中考數(shù)學(xué)試題分項(xiàng)版解析匯編第01期專題5.3銳角三角形含解析.doc

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專題5.3 銳角三角形 一、單選題 1．如圖，在中，，，，則等于（ ） A. B. C. D. 【來(lái)源】湖北省孝感市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】A 點(diǎn)睛：本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及正弦函數(shù)的定義． 2．的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 【來(lái)源】天津市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接求解即可． 詳解：cos30=． 故選：B． 點(diǎn)睛：本題考查特殊角的三角函數(shù)值的記憶情況．特殊角三角函數(shù)值計(jì)算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，要熟練掌握． 3．一輛小車沿著如圖所示的斜坡向上行駛了100米，其鉛直高度上升了15米．在用科學(xué)計(jì)算器求坡角α的度數(shù)時(shí)，具體按鍵順序是（　?。? A. B. C. D. 【來(lái)源】山東省淄博市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】A 點(diǎn)睛：本題考查了計(jì)算器﹣三角函數(shù)：正確使用計(jì)算器，一般情況下，三角函數(shù)值直接可以求出，已知三角函數(shù)值求角需要用第二功能鍵． 4．如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，則竹竿AB與AD的長(zhǎng)度之比為（　?。? A. B. C. D. 【來(lái)源】浙江省金華市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】B 【解析】分析：在兩個(gè)直角三角形中，分別求出AB、AD即可解決問(wèn)題； 詳解：在Rt△ABC中，AB=， 在Rt△ACD中，AD=， ∴AB：AD=：=， 故選B． 點(diǎn)睛：本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型． 5．如圖，由四個(gè)全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積為49，則 （ ） A. B. C. D. 【來(lái)源】湖南省婁底市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】D 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意求出直角三角形的三邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵. 6．如圖，旗桿及升旗臺(tái)的剖面和教學(xué)樓的剖面在同一平面上，旗桿與地面垂直，在教學(xué)樓底部E點(diǎn)處測(cè)得旗桿頂端的仰角，升旗臺(tái)底部到教學(xué)樓底部的距離米，升旗臺(tái)坡面CD的坡度，坡長(zhǎng)米，若旗桿底部到坡面CD的水平距離米，則旗桿AB的高度約為（ ） （參考數(shù)據(jù)：，，） A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米 【來(lái)源】【全國(guó)省級(jí)聯(lián)考】xx年重慶市中考數(shù)學(xué)試卷（A卷） 【答案】B 【解析】【分析】延長(zhǎng)AB交地面于點(diǎn)H，作CM⊥DE， 易得CM=1.6，DM=1.2，再由tan58=，求得AH長(zhǎng)即可得. 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形，從圖中提取相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵. 二、填空題 7．如圖．一-艘漁船正以60海里/小時(shí)的速度向正東方向航行,在處測(cè)得島礁在東北方向上，繼續(xù)航行1．5小時(shí)后到達(dá)處此時(shí)測(cè)得島礁在北偏東方向,同時(shí)測(cè)得島礁正東方向上的避風(fēng)港在北偏東方向?yàn)榱嗽谂_(tái)風(fēng)到來(lái)之前用最短時(shí)間到達(dá)處,漁船立刻加速以75海里/小時(shí)的速度繼續(xù)航行____________小時(shí)即可到達(dá) (結(jié)果保留根號(hào)) 【來(lái)源】山東省濰坊市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】. 詳解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥AB交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N， 在直角△AQP中，∠PAQ=45，則AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里）， 所以 BQ=PQ-90． 在直角△BPQ中，∠BPQ=30，則BQ=PQ?tan30=PQ（海里）， 所以 PQ-90=PQ， 所以 PQ=45（3+）（海里） 所以 MN=PQ=45（3+）（海里） 在直角△BMN中，∠MBN=30， 所以 BM=2MN=90（3+）（海里） 所以（小時(shí)） 故答案是：． 點(diǎn)睛：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，此題是一道方向角問(wèn)題，結(jié)合航海中的實(shí)際問(wèn)題，將解直角三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想． 8．在△ABC中，∠C=90，若tanA=，則sinB=______． 【來(lái)源】山東省濱州市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】 點(diǎn)睛：此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確表示各邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵． 9．如圖。在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,則的正弦值是__________． 【來(lái)源】山東省德州市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】 點(diǎn)睛：本題考查的是勾股定理以及銳角三角函數(shù)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵． 三、解答題 10．由我國(guó)完全自主設(shè)計(jì)、自主建造的首艘國(guó)產(chǎn)航母于xx年5月成功完成第一次海上試驗(yàn)任務(wù).如圖，航母由西向東航行，到達(dá)處時(shí)，測(cè)得小島位于它的北偏東方向，且與航母相距80海里，再航行一段時(shí)間后到達(dá)B處，測(cè)得小島位于它的北偏東方向.如果航母繼續(xù)航行至小島的正南方向的處，求還需航行的距離的長(zhǎng). （參考數(shù)據(jù)： ，，，，，） 【來(lái)源】四川省成都市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】還需要航行的距離的長(zhǎng)為20.4海里. 點(diǎn)睛：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問(wèn)題，三角函數(shù)的應(yīng)用；求出CD的長(zhǎng)度是解決問(wèn)題的關(guān)鍵． 11．某游樂(lè)場(chǎng)一轉(zhuǎn)角滑梯如圖所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，點(diǎn)E在線段BD上，在C點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)A的仰角為30，點(diǎn)E的俯角也為30，測(cè)得B、E間距離為10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高（結(jié)果保留根號(hào)） 【來(lái)源】四川省宜賓市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】立柱CD的高為（15﹣）米． 【解析】分析：作CH⊥AB于H，得到 BD=CH，設(shè)CD=x米，根據(jù)正切的定義分別用x表示出HC、ED，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程即可． 詳解：作CH⊥AB于H， 則四邊形HBDC為矩形， ∴BD=CH， 由題意得，∠ACH=30，∠CED=30， 點(diǎn)睛：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的概念、仰角俯角的定義是解題的關(guān)鍵． 12．圖1是一種折疊門，由上下軌道和兩扇長(zhǎng)寬相等的活頁(yè)門組成，整個(gè)活頁(yè)門的右軸固定在門框 上，通過(guò)推動(dòng)左側(cè)活頁(yè)門開關(guān)；圖2是其俯視圖簡(jiǎn)化示意圖，已知軌道 ,兩扇活頁(yè)門的寬 ,點(diǎn)固定，當(dāng)點(diǎn)在上左右運(yùn)動(dòng)時(shí)，與的長(zhǎng)度不變(所有結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位). (1)若,求的長(zhǎng)； (2)當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)60時(shí)，求點(diǎn)在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng). （參考數(shù)據(jù)：sin50≈0.77, cos50≈0.64, tan50≈1.19, π取3.14） 圖1 圖2 【來(lái)源】江西省xx年中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題 【答案】（1）43.2cm. （2）62.8cm. 【解析】【分析】（1）如圖，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中， 由cos∠OBC= ，求得BH的長(zhǎng)，再根據(jù)AC=AB－2BH即可求得AC的長(zhǎng)； （2）由題意可知△OBC是等邊三角形，由此即可求出弧OC的長(zhǎng)，即點(diǎn)O在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng). 【詳解】（1）如圖，作OH⊥AB于H， （2）∵AC=60，∴BC=60 ， ∵OC=OB=60， ∴OC=OB=BC=60 ， ∴△OBC是等邊三角形， ∴的長(zhǎng)==2 =62.8， ∴點(diǎn)O在此過(guò)程中運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)約為62.8cm. 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長(zhǎng)公式等，結(jié)合題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵. 13．問(wèn)題呈現(xiàn) 如圖1，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點(diǎn)、和、，與相交于點(diǎn)，求的值. 方法歸納 求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問(wèn)題中不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問(wèn)題.比如連接格點(diǎn)、，可得，則，連接，那么就變換到中. 問(wèn)題解決 （1）直接寫出圖1中的值為_________； （2）如圖2，在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中，與相交于點(diǎn)，求的值； 思維拓展 （3）如圖3，，，點(diǎn)在上，且，延長(zhǎng)到，使，連接交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求的度數(shù). 【來(lái)源】江蘇省揚(yáng)州市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】（1）見解析；（2）；（3） 詳解： （1）如圖進(jìn)行構(gòu)造 由勾股定理得：DM=，MN=,DN= ∵()2+()2=()2 ∴DM2+MN2=DN2 ∴△DMN是直角三角形. ∵M(jìn)N∥EC ∴∠CPN=∠DNM, ∵tan∠DNM=, ∴=2. 點(diǎn)睛：本題考查了非直角三角形中銳角三角函數(shù)值的求法. 求一個(gè)銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個(gè)直角三角形是解題的關(guān)鍵. 14．如圖，為了測(cè)量建筑物的高度，在處樹立標(biāo)桿，標(biāo)桿的高是.在上選取觀測(cè)點(diǎn)、，從測(cè)得標(biāo)桿和建筑物的頂部、的仰角分別為、，從測(cè)得、的仰角分別為、.求建筑物的高度（精確到） . （參考數(shù)據(jù)：，，.） 【來(lái)源】江蘇省南京市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】建筑物的高度約為. 【解析】分析：在中,用三角函數(shù)表示DE的長(zhǎng)度, 在中，用三角函數(shù)表示出DF的長(zhǎng)度,從而得到,同理得,建立等量關(guān)系,求出即可. 詳解： 在中，， 點(diǎn)睛：此題主要考查了仰角與俯角問(wèn)題，根構(gòu)造兩個(gè)直角三角形求解．考查了學(xué)生讀圖構(gòu)造關(guān)系的能力. 15．如圖是某市一座人行天橋的示意圖，天橋離地面的高是米，坡面的傾斜角，在距點(diǎn)米處有一建筑物.為了方便行人推車過(guò)天橋，市政府部門決定降低坡度，使新坡面的傾斜角，若新坡面下處與建筑物之間需留下至少米寬的人行道，問(wèn)該建筑物是否需要拆除（計(jì)算最后結(jié)果保留一位小數(shù)）. （參考數(shù)據(jù)：，） 【來(lái)源】貴州省安順市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】該建筑物需要拆除. 【解析】分析：根據(jù)正切的定義分別求出AB、DB的長(zhǎng)，結(jié)合圖形求出DH，比較即可． 詳解：由題意得，米，米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴ （米）， ∵米米， ∴該建筑物需要拆除. 點(diǎn)睛：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵． 16．隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高，中國(guó)高鐵正迅速崛起.高鐵大大縮短了時(shí)空距離，改變了人們的出行方式.如圖，，兩地被大山阻隔，由地到地需要繞行地，若打通穿山隧道，建成，兩地的直達(dá)高鐵，可以縮短從地到地的路程.已知：，，公里，求隧道打通后與打通前相比，從地到地的路程將約縮短多少公里？（參考數(shù)據(jù)：，） 【來(lái)源】xx年甘肅省武威市（涼州區(qū)）中考數(shù)學(xué)試題 【答案】隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里． 答：隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里． 【點(diǎn)評(píng)】考查解直角三角形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵. 17．如圖,兩座建筑物的水平距離為.從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的仰角為53 ,從點(diǎn)測(cè)得點(diǎn)的俯角為37 ,求兩座建筑物的高度(參考數(shù)據(jù): 【來(lái)源】山東省德州市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】建筑物的高度為.建筑物的高度為. 【解析】分析：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于于E，則DE=BC=60m．在Rt△ABC中，求出AB．在Rt△ADE中求出AE即可解決問(wèn)題． 點(diǎn)睛：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 18．如圖1，滑動(dòng)調(diào)節(jié)式遮陽(yáng)傘的立柱垂直于地面，為立柱上的滑動(dòng)調(diào)節(jié)點(diǎn)，傘體的截面示意圖為，為中點(diǎn)，，，，.當(dāng)點(diǎn)位于初始位置時(shí)，點(diǎn)與重合（圖2）.根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)太陽(yáng)光線與垂直時(shí)，遮陽(yáng)效果最佳. （1）上午10:00時(shí)，太陽(yáng)光線與地面的夾角為（圖3），為使遮陽(yáng)效果最佳，點(diǎn)需從上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到） （2）中午12:00時(shí)，太陽(yáng)光線與地面垂直（圖4），為使遮陽(yáng)效果最佳，點(diǎn)在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到） （參考數(shù)據(jù)：，，，，） 【來(lái)源】xx年浙江省舟山市中考數(shù)學(xué)試題 【答案】（1）點(diǎn)需從上調(diào)；（2）點(diǎn)在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào). 【解答】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)位于初始位置時(shí)，. 如圖3，10:00時(shí)，太陽(yáng)光線與地面的夾角為，點(diǎn)上調(diào)至處， ，，∴， ∴. ∵，∴. ∵，∴， ∴為等腰直角三角形，∴， ∴， 即點(diǎn)需從上調(diào). 【點(diǎn)評(píng)】考查等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練運(yùn)用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.可以數(shù)形結(jié)合. 19．為了測(cè)量豎直旗桿AB的高度，某綜合實(shí)踐小組在地面D處豎直放置標(biāo)桿CD，并在地面上水平放置個(gè)平面鏡E，使得B，E，D在同一水平線上，如圖所示.該小組在標(biāo)桿的F處通過(guò)平面鏡E恰好觀測(cè)到旗桿頂A(此時(shí)∠AEB=∠FED).在F處測(cè)得旗桿頂A的仰角為39.3，平面鏡E的俯角為45，F(xiàn)D=1.8米，問(wèn)旗桿AB的高度約為多少米? (結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：tan39.3≈0.82，tan84.3≈10.02) 【來(lái)源】安徽省xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】旗桿AB高約18米. 答：旗桿AB高約18米. 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，得到是解題的關(guān)鍵. 20．“五?一”期間，小明到小陳家所在的美麗鄉(xiāng)村游玩，在村頭A處小明接到小陳發(fā)來(lái)的定位，發(fā)現(xiàn)小陳家C在自己的北偏東45方向，于是沿河邊筆直的綠道l步行200米到達(dá)B處，這時(shí)定位顯示小陳家C在自己的北偏東30方向，如圖所示，根據(jù)以上信息和下面的對(duì)話，請(qǐng)你幫小明算一算他還需沿綠道繼續(xù)直走多少米才能到達(dá)橋頭D處（精確到1米）（備用數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732） 【來(lái)源】浙江省衢州市xx年中考數(shù)學(xué)試卷 【答案】小明還需沿綠道繼續(xù)直走73米才能到達(dá)橋頭D處． 【解析】分析：根據(jù)題意表示出AD，DC的長(zhǎng)，進(jìn)而得出等式求出答案． 詳解：如圖所示： 答：小明還需沿綠道繼續(xù)直走73米才能到達(dá)橋頭D處． 點(diǎn)睛：本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出AD=DC是解題的關(guān)鍵． 21．如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離為，從甲的頂部處測(cè)得乙的頂部處的俯角為，測(cè)得底部處的俯角為，求甲、乙建筑物的高度和（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：，. 【來(lái)源】天津市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為. 【解析】分析：首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形；本題涉及兩個(gè)直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式，進(jìn)而可求出答案． 詳解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，垂足為. 在中，， ∴. ∴ . ∴. 答：甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為. 點(diǎn)睛：本題考查解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問(wèn)題，首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題，難度一般． 22．如圖1，窗框和窗扇用“滑塊鉸鏈”連接.圖3是圖2中“滑塊鉸鏈”的平面示意圖，滑軌安裝在窗框上，托懸臂安裝在窗扇上，交點(diǎn)處裝有滑塊，滑塊可以左右滑動(dòng)，支點(diǎn)，，始終在一直線上，延長(zhǎng)交于點(diǎn).已知，，. （1）窗扇完全打開，張角，求此時(shí)窗扇與窗框的夾角的度數(shù). （2）窗扇部分打開，張角，求此時(shí)點(diǎn)，之間的距離（精確到）. （參考數(shù)據(jù)：，） 【來(lái)源】xx年浙江省紹興市中考數(shù)學(xué)試卷解析 【答案】（1）；（2）. 【解答】（1）∵，， ∴四邊形是平行四邊形， ∴， ∴. （2）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， ∵， 【點(diǎn)評(píng)】考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，注意輔助線的作法. 23．如圖，長(zhǎng)沙九龍倉(cāng)國(guó)際金融中心主樓高達(dá)，是目前湖南省第一高樓，和它處于同一水平面上的第二高樓高，為了測(cè)量高樓上發(fā)射塔的高度，在樓底端點(diǎn)測(cè)得的仰角為α，，在頂端E測(cè)得A的仰角為，求發(fā)射塔的高度. 【來(lái)源】湖南省婁底市xx年中考數(shù)學(xué)試題 【答案】AB的高度為28米 【解析】【分析】設(shè)AB的高度為x米，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AC于F，則FC＝DE＝340米，繼而可得BF＝112米，從而可得AF＝（112+x）米，在Rt△AEF中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EF＝AF＝CD＝（112+x）米，Rt△ACD中，由sinａ= ，可得tanａ= ，再由tanａ＝得到關(guān)于x的方程，解方程即可求得AB的長(zhǎng). 答：發(fā)射塔AB的高度是28米.. 【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中整理出直角三角形并正確的利用邊角關(guān)系求解．