對角互補 那么這個四邊形的四個頂點共圓 3 如果四邊形的一個外角等于它的內對角 那么這個四邊形的四個頂點共圓 微題型2 考查四點共圓的性質 例2 2 如圖所示 已知AP是 O的切線 P為切點 AC是 O的割線 與 O交于B C兩點 圓心O在 PAC的內部 點M是BC的中點 1 證明 A P O M四點共圓 2 求 OAM APM的大小 1 證明連接OP OM AP與 O相切于P OP AP 又 M是 O的弦BC的中點 OM BC 于是 OMA OPA 180 由圓心O在 PAC的內部 可知四邊形APOM的對角互補 A P O M四點共圓 2 解由 1 得A P O M四點共圓 可知 OAM OPM 又 OP AP 由圓心在 PAC的內部 可知 OPM APM 90 OAM APM 90 探究提高利用四點共圓的性質可解決角的相等 或結合切割線定理解決線段成比例問題 1 證明如圖 設F為AD延長線上一點 A B C D四點共圓 CDF ABC 又AB AC ABC ACB 且 ADB ACB ADB CDF