高中數(shù)學(xué) 第二章 空間向量與立體幾何習(xí)題（打包11套）[北師大版]選修2-1.zip
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第二章 空間向量與立體幾何(B)
(時(shí)間：120分鐘 滿分：150分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分)
1．空間四個(gè)點(diǎn)O、A、B、C，，，為空間的一個(gè)基底，則下列說(shuō)法不正確的是( )
A．O、A、B、C四點(diǎn)不共線
B．O、A、B、C四點(diǎn)共面，但不共線
C．O、A、B、C四點(diǎn)中任意三點(diǎn)不共線
D．O、A、B、C四點(diǎn)不共面
2．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量與的夾角為( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．已知正方體ABCD—A1B1C1D1中，點(diǎn)E為上底面A1C1的中心，若＝＋x＋y，則x，y的值分別為( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝
4．設(shè)E，F(xiàn)是正方體AC1的棱AB和D1C1的中點(diǎn)，在正方體的12條面對(duì)角線中，與截面A1ECF成60°角的對(duì)角線的數(shù)目是( )
A．0 B．2 C．4 D．6
5．已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn)，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．對(duì)于結(jié)論：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正確的個(gè)數(shù)是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)且a·b＝2，則x的值是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
7．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足·＝0，·＝0，·＝0，則△BCD是( )
A．鈍角三角形 B．銳角三角形
C．直角三角形 D．不確定
8．正三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
9．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點(diǎn)Q在直線OP上運(yùn)動(dòng)，則當(dāng)·取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( )
A. B.
C. D.
10．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為( )
A. B.
C. D.
題 號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答 案
二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)
11．若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝________.
12．若A，B，C是平面α內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面α的法向量a＝(x，y，z)，則x∶y∶z＝__________.
13．平面α的法向量為m＝(1,0，－1)，平面β的法向量為n＝(0，－1,1)，則平面α與平面β所成二面角的大小為_(kāi)_________．
14．若向量a＝(2,3，λ)，b＝的夾角為60°，則λ＝________.
15．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝AA1＝2，點(diǎn)D是A1C1的中點(diǎn)，則異面直線AD和BC1所成角的大小為_(kāi)_______．
三、解答題(本大題共6小題，共75分)
16．(12分)
如圖，已知ABCD—A1B1C1D1是平行六面體．設(shè)M是底面ABCD的中心，N是側(cè)面BCC1B1對(duì)角線BC1上的分點(diǎn)，設(shè)＝α＋β＋γ，試求α、β、γ的值．
17.
(12分)如圖，四棱錐S—ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2a的菱形，且SA＝SC＝2a，SB＝SD＝a，點(diǎn)E是SC上的點(diǎn)，且SE＝λa (0<λ≤2)．
(1)求證：對(duì)任意的λ∈(0,2]，都有BD⊥AE；
(2)若SC⊥平面BED，求直線SA與平面BED所成角的大?。?
18.(12分)已知空間三點(diǎn)A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝，b＝.
(1)求a和b的夾角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值．
19．(12分)
如圖所示，在三棱錐S—ABC中，SO⊥平面ABC，側(cè)面SAB與SAC均為等邊三角形，∠BAC＝90°，O為BC的中點(diǎn)，求二面角A—SC—B的余弦值．
20.
(13分)如圖，在底面是矩形的四棱錐P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中點(diǎn)．
(1)求證：平面PDC⊥平面PAD；
(2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離．
21．(14分)如圖，
四棱錐S—ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．
(1)求證：AC⊥SD；
(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大??；
(3)在(2)的條件下，側(cè)棱SC上是否存在一點(diǎn)E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，試說(shuō)明理由．
第二章 空間向量與立體幾何(B)
1．B
2．C [＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)，
∴cos〈，〉＝＝，
∴〈，〉＝60°.]
3．C [＝＋＝＋(＋)＝＋＋，
由空間向量的基本定理知，x＝y(tǒng)＝.]
4．C
5．C [∵·＝－2－2＋4＝0，∴AP⊥AB，①正確；
∵·＝－4＋4＝0，∴AP⊥AD，②正確；由①②知是平面ABCD的法向量，∴③正確，④錯(cuò)誤．]
6．C
7．B [△BCD中，·＝(－)·(－)＝2>0.∴∠B為銳角，同理，∠C，∠D均為銳角，∴△BCD為銳角三角形．]
8．C
[建系如圖，設(shè)AB＝1，則B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)．
∴＝(－1,0,1)，
＝(0,1,1)
∴cos〈，〉
＝＝＝.
∴〈，〉＝60°，即異面直線BA1與AC1所成的角等于60°.]
9．C [∵Q在OP上，∴可設(shè)Q(x，x,2x)，則＝(1－x，2－x,3－2x)，＝(2－x,1－x,2－2x)．
∴·＝6x2－16x＋10，∴x＝時(shí)，·最小，這時(shí)Q.]
10．C [
以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則＝(－1,1，－1)，＝(－1,1,1)．
可以證明A1C⊥平面BC1D，AC1⊥平面A1BD.
又cos〈，〉＝，結(jié)合圖形可知平面A1BD與平面C1BD所成二面角的余弦值為.]
11．2
解析 ∵a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，
∴c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,4,2)．
∴(c－a)·(2b)＝2(1－x)＝－2，∴x＝2.
12．2∶3∶(－4)
解析?。剑?
＝，
由a·＝0，a·＝0，得，
x∶y∶z＝y(tǒng)∶y∶＝2∶3∶(－4)．
13．60°或120°
解析 ∵cos〈m，n〉＝＝＝－，
∴〈m，n〉＝120°，即平面α與β所成二面角的大小為60°或120°.
14.
解析 ∵a＝(2,3，λ)，b＝，
∴a·b＝λ＋1，|a|＝，|b|＝，
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∴λ＝.
15.
解析
建立如圖所示坐標(biāo)系，則＝(－1,1，－2)，
＝(0,2，－2)，
∴cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝.
即異面直線AD和BC1所成角的大小為.
16．解 ∵＝＋＝＋
＝(－)＋(－)
＝(－)＋(＋)
＝－＋＋
＝＋＋，
∴α＝，β＝，γ＝.
17．(1)證明 連結(jié)BD，AC，設(shè)BD與AC交于O.
由底面是菱形，得BD⊥AC.
∵SB＝SD，O為BD中點(diǎn)，
∴BD⊥SO.又AC∩SO＝O，∴BD⊥面SAC.
又AE?面SAC，∴BD⊥AE.
(2)解 由(1)知BD⊥SO，
同理可證AC⊥SO，∴SO⊥平面ABCD.
取AC和BD的交點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)SO＝x，
則OA＝，OB＝.
∵OA⊥OB，AB＝2a，
∴(4a2－x2)＋(2a2－x2)＝4a2，解得x＝a.
∴OA＝a，則A(a,0,0)，C(－a,0,0)，
S(0,0，a)．
∵SC⊥平面EBD，∴是平面EBD的法向量．
∴＝(－a,0，－a)，＝(a,0，－a)．
設(shè)SA與平面BED所成角為α，
則sin α＝＝＝，
即SA與平面BED所成的角為.
18．解 a＝＝(－1,1,2)－(－2,0,2)＝(1,1,0)，
b＝＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)．
(1)cos θ＝＝＝－，
∴a與b的夾角θ的余弦值為－.
(2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)，
ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)
＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.
19．解
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OB，OA，OS分別為x軸、y軸、z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)B(1,0,0)，則C(－1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)，SC的中點(diǎn)M.
故＝，＝，
＝(－1,0，－1)，
所以·＝0，·＝0.
即MO⊥SC，MA⊥SC.
故〈，〉為二面角A—SC—B的平面角．
cos〈，〉＝＝.
即二面角A—SC—B的余弦值為.
20．(1)證明 如圖，以A為原點(diǎn)，AD、AB、AP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則依
題意可知A(0,0,0)，
B(0,2,0)，C(4,2,0)，D(4,0,0)，
P(0,0,2)．
∴＝(4,0，－2)，＝(0，－2,0)，＝(0,0，－2)．
設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為n＝(x，y,1)，
則??
所以平面PCD的一個(gè)法向量為.
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，
∴AB⊥平面PAD.
∴平面PAD的法向量為＝(0,2,0)．
∵n·＝0，∴n⊥.
∴平面PDC⊥平面PAD.
(2)解 由(1)知平面PCD的一個(gè)單位法向量為＝.
∴＝＝，
∴點(diǎn)B到平面PCD的距離為.
21．(1)證明 連結(jié)BD，設(shè)AC交BD于點(diǎn)O，由題意知SO⊥平面ABCD，以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz如圖所示．
設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則高SO＝a.
于是S(0,0，a)，D，C，
B，
＝，
＝，
∴·＝0.
∴OC⊥SD，即AC⊥SD.
(2)解 由題意知，平面PAC的一個(gè)法向量＝，平面DAC的一個(gè)法向量＝，
設(shè)所求二面角為θ，則cos θ＝＝，
故所求二面角P—AC—D的大小為30°.
(3)解 在棱SC上存在一點(diǎn)E使BE∥平面PAC.
由(2)知是平面PAC的一個(gè)法向量，
且＝，＝，
＝，
設(shè)＝t，
則＝＋＝＋t
＝.
由·＝0，得t＝，
即當(dāng)SE∶EC＝2∶1時(shí)，⊥
而B(niǎo)E不在平面PAC內(nèi)，故BE∥平面PAC.
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