2020版高中數(shù)學(xué) 第一章 解三角形 1.2 應(yīng)用舉例（第1課時(shí)）高度、距離問題學(xué)案（含解析）新人教B版必修5.docx

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第1課時(shí)　高度、距離問題 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.會(huì)用正弦、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中有關(guān)不可到達(dá)點(diǎn)距離的測量問題.2.培養(yǎng)提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力． 知識點(diǎn)一　實(shí)際應(yīng)用問題中的有關(guān)術(shù)語 1．鉛垂平面 與地面垂直的平面． 2．仰角和俯角 與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角．目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角，如圖所示． 3．視角 觀察物體時(shí)，從物體兩端引出的光線在人眼光心處形成的角． 知識點(diǎn)二　測量方案 測量某個(gè)量的方法有很多，但是在實(shí)際背景下，有些方法可能沒法實(shí)施，比如直接測量某樓高．這個(gè)時(shí)候就需要設(shè)計(jì)方案繞開障礙間接地達(dá)到目的．設(shè)計(jì)測量方案的基本任務(wù)是把目標(biāo)量轉(zhuǎn)化為可測量的量，并盡可能提高精確度．一般來說，基線越長，精確度越高． 1．已知三角形的三個(gè)角，能夠求其三條邊．(　　) 2．兩點(diǎn)間不可通又不可視問題的測量方案實(shí)質(zhì)是構(gòu)造已知兩邊及夾角的三角形并求解．(　√　) 3．兩點(diǎn)間可視但不可到達(dá)問題的測量方案實(shí)質(zhì)是構(gòu)造已知兩角及一邊的三角形并求解．(　√　) 題型一　測量高度問題 例1　如圖所示，D，C，B在地平面同一直線上，DC＝10m，從D，C兩地測得A點(diǎn)的仰角分別為30和45，則A點(diǎn)離地面的高AB等于(　　) A．10m B．5m C．5(－1) m D．5(＋1) m 答案　D 解析　方法一　設(shè)AB＝xm，則BC＝xm. ∴BD＝(10＋x)m. ∴tan∠ADB＝＝＝. 解得x＝5(＋1)． ∴A點(diǎn)離地面的高AB等于5(＋1)m. 方法二　∵∠ACB＝45，∴∠ACD＝135， ∴∠CAD＝180－135－30＝15. 由正弦定理，得AC＝sin∠ADC ＝sin30＝m， ∴AB＝ACsin45＝5(＋1)m. 反思感悟　利用正弦、余弦定理來解決實(shí)際問題時(shí)，要從所給的實(shí)際背景中，進(jìn)行加工、提煉，抓住本質(zhì)，抽象出數(shù)學(xué)模型，使之轉(zhuǎn)化為解三角形問題． 跟蹤訓(xùn)練1　江岸邊有一炮臺(tái)C高30m，江中有兩條船B，A，船與炮臺(tái)底部D在同一直線上，由炮臺(tái)頂部測得俯角分別為45和30，則兩條船相距________m. 答案　30(－1) 解析　在△ABC中，由題意可知AC＝＝60(m)， BC＝＝30(m)，∠ACB＝15， AB2＝(30)2＋602－23060cos15＝1800(2－)， 所以AB＝30(－1)m. 題型二　測量距離問題 例2　如圖，為測量河對岸A，B兩點(diǎn)的距離，在河的這邊測出CD的長為km，∠ADB＝∠CDB＝30，∠ACD＝60，∠ACB＝45，求A，B兩點(diǎn)間的距離． 解　在△BCD中，∠CBD＝180－30－105＝45， 由正弦定理得＝， 則BC＝＝(km)． 在△ACD中，∠CAD＝180－60－60＝60， ∴△ACD為正三角形， ∴AC＝CD＝(km)． 在△ABC中，由余弦定理得 AB2＝AC2＋BC2－2ACBCcos 45 ＝＋－2＝， ∴AB＝(km)． ∴河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離為km. 反思感悟　測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，一般是把求距離問題轉(zhuǎn)化為應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長問題，然后把求未知的另外邊長問題轉(zhuǎn)化為只有一點(diǎn)不能到達(dá)的兩點(diǎn)距離測量問題，運(yùn)用正弦定理解決． 跟蹤訓(xùn)練2　要測量河對岸兩地A，B之間的距離，在岸邊選取相距100米的C，D兩點(diǎn)，并測得∠ACB＝75，∠BCD＝45，∠ADC＝30，∠ADB＝45(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求A，B兩地的距離． 解　如圖在△ACD中，∠CAD＝180－(120＋30)＝30， ∴AC＝CD＝100(米)． 在△BCD中，∠CBD＝180－(45＋75)＝60， 由正弦定理得BC＝＝200sin 75(米)． 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝(100)2＋(200sin 75)2－2100200sin 75cos 75 ＝1002 ＝10025， ∴AB＝100(米)． ∴河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離為100米． 三角測量中的數(shù)學(xué)抽象 典例　如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.山路AC長為1260m，經(jīng)測量，cosA＝，cosC＝.求索道AB的長． 解　在△ABC中，因?yàn)閏os A＝，cos C＝， 所以sin A＝，sin C＝. 從而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C ＝＋＝. 由＝，得AB＝sin C＝＝1 040(m)． 所以索道AB的長為1 040 m. [素養(yǎng)評析]　數(shù)學(xué)抽象指舍去事物的一切物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象．在本例中，我們舍去A，B，C三處的景致、海拔、經(jīng)度、緯度等非本質(zhì)屬性，得到純粹的三個(gè)點(diǎn)，舍掉步行、乘纜車、速度等表征，直接抽象出線段AC，AB的長，都屬于數(shù)學(xué)抽象. 1．如圖，在河岸AC上測量河的寬度BC，測量下列四組數(shù)據(jù)，較適宜的是 (　　) A．a(chǎn)，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ 答案　D 解析　由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC.故選D. 2．如圖所示，設(shè)A，B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測量者與A在河的同側(cè)，在A所在的河岸邊先確定一點(diǎn)C，測出A，C的距離為50m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，可以計(jì)算出A，B兩點(diǎn)的距離為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．50m B．50m C．25m D.m 答案　A 解析　∠ABC＝180－45－105＝30，在△ABC中，由＝，得AB＝100＝50 m. 3．如圖，某人向正東方向走了x千米，然后向右轉(zhuǎn)120，再朝新方向走了3千米，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好千米，那么x的值是________． 答案　4 解析　由余弦定理，得x2＋9－3x＝13， 整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4(舍負(fù))． 4．如圖，為了測量A，C兩點(diǎn)間的距離，選取同一平面上B，D兩點(diǎn)，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，A，B，C，D四點(diǎn)共圓，則AC的長為________km. 答案　7 解析　因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共圓，所以D＋B＝π. 在△ABC和△ADC中， 由余弦定理可得82＋52－285cos(π－D) ＝32＋52－235cos D， 整理得cos D＝－， 代入得AC2＝32＋52－235＝49，故AC＝7. 1．運(yùn)用正弦定理就能測量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”，而測量“兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”要綜合運(yùn)用正弦定理和余弦定理．測量“一個(gè)可到達(dá)點(diǎn)與一個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”是測量“兩個(gè)不可到達(dá)點(diǎn)間的距離”的基礎(chǔ)，這兩類測量距離的題型間既有聯(lián)系又有區(qū)別． 2．正弦、余弦定理在實(shí)際測量中的應(yīng)用的一般步驟 (1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖． (2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型． (3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解． (4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解. 一、選擇題 1．海上有A，B兩個(gè)小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，則B，C間的距離是(　　) A．10nmile B.nmile C．5nmile D．5nmile 答案　D 解析　在△ABC中，C＝180－60－75＝45. 由正弦定理得＝，∴＝， 解得BC＝5 (nmile)． 2.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測得AC的長度為4m，∠A＝30，則其跨度AB的長為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．12mB．8mC．3mD．4m 答案　D 解析　由題意知，∠A＝∠B＝30， 所以∠C＝180－30－30＝120， 由正弦定理，得＝， 即AB＝＝＝4. 3．在某個(gè)位置測得某山峰仰角為θ，對著山峰在地面上前進(jìn)600m后測得仰角為2θ，繼續(xù)在地面上前進(jìn)200m以后測得山峰的仰角為4θ，則該山峰的高度為(　　) A．200mB．300mC．400mD．100m 答案　B 解析　方法一　如圖，△BED，△BDC為等腰三角形， BD＝ED＝600 m，BC＝DC＝200 m. 在△BCD中，由余弦定理可得 cos 2θ＝＝， 又∵0＜2θ＜180， ∴2θ＝30，4θ＝60. 在Rt△ABC中， AB＝BCsin 4θ＝200＝300(m)， 故選B. 方法二　由于△BCD是等腰三角形，BD＝DCcos 2θ， 即300＝200cos 2θ， ∴cos 2θ＝，又0＜2θ＜180，∴2θ＝30，4θ＝60. 在Rt△ABC中， AB＝BCsin 4θ＝200＝300(m)， 故選B. 4．如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A－C－B行駛，現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知AC＝10km，∠A＝30，∠B＝45，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走(結(jié)果精確到0.1 km)(參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73)(　　) A．3.4km B．2.3km C．5.1km D．3.2km 答案　A 解析　過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D. 在Rt△CAD中，∠A＝30，AC＝10 km， CD＝ACsin 30＝5(km)， AD＝ACcos 30＝5(km)． 在Rt△BCD中，∠B＝45，BD＝CD＝5(km)， BC＝＝5(km)． AB＝AD＋BD＝(5＋5)(km)， AC＋BC－AB＝10＋5－(5＋5) ＝5＋5－5≈5＋51.41－51.73 ＝3.4(km)． 5．某人在C點(diǎn)測得某塔在南偏西80，塔頂仰角為45，此人沿南偏東40方向前進(jìn)10m到D，測得塔頂A的仰角為30，則塔高為(　　) A．15m B．5m C．10m D．12m 答案　C 解析　如圖，設(shè)塔高為h， 在Rt△AOC中，∠ACO＝45， 則OC＝OA＝h. 在Rt△AOD中，∠ADO＝30， 則OD＝h. 在△OCD中，∠OCD＝120，CD＝10， 由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OCCDcos∠OCD， 即(h)2＝h2＋102－2h10cos120， ∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)． 6．要測量底部不能到達(dá)的東方明珠電視塔的高度，在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點(diǎn)，在甲、乙兩點(diǎn)分別測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45，30，在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120，甲、乙兩地相距500m，則電視塔在這次測量中的高度是(　　) A．100m B．400m C．200m D．500m 答案　D 解析　由題意畫出示意圖，設(shè)高AB＝h， 在Rt△ABC中，由已知得BC＝h， 在Rt△ABD中，由已知得BD＝h， 在△BCD中， 由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BCCDcos∠BCD， 即3h2＝h2＋5002＋h500， 解得h＝500或h＝－250(舍)． 二、填空題 7.如圖，為測量河對岸A，B兩點(diǎn)間的距離，沿河岸選取相距40米的C，D兩點(diǎn)，測得∠ACB＝60，∠BCD＝45，∠ADB＝60，∠ADC＝30，則A，B兩點(diǎn)之間的距離是______． 答案　20米 解析　在△BCD中，∠BDC＝60＋30＝90，∠BCD＝45， ∴∠CBD＝90－45＝∠BCD， ∴BD＝CD＝40，BC＝＝40. 在△ACD中，∠ADC＝30，∠ACD＝60＋45＝105， ∴∠CAD＝180－(30＋105)＝45. 由正弦定理，得AC＝＝20. 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝BC2＋AC2－2BCACcos∠BCA ＝(40)2＋(20)2－24020cos60 ＝2400， ∴AB＝20， 故A，B兩點(diǎn)之間的距離為20米． 8．如圖所示，為了測定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對岸標(biāo)記物C，測得∠CAB＝30，∠CBA＝75，AB＝120m，則河的寬度為________m. 答案　60 解析　在△ABC中，∠CAB＝30， ∠CBA＝75， ∴∠ACB＝75，∠ACB＝∠ABC， ∴AC＝AB＝120(m)． 如圖，作CD⊥AB，垂足為D，則CD即為河的寬度． 由正弦定理得＝， ∴＝，∴CD＝60，∴河的寬度為60m. 9．地平面上一旗桿設(shè)為OP，為測得它的高度h，在地平面上取一基線AB，AB＝200m，在A處測得P點(diǎn)的仰角為∠OAP＝30，在B處測得P的仰角∠OBP＝45，又測得∠AOB＝60，則旗桿的高h(yuǎn)為________m. 答案　 解析　如圖．OP＝h，∠OAP＝30，∠OBP＝45，∠AOB＝60，AB＝200m. 在△AOP中，∵OP⊥OA， ∴∠AOP＝90，則OA＝＝h， 同理，在△BOP中，∠BOP＝90，且∠OBP＝45，∴OB＝OP＝h. 在△OAB中，由余弦定理得 AB2＝OA2＋OB2－2OAOBcos∠AOB， 即2002＝3h2＋h2－2h2cos60， 解得h＝. 10.我炮兵陣地位于地面A處，兩觀察所分別位于地面點(diǎn)C和點(diǎn)D處，已知CD＝6km，∠ACD＝45，∠ADC＝75，目標(biāo)出現(xiàn)于地面點(diǎn)B處時(shí)，測得∠BCD＝30，∠BDC＝15(如圖)，則我炮兵陣地到目標(biāo)的距離為________km. 答案　 解析　在△ACD中， ∠CAD＝180－∠ACD－∠ADC＝60，∠ACD＝45， 根據(jù)正弦定理，有AD＝＝CD， 同理，在△BCD中， ∠CBD＝180－∠BCD－∠BDC＝135，∠BCD＝30， 根據(jù)正弦定理，有BD＝＝CD， 在△ABD中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90， 根據(jù)勾股定理， 有AB＝＝CD ＝CD＝， 所以我炮兵陣地到目標(biāo)的距離為km. 三、解答題 11．如圖所示，在高出地面30m的小山頂上建造一座電視塔CD，今在距離B點(diǎn)60m的地面上取一點(diǎn)A，若測得∠CAD＝45，求此電視塔的高度． 解　設(shè)CD＝xm，∠BAC＝α， 則在△ABC中，tanα＝＝. ∵∠DAB＝45＋α， tan∠DAB＝＝＝tan(45＋α)， 又tan(45＋α)＝＝3， ∴＝3，解得x＝150. ∴電視塔的高度為150m. 12.一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)1號機(jī)器人由A點(diǎn)開始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng)，如圖所示，已知AB＝4dm，AD＝17dm，∠BAD＝45，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器人最快可在何處截住足球？ 解　設(shè)機(jī)器人最快可在點(diǎn)C處截住足球，點(diǎn)C在線段AD上，連接BC，如圖所示， 設(shè)BC＝xdm， 由題意知CD＝2xdm，AC＝AD－CD＝(17－2x)dm. 在△ABC中， 由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2ABACcosA， 即x2＝(4)2＋(17－2x)2－8(17－2x)cos45， 解得x1＝5，x2＝. 所以AC＝17－2x＝7(dm)或AC＝－(dm)(舍去)． 所以該機(jī)器人最快可在線段AD上離A點(diǎn)7dm的點(diǎn)C處截住足球． 13．如圖，從氣球A上測得其正前下方的河流兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時(shí)氣球的高度AD是60m，則河流的寬度BC是(　　) A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1) m 答案　C 解析　由題意知，在Rt△ADC中，∠C＝30，AD＝60m，∴AC＝120m．在△ABC中，∠BAC＝75－30＝45，∠ABC＝180－45－30＝105，由正弦定理， 得BC＝＝＝120(－1)(m)． 14.在某次地震時(shí)，震中A(產(chǎn)生震動(dòng)的中心位置)的南面有三座東西方向的城市B，C，D.已知B，C兩市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D兩市之間，如圖所示，某時(shí)刻C市感到地表震動(dòng)，8s后B市感到地表震動(dòng)，20s后D市感到地表震動(dòng)，已知震波在地表傳播的速度為每秒1.5km.求震中A到B，C，D三市的距離． 解　在△ABC中，由題意得AB－AC＝1.58＝12 (km)． 在△ACD中，由題意得AD－AC＝1.520＝30(km)． 設(shè)AC＝x km，AB＝(12＋x) km，AD＝(30＋x)km. 在△ABC中，cos∠ACB＝ ＝＝， 在△ACD中，cos∠ACD＝ ＝＝. ∵B，C，D在一條直線上，∴＝－， 即＝，解得x＝. ∴AB＝ km，AD＝ km.即震中A到B，C，D三市的距離分別為 km， km， km.