中考數(shù)學試題分項版解析匯編第01期專題5.3銳角三角形含解析.doc

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專題5.3 銳角三角形 一、單選題 1．如圖，在中，，，，則等于（ ） A. B. C. D. 【來源】湖北省孝感市xx年中考數(shù)學試題 【答案】A 點睛：本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及正弦函數(shù)的定義． 2．的值等于（ ） A. B. C. 1 D. 【來源】天津市xx年中考數(shù)學試題 【答案】B 【解析】分析：根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值直接求解即可． 詳解：cos30=． 故選：B． 點睛：本題考查特殊角的三角函數(shù)值的記憶情況．特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，要熟練掌握． 3．一輛小車沿著如圖所示的斜坡向上行駛了100米，其鉛直高度上升了15米．在用科學計算器求坡角α的度數(shù)時，具體按鍵順序是（　　） A. B. C. D. 【來源】山東省淄博市xx年中考數(shù)學試題 【答案】A 點睛：本題考查了計算器﹣三角函數(shù)：正確使用計算器，一般情況下，三角函數(shù)值直接可以求出，已知三角函數(shù)值求角需要用第二功能鍵． 4．如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，則竹竿AB與AD的長度之比為（　?。? A. B. C. D. 【來源】浙江省金華市xx年中考數(shù)學試題 【答案】B 【解析】分析：在兩個直角三角形中，分別求出AB、AD即可解決問題； 詳解：在Rt△ABC中，AB=， 在Rt△ACD中，AD=， ∴AB：AD=：=， 故選B． 點睛：本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型． 5．如圖，由四個全等的直角三角形圍成的大正方形的面積是169，小正方形的面積為49，則 （ ） A. B. C. D. 【來源】湖南省婁底市xx年中考數(shù)學試題 【答案】D 【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意求出直角三角形的三邊長是解題的關(guān)鍵. 6．如圖，旗桿及升旗臺的剖面和教學樓的剖面在同一平面上，旗桿與地面垂直，在教學樓底部E點處測得旗桿頂端的仰角，升旗臺底部到教學樓底部的距離米，升旗臺坡面CD的坡度，坡長米，若旗桿底部到坡面CD的水平距離米，則旗桿AB的高度約為（ ） （參考數(shù)據(jù)：，，） A. 12.6米 B. 13.1米 C. 14.7米 D. 16.3米 【來源】【全國省級聯(lián)考】xx年重慶市中考數(shù)學試卷（A卷） 【答案】B 【解析】【分析】延長AB交地面于點H，作CM⊥DE， 易得CM=1.6，DM=1.2，再由tan58=，求得AH長即可得. 【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線構(gòu)造直角三角形，從圖中提取相關(guān)信息是解題的關(guān)鍵. 二、填空題 7．如圖．一-艘漁船正以60海里/小時的速度向正東方向航行,在處測得島礁在東北方向上，繼續(xù)航行1．5小時后到達處此時測得島礁在北偏東方向,同時測得島礁正東方向上的避風港在北偏東方向為了在臺風到來之前用最短時間到達處,漁船立刻加速以75海里/小時的速度繼續(xù)航行____________小時即可到達 (結(jié)果保留根號) 【來源】山東省濰坊市xx年中考數(shù)學試題 【答案】. 詳解：如圖，過點P作PQ⊥AB交AB延長線于點Q，過點M作MN⊥AB交AB延長線于點N， 在直角△AQP中，∠PAQ=45，則AQ=PQ=601.5+BQ=90+BQ（海里）， 所以 BQ=PQ-90． 在直角△BPQ中，∠BPQ=30，則BQ=PQ?tan30=PQ（海里）， 所以 PQ-90=PQ， 所以 PQ=45（3+）（海里） 所以 MN=PQ=45（3+）（海里） 在直角△BMN中，∠MBN=30， 所以 BM=2MN=90（3+）（海里） 所以（小時） 故答案是：． 點睛：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，此題是一道方向角問題，結(jié)合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關(guān)知識有機結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學應(yīng)用于實際生活的思想． 8．在△ABC中，∠C=90，若tanA=，則sinB=______． 【來源】山東省濱州市xx年中考數(shù)學試題 【答案】 點睛：此題主要考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確表示各邊長是解題關(guān)鍵． 9．如圖。在的正方形方格圖形中，小正方形的頂點稱為格點.的頂點都在格點上,則的正弦值是__________． 【來源】山東省德州市xx年中考數(shù)學試題 【答案】 點睛：本題考查的是勾股定理以及銳角三角函數(shù)，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關(guān)鍵． 三、解答題 10．由我國完全自主設(shè)計、自主建造的首艘國產(chǎn)航母于xx年5月成功完成第一次海上試驗任務(wù).如圖，航母由西向東航行，到達處時，測得小島位于它的北偏東方向，且與航母相距80海里，再航行一段時間后到達B處，測得小島位于它的北偏東方向.如果航母繼續(xù)航行至小島的正南方向的處，求還需航行的距離的長. （參考數(shù)據(jù)： ，，，，，） 【來源】四川省成都市xx年中考數(shù)學試題 【答案】還需要航行的距離的長為20.4海里. 點睛：此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，三角函數(shù)的應(yīng)用；求出CD的長度是解決問題的關(guān)鍵． 11．某游樂場一轉(zhuǎn)角滑梯如圖所示，滑梯立柱AB、CD均垂直于地面，點E在線段BD上，在C點測得點A的仰角為30，點E的俯角也為30，測得B、E間距離為10米，立柱AB高30米．求立柱CD的高（結(jié)果保留根號） 【來源】四川省宜賓市xx年中考數(shù)學試題 【答案】立柱CD的高為（15﹣）米． 【解析】分析：作CH⊥AB于H，得到 BD=CH，設(shè)CD=x米，根據(jù)正切的定義分別用x表示出HC、ED，根據(jù)正切的定義列出方程，解方程即可． 詳解：作CH⊥AB于H， 則四邊形HBDC為矩形， ∴BD=CH， 由題意得，∠ACH=30，∠CED=30， 點睛：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握銳角三角函數(shù)的概念、仰角俯角的定義是解題的關(guān)鍵． 12．圖1是一種折疊門，由上下軌道和兩扇長寬相等的活頁門組成，整個活頁門的右軸固定在門框 上，通過推動左側(cè)活頁門開關(guān)；圖2是其俯視圖簡化示意圖，已知軌道 ,兩扇活頁門的寬 ,點固定，當點在上左右運動時，與的長度不變(所有結(jié)果保留小數(shù)點后一位). (1)若,求的長； (2)當點從點向右運動60時，求點在此過程中運動的路徑長. （參考數(shù)據(jù)：sin50≈0.77, cos50≈0.64, tan50≈1.19, π取3.14） 圖1 圖2 【來源】江西省xx年中等學校招生考試數(shù)學試題 【答案】（1）43.2cm. （2）62.8cm. 【解析】【分析】（1）如圖，作OH⊥AB于H，在Rt△OBH中， 由cos∠OBC= ，求得BH的長，再根據(jù)AC=AB－2BH即可求得AC的長； （2）由題意可知△OBC是等邊三角形，由此即可求出弧OC的長，即點O在此過程中運動的路徑長. 【詳解】（1）如圖，作OH⊥AB于H， （2）∵AC=60，∴BC=60 ， ∵OC=OB=60， ∴OC=OB=BC=60 ， ∴△OBC是等邊三角形， ∴的長==2 =62.8， ∴點O在此過程中運動的路徑長約為62.8cm. 【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、弧長公式等，結(jié)合題意正確畫出圖形是解題的關(guān)鍵. 13．問題呈現(xiàn) 如圖1，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，連接格點、和、，與相交于點，求的值. 方法歸納 求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個直角三角形.觀察發(fā)現(xiàn)問題中不在直角三角形中，我們常常利用網(wǎng)格畫平行線等方法解決此類問題.比如連接格點、，可得，則，連接，那么就變換到中. 問題解決 （1）直接寫出圖1中的值為_________； （2）如圖2，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，與相交于點，求的值； 思維拓展 （3）如圖3，，，點在上，且，延長到，使，連接交的延長線于點，用上述方法構(gòu)造網(wǎng)格求的度數(shù). 【來源】江蘇省揚州市xx年中考數(shù)學試題 【答案】（1）見解析；（2）；（3） 詳解： （1）如圖進行構(gòu)造 由勾股定理得：DM=，MN=,DN= ∵()2+()2=()2 ∴DM2+MN2=DN2 ∴△DMN是直角三角形. ∵MN∥EC ∴∠CPN=∠DNM, ∵tan∠DNM=, ∴=2. 點睛：本題考查了非直角三角形中銳角三角函數(shù)值的求法. 求一個銳角的三角函數(shù)值，我們往往需要找出（或構(gòu)造出）一個直角三角形是解題的關(guān)鍵. 14．如圖，為了測量建筑物的高度，在處樹立標桿，標桿的高是.在上選取觀測點、，從測得標桿和建筑物的頂部、的仰角分別為、，從測得、的仰角分別為、.求建筑物的高度（精確到） . （參考數(shù)據(jù)：，，.） 【來源】江蘇省南京市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】建筑物的高度約為. 【解析】分析：在中,用三角函數(shù)表示DE的長度, 在中，用三角函數(shù)表示出DF的長度,從而得到,同理得,建立等量關(guān)系,求出即可. 詳解： 在中，， 點睛：此題主要考查了仰角與俯角問題，根構(gòu)造兩個直角三角形求解．考查了學生讀圖構(gòu)造關(guān)系的能力. 15．如圖是某市一座人行天橋的示意圖，天橋離地面的高是米，坡面的傾斜角，在距點米處有一建筑物.為了方便行人推車過天橋，市政府部門決定降低坡度，使新坡面的傾斜角，若新坡面下處與建筑物之間需留下至少米寬的人行道，問該建筑物是否需要拆除（計算最后結(jié)果保留一位小數(shù)）. （參考數(shù)據(jù)：，） 【來源】貴州省安順市xx年中考數(shù)學試題 【答案】該建筑物需要拆除. 【解析】分析：根據(jù)正切的定義分別求出AB、DB的長，結(jié)合圖形求出DH，比較即可． 詳解：由題意得，米，米， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴ （米）， ∵米米， ∴該建筑物需要拆除. 點睛：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義、熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵． 16．隨著中國經(jīng)濟的快速發(fā)展以及科技水平的飛速提高，中國高鐵正迅速崛起.高鐵大大縮短了時空距離，改變了人們的出行方式.如圖，，兩地被大山阻隔，由地到地需要繞行地，若打通穿山隧道，建成，兩地的直達高鐵，可以縮短從地到地的路程.已知：，，公里，求隧道打通后與打通前相比，從地到地的路程將約縮短多少公里？（參考數(shù)據(jù)：，） 【來源】xx年甘肅省武威市（涼州區(qū)）中考數(shù)學試題 【答案】隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里． 答：隧道打通后與打通前相比，從A地到B地的路程將約縮短224公里． 【點評】考查解直角三角形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵. 17．如圖,兩座建筑物的水平距離為.從點測得點的仰角為53 ,從點測得點的俯角為37 ,求兩座建筑物的高度(參考數(shù)據(jù): 【來源】山東省德州市xx年中考數(shù)學試題 【答案】建筑物的高度為.建筑物的高度為. 【解析】分析：過點D作DE⊥AB于于E，則DE=BC=60m．在Rt△ABC中，求出AB．在Rt△ADE中求出AE即可解決問題． 點睛：本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 18．如圖1，滑動調(diào)節(jié)式遮陽傘的立柱垂直于地面，為立柱上的滑動調(diào)節(jié)點，傘體的截面示意圖為，為中點，，，，.當點位于初始位置時，點與重合（圖2）.根據(jù)生活經(jīng)驗，當太陽光線與垂直時，遮陽效果最佳. （1）上午10:00時，太陽光線與地面的夾角為（圖3），為使遮陽效果最佳，點需從上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到） （2）中午12:00時，太陽光線與地面垂直（圖4），為使遮陽效果最佳，點在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào)多少距離？（結(jié)果精確到） （參考數(shù)據(jù)：，，，，） 【來源】xx年浙江省舟山市中考數(shù)學試題 【答案】（1）點需從上調(diào)；（2）點在（1）的基礎(chǔ)上還需上調(diào). 【解答】（1）如圖2，當點位于初始位置時，. 如圖3，10:00時，太陽光線與地面的夾角為，點上調(diào)至處， ，，∴， ∴. ∵，∴. ∵，∴， ∴為等腰直角三角形，∴， ∴， 即點需從上調(diào). 【點評】考查等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，熟練運用三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.可以數(shù)形結(jié)合. 19．為了測量豎直旗桿AB的高度，某綜合實踐小組在地面D處豎直放置標桿CD，并在地面上水平放置個平面鏡E，使得B，E，D在同一水平線上，如圖所示.該小組在標桿的F處通過平面鏡E恰好觀測到旗桿頂A(此時∠AEB=∠FED).在F處測得旗桿頂A的仰角為39.3，平面鏡E的俯角為45，F(xiàn)D=1.8米，問旗桿AB的高度約為多少米? (結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：tan39.3≈0.82，tan84.3≈10.02) 【來源】安徽省xx年中考數(shù)學試題 【答案】旗桿AB高約18米. 答：旗桿AB高約18米. 【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，得到是解題的關(guān)鍵. 20．“五?一”期間，小明到小陳家所在的美麗鄉(xiāng)村游玩，在村頭A處小明接到小陳發(fā)來的定位，發(fā)現(xiàn)小陳家C在自己的北偏東45方向，于是沿河邊筆直的綠道l步行200米到達B處，這時定位顯示小陳家C在自己的北偏東30方向，如圖所示，根據(jù)以上信息和下面的對話，請你幫小明算一算他還需沿綠道繼續(xù)直走多少米才能到達橋頭D處（精確到1米）（備用數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732） 【來源】浙江省衢州市xx年中考數(shù)學試卷 【答案】小明還需沿綠道繼續(xù)直走73米才能到達橋頭D處． 【解析】分析：根據(jù)題意表示出AD，DC的長，進而得出等式求出答案． 詳解：如圖所示： 答：小明還需沿綠道繼續(xù)直走73米才能到達橋頭D處． 點睛：本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出AD=DC是解題的關(guān)鍵． 21．如圖，甲、乙兩座建筑物的水平距離為，從甲的頂部處測得乙的頂部處的俯角為，測得底部處的俯角為，求甲、乙建筑物的高度和（結(jié)果取整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：，. 【來源】天津市xx年中考數(shù)學試題 【答案】甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為. 【解析】分析：首先分析圖形：根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形；本題涉及兩個直角三角形，應(yīng)利用其公共邊構(gòu)造關(guān)系式，進而可求出答案． 詳解：如圖，過點作，垂足為. 在中，， ∴. ∴ . ∴. 答：甲建筑物的高度約為，乙建筑物的高度約為. 點睛：本題考查解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問題，首先構(gòu)造直角三角形，再借助角邊關(guān)系、三角函數(shù)的定義解題，難度一般． 22．如圖1，窗框和窗扇用“滑塊鉸鏈”連接.圖3是圖2中“滑塊鉸鏈”的平面示意圖，滑軌安裝在窗框上，托懸臂安裝在窗扇上，交點處裝有滑塊，滑塊可以左右滑動，支點，，始終在一直線上，延長交于點.已知，，. （1）窗扇完全打開，張角，求此時窗扇與窗框的夾角的度數(shù). （2）窗扇部分打開，張角，求此時點，之間的距離（精確到）. （參考數(shù)據(jù)：，） 【來源】xx年浙江省紹興市中考數(shù)學試卷解析 【答案】（1）；（2）. 【解答】（1）∵，， ∴四邊形是平行四邊形， ∴， ∴. （2）如圖，過點作于點， ∵， 【點評】考查平行四邊形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，解直角三角形等，注意輔助線的作法. 23．如圖，長沙九龍倉國際金融中心主樓高達，是目前湖南省第一高樓，和它處于同一水平面上的第二高樓高，為了測量高樓上發(fā)射塔的高度，在樓底端點測得的仰角為α，，在頂端E測得A的仰角為，求發(fā)射塔的高度. 【來源】湖南省婁底市xx年中考數(shù)學試題 【答案】AB的高度為28米 【解析】【分析】設(shè)AB的高度為x米，過點E作EF⊥AC于F，則FC＝DE＝340米，繼而可得BF＝112米，從而可得AF＝（112+x）米，在Rt△AEF中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得EF＝AF＝CD＝（112+x）米，Rt△ACD中，由sinａ= ，可得tanａ= ，再由tanａ＝得到關(guān)于x的方程，解方程即可求得AB的長. 答：發(fā)射塔AB的高度是28米.. 【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是從題目中整理出直角三角形并正確的利用邊角關(guān)系求解．