高考數學一輪復習 第六章 數列 6.1 數列的概念與簡單表示法課件 理.ppt

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第六章數列 6 1數列的概念與簡單表示法 內容索引 基礎知識自主學習 題型分類深度剖析 高頻小考點 思想方法感悟提高 練出高分 基礎知識自主學習 1 數列的定義按照排列的一列數稱為數列 數列中的每個數都叫做這個數列的 一定次序 項 2 數列的分類 有限 無限 知識梳理 1 答案 答案 3 數列的表示法數列有三種表示法 它們分別是 和 4 數列的通項公式如果數列 an 的第n項與之間的關系可以用一個公式來表示 那么這個公式叫做這個數列的通項公式 5 已知數列 an 的前n項和Sn 則an 列表法 圖象法 解析法 序號n 答案 判斷下面結論是否正確 請在括號中打 或 1 所有數列的第n項都能使用公式表達 2 根據數列的前幾項歸納出數列的通項公式可能不止一個 3 1 1 1 1 不能構成一個數列 4 任何一個數列不是遞增數列 就是遞減數列 5 如果數列 an 的前n項和為Sn 則對 n N 都有an 1 Sn 1 Sn 6 在數列 an 中 對于任意正整數m n am n amn 1 若a1 1 則a2 2 思考辨析 答案 考點自測 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 把1 3 6 10 15 21 這些數叫做三角形數 這是因為用這些數目的點可以排成一個正三角形 如圖 則第7個三角形數是 解析根據三角形數的增長規(guī)律可知第七個三角形數是1 2 3 4 5 6 7 28 28 解析答案 1 2 3 4 5 3 數列 an 的前n項和記為Sn a1 1 an 1 2Sn 1 n 1 n N 則數列 an 的通項公式是 解析由an 1 2Sn 1可得an 2Sn 1 1 n 2 兩式相減得an 1 an 2an 即an 1 3an n 2 又a2 2S1 1 3 a3 3 a2 32 a1 32 a4 3a3 33 an 3an 1 3n 1 an 3n 1 解析答案 1 2 3 4 5 4 根據下面的圖形及相應的點數 寫出點數構成的數列的一個通項公式an 5n 4 1 2 3 4 5 答案 5 已知數列 an 的前n項和Sn n2 1 則an 解析當n 1時 a1 S1 2 當n 2時 an Sn Sn 1 n2 1 n 1 2 1 2n 1 解析答案 返回 1 2 3 4 5 題型分類深度剖析 解析注意到分母0 2 4 6都是偶數 對照所給項排除即可 題型一由數列的前幾項求數列的通項公式 解析答案 解析答案 思維升華 思維升華 根據所給數列的前幾項求其通項時 需仔細觀察分析 抓住其幾方面的特征 分式中分子 分母的各自特征 相鄰項的聯系特征 拆項后的各部分特征 符號特征 應多進行對比 分析 從整體到局部多角度觀察 歸納 聯想 根據數列的前幾項 寫出下列各數列的一個通項公式 1 1 7 13 19 解數列中各項的符號可通過 1 n表示 從第2項起 每一項的絕對值總比它的前一項的絕對值大6 故通項公式為an 1 n 6n 5 跟蹤訓練1 解析答案 2 0 8 0 88 0 888 解析答案 解各項的分母分別為21 22 23 24 易看出第2 3 4項的分子分別比分母小3 解析答案 例2設數列 an 的前n項和為Sn 數列 Sn 的前n項和為Tn 滿足Tn 2Sn n2 n N 1 求a1的值 解令n 1時 T1 2S1 1 因為T1 S1 a1 所以a1 2a1 1 所以a1 1 題型二由數列的前n項和求數列的通項公式 解析答案 2 求數列 an 的通項公式 解析答案 思維升華 解n 2時 Tn 1 2Sn 1 n 1 2 則Sn Tn Tn 1 2Sn n2 2Sn 1 n 1 2 2 Sn Sn 1 2n 1 2an 2n 1 因為當n 1時 a1 S1 1也滿足上式 所以Sn 2an 2n 1 n 1 當n 2時 Sn 1 2an 1 2 n 1 1 兩式相減得an 2an 2an 1 2 所以an 2an 1 2 n 2 所以an 2 2 an 1 2 解析答案 思維升華 因為a1 2 3 0 所以數列 an 2 是以3為首項 公比為2的等比數列 所以an 2 3 2n 1 所以an 3 2n 1 2 當n 1時也成立 所以an 3 2n 1 2 思維升華 思維升華 數列的通項an與前n項和Sn的關系是an 當n 1時 a1若適合Sn Sn 1 則n 1的情況可并入n 2時的通項an 當n 1時 a1若不適合Sn Sn 1 則用分段函數的形式表示 解析a4 S4 S3 跟蹤訓練2 解析答案 2 已知數列 an 的前n項和Sn 3n2 2n 1 則其通項公式為 解析當n 1時 a1 S1 3 12 2 1 1 2 當n 2時 an Sn Sn 1 3n2 2n 1 3 n 1 2 2 n 1 1 6n 5 顯然當n 1時 不滿足上式 解析答案 例3 1 設數列 an 中 a1 2 an 1 an n 1 則通項an 解析由題意得 當n 2時 an a1 a2 a1 a3 a2 an an 1 題型三由數列的遞推關系求通項公式 解析答案 2 數列 an 中 a1 1 an 1 3an 2 則它的一個通項公式為an 解析答案 思維升華 解析方法一 累乘法 an 1 3an 2 即an 1 1 3 an 1 解析答案 思維升華 即an 1 2 3n 1 n 1 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也滿足上式 故數列 an 的一個通項公式為an 2 3n 1 1 解析答案 思維升華 方法二 迭代法 an 1 3an 2 即an 1 1 3 an 1 32 an 1 1 33 an 2 1 3n a1 1 2 3n n 1 所以an 2 3n 1 1 n 2 又a1 1也滿足上式 故數列 an 的一個通項公式為an 2 3n 1 1 答案2 3n 1 1 思維升華 思維升華 已知數列的遞推關系 求數列的通項時 通常用累加 累乘 構造法求解 當出現an an 1 m時 構造等差數列 當出現an xan 1 y時 構造等比數列 當出現an an 1 f n 時 用累加法求解 跟蹤訓練3 解析答案 2 已知數列 an 的前n項和為Sn 且Sn 2an 1 n N 則a5 解析當n 1時 S1 2a1 1 a1 1 當n 2時 Sn 1 2an 1 1 an 2an 2an 1 an 2an 1 an 是等比數列且a1 1 q 2 故a5 a1 q4 24 16 16 解析答案 命題點1數列的單調性 1 求數列 bn 的通項公式 解a1 2 an Sn Sn 1 2n 1 n 2 題型四數列的性質 解析答案 2 判斷數列 cn 的增減性 解 cn bn 1 bn 2 b2n 1 cn 1 cn 數列 cn 為遞減數列 解析答案 命題點2數列的周期性 解析答案 解析答案 周期T n 1 n 2 3 a8 a3 2 2 a2 2 命題點3數列的最值 解析答案 思維升華 思維升華 1 解決數列的單調性問題可用以下三種方法 1 用作差比較法 根據an 1 an的符號判斷數列 an 是遞增數列 遞減數列或是常數列 2 用作商比較法 根據 an 0或an 0 與1的大小關系進行判斷 3 結合相應函數的圖象直觀判斷 2 解決數列周期性問題的方法先根據已知條件求出數列的前幾項 確定數列的周期 再根據周期性求值 3 數列的最值可以利用數列的單調性或求函數最值的思想求解 an 為周期數列且T 4 跟蹤訓練4 解析答案 2 設an 3n2 15n 18 則數列 an 中的最大項的值是 由二次函數性質 得當n 2或3時 an最大 最大值為0 0 解析答案 返回 高頻小考點 典例 1 將石子擺成如圖所示的梯形形狀 稱數列5 9 14 20 為 梯形數 根據圖形的構成 此數列的第2014項與5的差 即a2014 5 用式子表示 高頻小考點 5 數列中的新定義問題 思維點撥觀察圖形 易得an an 1 n 2 n 2 可利用累加法求解 解析答案 思維點撥 解析因為an an 1 n 2 n 2 a1 5 所以a2014 a2014 a2013 a2013 a2012 a2 a1 a1 2016 2015 4 5 所以a2014 5 1010 2013 答案1010 2013 思維點撥由 減差數列 的定義 可得關于bn的不等式 把bn的通項公式代入 化歸為不等式恒成立問題求解 溫馨提醒 解析答案 返回 思維點撥 解析由數列b3 b4 b5 是 減差數列 溫馨提醒 解析答案 化簡得t n 2 1 則t的取值范圍是 1 答案 1 溫馨提醒 解決數列的新定義問題要做到 1 準確轉化 解決數列新定義問題時 一定要讀懂新定義的本質含義 將題目所給定義轉化成題目要求的形式 切忌同已有概念或定義相混淆 2 方法選取 對于數列新定義問題 搞清定義是關鍵 仔細認真地從前幾項 特殊處 簡單處 體會題意 從而找到恰當的解決方法 溫馨提醒 返回 思想方法感悟提高 1 求數列通項或指定項 通常用觀察法 對于交錯數列一般用 1 n或 1 n 1來區(qū)分奇偶項的符號 已知數列中的遞推關系 一般只要求寫出數列的前幾項 若求通項可用歸納 猜想和轉化的方法 2 強調an與Sn的關系 an 3 已知遞推關系求通項 對這類問題的要求不高 但試題難度較難把握 一般有兩種常見思路 1 算出前幾項 再歸納 猜想 2 利用累加法或累乘法可求數列的通項公式 4 數列的性質可利用函數思想進行研究 方法與技巧 1 數列an f n 和函數y f x 定義域不同 其單調性也有區(qū)別 y f x 是增函數是an f n 是遞增數列的充分不必要條件 2 數列的通項公式可能不存在 也可能有多個 3 由an Sn Sn 1求得的an是從n 2開始的 要對n 1時的情況進行驗證 失誤與防范 返回 練出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析所給數列呈現分數形式 且正負相間 求通項公式時 我們可以把每一部分進行分解 符號 分母 分子 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若數列 an 的通項公式是an 1 n 3n 2 則a1 a2 a10 解析由題意知 a1 a2 a10 1 4 7 10 1 10 3 10 2 1 4 7 10 1 9 3 9 2 1 10 3 10 2 3 5 15 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 30 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 若數列 an 滿足 a1 19 an 1 an 3 n N 則數列 an 的前n項和數值最大時 n的值為 解析 an 1 an 3 數列 an 是以19為首項 3為公差的等差數列 an 19 n 1 3 22 3n a7 22 21 1 0 a8 22 24 2 0 n 7時 數列 an 的前n項和最大 7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 已知數列 an 的通項公式為an n2 2 n n N 則 1 是 數列 an 為遞增數列 的 條件 解析若數列 an 為遞增數列 則有an 1 an 0 即2n 1 2 對任意的n N 都成立 因此 1 是 數列 an 為遞增數列 的充分不必要條件 充分不必要 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 已知數列 an 的前n項和Sn n2 2n 1 n N 則an 解析當n 2時 an Sn Sn 1 2n 1 當n 1時 a1 S1 4 2 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 數列 an 中 已知a1 1 a2 2 an 1 an an 2 n N 則a7 解析由已知an 1 an an 2 a1 1 a2 2 能夠計算出a3 1 a4 1 a5 2 a6 1 a7 1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 已知數列 an 的前n項和為Sn Sn 2an n 則an 解析當n 1時 S1 a1 2a1 1 得a1 1 當n 2時 an Sn Sn 1 2an n 2an 1 n 1 即an 2an 1 1 an 1 2 an 1 1 數列 an 1 是首項為a1 1 2 公比為2的等比數列 an 1 2 2n 1 2n an 2n 1 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 數列 an 的通項公式是an n2 7n 6 1 這個數列的第4項是多少 解當n 4時 a4 42 4 7 6 6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 150是不是這個數列的項 若是這個數列的項 它是第幾項 解令an 150 即n2 7n 6 150 解得n 16或n 9 舍去 即150是這個數列的第16項 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 該數列從第幾項開始各項都是正數 解令an n2 7n 6 0 解得n 6或n 1 舍去 所以從第7項起各項都是正數 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 求a2 a3 解得a2 3a1 3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求 an 的通項公式 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由題設知a1 1 于是a1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 將以上n個等式兩端分別相乘 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 顯然 當n 1時也滿足上式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5或6 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 a1 a2 an 1 2n 3 n 1 n 2 當n 2時 an 2n 1 n 2n 3 n 1 4n 3 a1 1也適合此等式 an 4n 3 答案an 4n 3 a1 a2 an 2n 1 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 若a 7 求數列 an 中的最大項和最小項的值 可知1 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 an 1 n N 數列 an 中的最大項為a5 2 最小項為a4 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 若對任意的n N 都有an a6成立 求a的取值范圍 已知對任意的n N 都有an a6成立 解析答案 返回